2023年12月10日发(作者：南昌 文科数学试卷)

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高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合.

（2）常用数集及其记法

N表示自然数集，N或N表示正整数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称 记号 意义

(1)AA

AB

性质 示意图

(2)A

A中的任一元素都属于B

(3)若AB且BC，则AC

A(B)BA子集

（或BA)

或

(4)若AB且BA，则 word

AB

（1）A（A为非空子AB

真子集

AB，且B集）

BA（或B中至少有一(2)若AB且BC，则A）

元素不属于A

AC

A中的任一元集合

相等

AB

素都属于B，(1)AB

A(B)B中的任一元(2)BA

素都属于A

（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

名记意义

（1）A性质

AA

称 号

示意图

交集

AB{x|xA,且（2）A

（3）ABA

ABB

AB

xB}

⑷

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（1）AAA

并集

AB{x|xA,或（2）AA

（3）ABA

ABB

AB

xB}

⑷

⑴ （ ）

⑵

{x|xU,且xA}⑶

集

⑷

补⑸

⑼ 集合的运算律：

交换律：ABBA;ABBA.

结合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)

分配律:A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)

0-1律：A,AA,UAA,UAU

等幂律：AAA,AAA.

求补律：A∩ A∪ =U

反演律： (A∩B)=( A)∪( B) (A∪B)=( A)∩( B)

第二章函数

§1函数的概念及其表示

一、映射

1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到

的映射，记作 .

2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的

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叫做象， 叫做原象。

二、函数

1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 .

2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有 、 、 。

§2函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式 的集合.

2．常见的三种题型确定定义域：

① 已知函数的解析式，就是 .

② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.

③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

二、值域：

1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值 的集合.

2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和

法）

例如：① 形如y＝12x2，可采用 法；②

y＝2x12(x)，可采用

3x23法或 法；③

y＝a[f (x)]2＋bf

(x)＋c，可采用 法；④

y＝x－1x，可采用 法；⑤

y＝x－可采用 法等.

1x2，可采用 法；⑥

y＝sinx2cosx

§3函数的单调性

一、单调性

1．定义：如果函数y＝f

(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量 word

的值x1、、x2，当x1、

(x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；②都有 ，则称f

(x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .

若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .

2．判断单调性的方法：

(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .

(2) 导数法，若函数y＝f

(x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f

(x)在这个区间上是增函数；②若 ，则f

(x)在这个区间上是减函数.

二、单调性的有关结论

1．若f

(x),

g(x)均为增(减)函数，则f

(x)＋g(x) 函数；

2．若f

(x)为增(减)函数，则－f

(x)为 ；

3．互为反函数的两个函数有 的单调性；

4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f

(x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f

(x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .

5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .

§4函数的奇偶性

1．奇偶性：

① 定义：如果对于函数f

(x)定义域内的任意x都有 ，则称f

(x)为奇函数；若 ，则称f

(x)为偶函数. 如果函数f

(x)不具有上述性质，则f

(x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f

(x) .

② 简单性质：

1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.

2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.

2．与函数周期有关的结论：

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①已知条件中如果出现f(xa)f(x)、或f(xa)f(x)m（a、m均为非零常数，a0），都可以得出f(x)的周期为 ；

②yf(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称或yf(x)的图象关于直线xa,xb轴对称，均可以得到f(x)周期

第三章 指数函数和对数函数

§1 正整数指数函数

§2 指数扩充及其运算性质

1．正整数指数函数

函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数．

2．分数指数幂

(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，mm存在唯一的正实数b，使得b＝a，我们把b叫作a的次幂，记作b＝an；

nnm(2)正分数指数幂写成根式形式：a＝am(a>0)；

a(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：mnmnn＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)；

(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．

3．有理数指数幂的运算性质

(1)aman＝________(a>0)；

(2)(am)n＝________(a>0)；

(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)．

§3 指数函数(一)

1．指数函数的概念

一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．

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2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质

a>1

0

图像

定义域

值域

过定点

R

(0，＋∞)

过点______，即x＝____时，y＝____

性 函数值 当x>0时，______； 当x>0时，________；

质 的变化

当x<0时，________

当x<0时，________

单调性

是R上的________

是R上的________

§4 对数(二)

1．对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：

(1)loga(MN)＝________________；

(2)loga＝________；

(3)logaMn＝__________(n∈R)．

2．对数换底公式

logbN＝logaN(a，b>0，a，b≠1，N>0)；

logabMN特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．

§5 对数函数(一)

1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.

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2．对数函数的图像与性质

定义 y＝logax (a>0，且a≠1)

底数 a>1

0

图像

定义域

______

值域

______

单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

共点性

图像过点______，即loga1＝0

x∈(0,1)时，

x∈(0,1)时，

函数值

y∈______；

y∈______；

特点 x∈[1，＋∞)时，

x∈[1，＋∞)时，

y∈______. y∈______.

对称性

函数y＝logax与y＝log1x的图像关于______对称

a

3.反函数

对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．

第四章 函数应用

§1 函数与方程

1.1 利用函数性质判定方程解的存在

2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．

3．方程f(x)＝0有实数根

⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________

⇔函数y＝f(x)有________．

4．函数零点的存在性的判定方法

如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

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1.2 利用二分法求方程的近似解

1．二分法的概念

每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________．

2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)

(1)确定区间[a，b]，使____________．

(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.

(3)计算f(x1)．

①若f(x1)＝0，则________________；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；

③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．

(4)继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．


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函数,集合,区间,性质