高中数学必修1课后习题答案完整版

2023年12月10日发(作者：武汉二月调研数学试卷答案)

高中数学必修1课后习题答案

第一章 集合与函数概念

1．1集合

1．1．1集合的含义与表示

练习（第5页）

1．用符号“”或“”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，

印度_______A，英国_______A；

（2）若A{x|xx}，则1_______A；

（3）若B{x|xx60}，则3_______B；

（4）若C{xN|1x10}，则8_______C，9.1_______C．

1．（1）中国A，美国A，印度A，英国A；

中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．

22}{0,．1} （2）1A

A{x|xx

,2 （3）3B

B{x|xx60}{3．

} （4）8C，9.1C

9.1N．

2．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x90的所有实数根组成的集合；

（2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合；

（4）不等式4x53的解集．

22．解：（1）因为方程x90的实数根为x13,x23，

222 所以由方程x90的所有实数根组成的集合为{3,3}；

（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，

所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；

2yx3x1 （3）由，得，

y2x6y4即一次函数yx3与y2x6的图象的交点为(1,4)，

所以一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合为{(1,4)}； （4）由4x53，得x2，

所以不等式4x53的解集为{x|x2}．

1．1．2集合间的基本关系

练习（第7页）

1．写出集合{a,b,c}的所有子集．

1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得；

取一个元素，得{a},{b},{c}；

取两个元素，得{a,b},{a,c},{b,c}；

取三个元素，得{a,b,c}，

即集合{a,b,c}的所有子集为,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}．

2．用适当的符号填空：

（1）a______{a,b,c}； （2）0______{x|x0}；

（3）______{xR|x10}； （4）{0,1}______N；

（5）{0}______{x|xx}； （6）{2,1}______{x|x3x20}．

2．（1）a{a,b,c}

a是集合{a,b,c}中的一个元素；

2222} （2）0{x|x0}

{x|x0222{；0}

22（3）{xR|x10} 方程x10无实数根，{xR|x10}；

（4）{0,1}（5）{0}是自然数集合N的子集，也是真子集；

N （或{0,1}N）

{0,1}{x|x2x} （或{0}{x|x2x}）

{x|x2x}{0,；1}

22（6）{2,1}{x|x3x20} 方程x3x20两根为x11,x22．

3．判断下列两个集合之间的关系：

（1）A{1,2,4}，B{x|x是8的约数}；

（2）A{x|x3k,kN}，B{x|x6z,zN}；

（3）A{x|x是4与10的公倍数,xN}，B{x|x20m,mN}．

3．解：（1）因为B{x|x是8的约数}{1,2,4,8}，所以AB； （2）当k2z时，3k6z；当k2z1时，3k6z3，

即B是A的真子集，BA；

（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以AB．

1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）

1．设A{3,5,6,8},B{4,5,7,8}，求A1．解：A

AB,AB．

B{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}，

B{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}．

222．设A{x|x4x50},B{x|x1}，求A22．解：方程x4x50的两根为x11,x25，

2 方程x10的两根为x11,x21，

B,AB．

得A{1,5},B{1,1}，

即AB{1},AB{1,1,5}．

B,AB． 3．已知A{x|x是等腰三角形}，B{x|x是直角三角形}，求A3．解：A

AB{x|x是等腰直角三角形}，

B{x|x是等腰三角形或直角三角形}．

4．已知全集U{1,2,3,4,5,6,7}，A{2,4,5},B{1,3,5,7}，

求A(痧(?UB),(UA)UB)．

1,3,6,7}， 4．解：显然ðUB{2,4,6}，ðUA{则A(ðUB){2,4}，(痧(UB){6}．

UA)1．1集合

