2021年人教版高中数学必修第一册:第4章《章末复习课》(含答案详解)

2024年3月25日发(作者：二年级数学试卷分析教师版)

2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答

案详解)

1、指数与对数的运算【例1】 计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)1.5

－×0＋80.25×＋(×)6－.[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.(2)原式＝＋2×2＋22×33

－＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先留意化简顺序，

一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要留意分子、

分母因式分解以到达约分的目的.对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等

价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证

明常用的技巧.7n1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )A．6B．3C．2D．1D [由3x＝

4y＝36得x＝log336，y＝lo

2、g436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对

数函数的图象及应用【例2】 (1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如下图，则以下函

数正确的选项是( )A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0

时，f(x)＝x.①如图，画出函数f(x)的图象；②依据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数

的值域．(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－

x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，

y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调

3、递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，7n与图象相符．应选

B.](2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作

出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为

[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象

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的改变趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对

数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log(x－1)的图象肯定经

过点( )A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，

再向上平移1个单位即可

4、得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小【例3】 若0xy1，

则( )A．3y3xB．logx3logy3C． [因为0xy1，则对于A，函数

y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，依据底数a对对数函数y＝logax的

影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错

误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，

函数y＝x在R上单调递减，故xy，

5、D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当

两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，

然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，

然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依据参数的取值进行分类

商量．3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．abcB．bacC．acbD．cbaC

[∵a＝log2πlog22＝1，b＝logπlog1＝0，c＝π－2＝，即0c1，∴acb，应选C.]指数函

数、对数函数的性质【例4】 (

6、1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增

函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数7nD．偶函数，

且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]

上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2

的值域．(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)

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＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)

上为增函数．](2)[

7、解] ①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]

上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函

数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以

0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.1．把本例(1)的函数f(x)

改为“f(x)＝ln(x＋)”，推断其奇偶性．[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，又f(－x)

＝ln(－x＋)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函

数．2

8、．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解] 由题意可知y

＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，∴当t＝3时，

f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.7n1．讨论函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法

的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，

转化为一元二次方程、二次函数等问题．要留意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】

一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素

的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到

0.1)．[解] (1)最初的质量为

9、500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w＝500×0.92；由此

推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取

以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素

的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细

胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为

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基础数，p为增长率，x为时间)的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含

量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减，问至少应过滤几次

才能使产品到达市场要求？(已知：

10、lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7n[解] 设过滤n次能使产品到达市场要求，依题意，

得×n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少

要过滤8次才能到达市场要求．7

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