习题1．1 （第11页） A组

1．用符号“”或“”填空：

（1）3_______Q； （2）3______N； （3）_______Q；

2（4）2_______R； （5）9_______Z； （6）(5)_______N．

2721．（1）3Q

327222是有理数； （2）3N

39是个自然数；

72是实数； （3）Q

是个无理数，不是有理数； （4）2R

（5）9Z

93是个整数； （6）(5)2N

(52)5是个自然数．

2．已知A{x|x3k1,kZ}，用 “”或“” 符号填空：

（1）5_______A； （2）7_______A； （3）10_______A．

2．（1）5A； （2）7A； （3）10A．

当k2时，3k15；当k3时，3k110；

3．用列举法表示下列给定的集合：

（1）大于1且小于6的整数；

（2）A{x|(x1)(x2)0}；

（3）B{xZ|32x13}．

3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；

（2）方程(x1)(x2)0的两个实根为x12,x21，即{2,1}为所求；

（3）由不等式32x13，得1x2，且xZ，即{0,1,2}为所求．

4．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数yx4的函数值组成的集合；

22的自变量的值组成的集合；

x（3）不等式3x42x的解集．

（2）反比例函数y4．解：（1）显然有x0，得x44，即y4，

得二次函数yx4的函数值组成的集合为{y|y4}；

2222的自变量的值组成的集合为{x|x0}；

x44（3）由不等式3x42x，得x，即不等式3x42x的解集为{x|x}．

55（2）显然有x0，得反比例函数y5．选用适当的符号填空：

（1）已知集合A{x|2x33x},B{x|x2}，则有：

4_______B；

3_______A；

{2}_______B；

B_______A；

（2）已知集合A{x|x10}，则有：

21}

1_______A；

{1}_______A；

_______A；

{1,_______A； （3）{x|x是菱形}_______{x|x是平行四边形}；

{x|x是等腰三角形}_______{x|x是等边三角形}．

5．（1）4B；

3A；

{2}B；

BA；

2x33xx3，即A{x|x3},B{x|x2}；

（2）1A；

{1}A；

2=A；

1}A；

{1,

A{x|x10}{1,1}；

（3）{x|x是菱形}{x|x是平行四边形}；

菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；

{x|x是等边三角形}{x|x是等腰三角形}．

等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．

6．设集合A{x|2x4},B{x|3x782x}，求AB,AB．

6．解：3x782x，即x3，得A{x|2x4},B{x|x3}，

则AB{x|x2}，AB{x|3x4}．

7．设集合A{x|x是小于9的正整数}，B{1,2,3},C{3,4,5,6}，求A

AB，

C，A(BC)，A(BC)．

7．解：A{x|x是小于9的正整数}{1,2,3,4,5,6,7,8}，

则A而B则AB{1,2,3}，AC{3,4,5,6}，

C{1,2,3,4,5,6}，BC{3}，

(BC){1,2,3,4,5,6}，

A(BC){1,2,3,4,5,6,7,8}．

8．学校里开运动会，设A{x|x是参加一百米跑的同学}，

B{x|x是参加二百米跑的同学}，C{x|x是参加四百米跑的同学}，

学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，

并解释以下集合运算的含义：（1）AB；（2）AC．

8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，

即为(AB)C． （1）A （2）AB{x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}；

C{x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}．

9．设S{x|x是平行四边形或梯形}，A{x|x是平行四边形}，B{x|x是菱形}，

x}

C{x|是矩形，求BC，ðAB，ðSA．

C{x|x是正方形}， 9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即B 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，

即ðAB{x|x是邻边不相等的平行四边形}，

ðSA{x|x是梯形}．

10．已知集合A{x|3x7},B{x|2x10}，求ðR(AB)，ðR(AB)，

(ðRA)10．解：AB，A(ðRB)．

B{x|2x10}，AB{x|3x7}，

ðRA{x|x3,或x7}，ðRB{x|x2,或x10}，

得ðR(A

ðR(A

(ðRA)

AB){x|x2,或x10}，

B){x|x3,或x7}，

B{x|2x3,或7x10}，

(ðRB){x|x2,或3x7或x10}．

B组

1．已知集合A{1,2}，集合B满足A1．4 集合B满足AB{1,2}，则集合B有 个．

BA，则BA，即集合B是集合A的子集，得4个子集．

2．在平面直角坐标系中，集合C{(x,y)|yx}表示直线yx，从这个角度看，

集合D(x,y)|2xy1表示什么？集合C,D之间有什么关系？

x4y52xy1表示两条直线2xy1,x4y5的交点的集合，

x4y52．解：集合D(x,y)|2xy1 即D(x,y)|{(1,1)}，点D(1,1)显然在直线yx上，

x4y5得DC．

B,AB． 3．设集合A{x|(x3)(xa)0,aR}，B{x|(x4)(x1)0}，求A3．解：显然有集合B{x|(x4)(x1)0}{1,4}，

当a3时，集合A{3}，则A 当a1时，集合A{1,3}，则A 当a4时，集合A{3,4}，则AB{1,3,4},AB；

B{1,3,4},AB{1}；

B{1,3,4},AB{4}；

当a1，且a3，且a4时，集合A{3,a}，

则A4．已知全集UAB{1,3,4,a},AB．

B{xN|0x10}，A(ðUB){1,3,5,7}，试求集合B．

4．解：显然U{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，由UA得ðUBA，即AB，

(痧UB)UB，而A(ð1,3,5,7}，

UB){U1,3,5,7}，而B痧得ðUB{U(即B{0,2,4,6,8.9,10}．

B)，

第一章 集合与函数概念

1．2函数及其表示

1．2．1函数的概念

练习（第19页）

1．求下列函数的定义域：

1； （2）f(x)1xx31．

4x771．解：（1）要使原式有意义，则4x70，即x，

47 得该函数的定义域为{x|x}；

4（1）f(x) （2）要使原式有意义，则1x0，即3x1，

x30 得该函数的定义域为{x|3x1}．

2．已知函数f(x)3x2x，

（1）求f(2),f(2),f(2)f(2)的值；

（2）求f(a),f(a),f(a)f(a)的值．

2．解：（1）由f(x)3x2x，得f(2)322218，

同理得f(2)3(2)2(2)8，

则f(2)f(2)18826，

即f(2)18,f(2)8,f(2)f(2)26；

（2）由f(x)3x2x，得f(a)3a2a3a2a，

同理得f(a)3(a)2(a)3a2a，

则f(a)f(a)(3a2a)(3a2a)6a，

即f(a)3a2a,f(a)3a2a,f(a)f(a)6a．

3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h130t5t和二次函数y130x5x；

（2）f(x)1和g(x)x．

3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间t0；

（2）不相等，因为定义域不同，g(x)x(x0)．

22222221．2．2函数的表示法

练习（第23页）

1．如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，

面积为ycm，把y表示为x的函数．

1．解：显然矩形的另一边长为502x2cm，

yx502x2x2500x2，且0x50，

即yx2500x2(0x50)．

2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着2车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离

O

时间

O

时间

O

时间

O

时间

（A） （B） （C） （D）

2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；

图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；

图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；

图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．

3．画出函数y|x2|的图象．

3．解：y|x2|

4．设与Ax2,x2，图象如下所示．

x2,x2A{x|x是锐角},B{0,1}，从A到B的映射是“求正弦”，中元素60相对应

的么？

4．解：因为sin60B中的元素是什么？与B中的元素2相对应的A中元素是什233，所以与A中元素60相对应的B中的元素是；

2222，所以与B中的元素相对应的A中元素是45．

22 因为sin451．2函数及其表示

习题1．2（第23页）

1．求下列函数的定义域： （1）f(x)3xx4； （2）f(x)x2；

（3）f(x)6x23x2； （4）f(x)4xx1．

1．解：（1）要使原式有意义，则x40，即x4，

得该函数的定义域为{x|x4}；

（2）xR，f(x)x2都有意义，

即该函数的定义域为R；

（3）要使原式有意义，则x23x20，即x1且x2，

得该函数的定义域为{x|x1且x2}；

（4）要使原式有意义，则4x0x10，即x4且x1，

 得该函数的定义域为{x|x4且x1}．

2．下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等？

（1）f(x)x1,g(x)x2x1； （2）f(x)x2,g(x)(x)4；

（3）f(x)x2,g(x)3x6．

2．解：（1）f(x)x1的定义域为R，而g(x)x2x1的定义域为{x|x0}，

即两函数的定义域不同，得函数f(x)与g(x)不相等；

（2）f(x)x2的定义域为R，而g(x)(x)4的定义域为{x|x0}，

即两函数的定义域不同，得函数f(x)与g(x)不相等；

（3）对于任何实数，都有3x6x2，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，

得函数f(x)与g(x)相等．

3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．

（1）y3x； （2）y8x； （3）y4x5；yx26x7．

3．解：（1）

4） （

定义域是(,)，值域是(,)；

（2）

定义域是(,0)

（3）

定义 （4）

域是(,)，值域是(,)；

(0,)，值域是(,0)(0,)；

定义域是(,)，值域是[2,)．

24．已知函数f(x)3x5x2，求f(2)，f(a)，f(a3)，f(a)f(3)．

224．解：因为f(x)3x5x2，所以f(2)3(2)5(2)2852，

即f(2)852；

同理，f(a)3(a)5(a)23a5a2，

即f(a)3a5a2；

f(a3)3(a3)5(a3)23a13a14，

即f(a3)3a13a14；

f(a)f(3)3a5a2f(3)3a5a16，

即f(a)f(3)3a5a16．

5．已知函数f(x)222222222x2，

x6 （1）点(3,14)在f(x)的图象上吗？

（2）当x4时，求f(x)的值；

（3）当f(x)2时，求x的值．

5．解：（1）当x3时，f(3)32514，

363 即点(3,14)不在f(x)的图象上；

（2）当x4时，f(4)423，

46 即当x4时，求f(x)的值为3；

x22，得x22(x6)，

x6 即x14．

（3）f(x)6．若f(x)xbxc，且f(1)0,f(3)0，求f(1)的值．

6．解：由f(1)0,f(3)0，

得1,3是方程xbxc0的两个实数根，

即13b,13c，得b4,c3，

即f(x)x4x3，得f(1)(1)4(1)38，

即f(1)的值为8．

7．画出下列函数的图象：

22220,x0 （1）F(x)； （2）G(n)3n1,n{1,2,3}．

1,x0

7．图象如下：

8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，

周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

8．解：由矩形的面积为10，即xy10，得y1010(x0)，x(y0)，

yx 由对角线为d，即dx2y2，得dx2100(x0)，

2x 由周长为l，即l2x2y，得l2x2220(x0)，

x2 另外l2(xy)，而xy10,dxy，

得l2(xy)22x2y22xy2d220(d0)，

即l2d220(d0)．

9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm/s的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm关于注入溶液的时间ts的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．

9．解：依题意，有()xvt，即x3d224vt，

d2hd24v 显然0xh，即0，

th，得0t4vd2hd2]和值域为[0,h]． 得函数的定义域为[0,4v10．设集合A{a,b,c},B{0,1}，试问：从A到B的映射共有几个？

并将它们分别表示出来．

10．解：从A到B的映射共有8个．

f(a)0f(a)0f(a)0f(a)0 分别是f(b)0，f(b)0，f(b)1，f(b)0，

f(c)0f(c)1f(c)0f(c)1f(a)1f(a)1f(a)1f(a)1

f(b)0，f(b)0，f(b)1，f(b)0．

f(c)0f(c)1f(c)0f(c)1

Ｂ组 1．函数rf(p)的图象如图所示．

（1）函数rf(p)的定义域是什么？

（2）函数rf(p)的值域是什么？

（3）r取何值时，只有唯一的p值与之对应？

1．解：（1）函数rf(p)的定义域是[5,0][2,6)；

（2）函数rf(p)的值域是[0,)；

（3）当r5，或0r2时，只有唯一的p值与之对应．

2．画出定义域为{x|3x8,且x5}，值域为{y|1y2,y0}的一个函数的图象．

（1）如果平面直角坐标系中点P(x,y)的坐标满足3x8，1y2，那么其中哪些点不能在图象上？

（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？

2．解：图象如下，（1）点(x,0)和点(5,y)不能在图象上；（2）省略．

3．函数f(x)[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[3.5]4，[2.1]2．

当x(2.5,3]时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象． 3,2.5x22,2x11,1x03．解：f(x)[x]0,0x1

1,1x22,2x33,x3 图象如下

4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km 处有一个城镇．

（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度是5km/h，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．请将t表示为x的函数． （2）如果将船停在距点P4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？

4．解：（1）驾驶小船的路程为x222，步行的路程为12x，

得tx22212x，(0x12)，

35x2412x，(0x12)．

35即t （2）当x4时，t

4241242583(h)．

3535第一章 集合与函数概念

1．3函数的基本性质

1．3．1单调性与最大（小）值

练习（第32页）

1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．

1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．

2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:00作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.

2．解：图象如下

20:00期间气温

[8,12是递增区间，][12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．

3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

3．解：该函数在[1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，

在[4,5]上是增函数．

4．证明函数f(x)2x1在R上是减函数.

4．证明：设x1,x2R，且x1x2，

因为f(x1)f(x2)2(x1x2)2(x2x1)0，

即f(x1)f(x2)，

所以函数f(x)2x1在R上是减函数.

5．设f(x)是定义在区间[6,11]上的函数.如果f(x)在区间[6,2]上递减，在区间[2,11]上递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(2)是函数f(x)的一个 . 5．最小值．

1．3．2单调性与最大（小）值

练习（第36页）

1．判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)2x3x； （2）f(x)x2x

423x212（3）f(x)； （4）f(x)x1.

x1．解：（1）对于函数f(x)2x3x，其定义域为(,)，因为对定义域内

每一个x都有f(x)2(x)3(x)2x3xf(x)，

所以函数f(x)2x3x为偶函数；

（2）对于函数f(x)x2x，其定义域为(,)，因为对定义域内

每一个x都有f(x)(x)2(x)(x2x)f(x)，

所以函数f(x)x2x为奇函数；

333342424242x21（3）对于函数f(x)，其定义域为(,0)(0,)，因为对定义域内

x(x)21x21f(x)， 每一个x都有f(x)xxx21所以函数f(x)为奇函数；

x（4）对于函数f(x)x1，其定义域为(,)，因为对定义域内

每一个x都有f(x)(x)1x1f(x)，

所以函数f(x)x1为偶函数.

2.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.

2222 2．解：f(x)是偶函数，其图象是关于y轴对称的；

g(x)是奇函数，其图象是关于原点对称的．

习题1.3

A组

1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，以及在各单调区间

上函数yf(x)是增函数还是减函数.

（1）yx5x6； （2）y9x.

1．解：（1）

函数在(,)上递减；函数在[,)上递增；

（2）

225252

函数在(,0)上递增；函数在[0,)上递减.

2.证明：

（1）函数f(x)x1在(,0)上是减函数；

（2）函数f(x)121在(,0)上是增函数.

x222．证明：（1）设x1x20，而f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2)，

由x1x20,x1x20，得f(x1)f(x2)0，

2 即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)x1在(,0)上是减函数；

（2）设x1x20，而f(x1)f(x2)11x1x2，

x2x1x1x2 由x1x20,x1x20，得f(x1)f(x2)0，

即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)11在(,0)上是增函数.

x3.探究一次函数ymxb(xR)的单调性，并证明你的结论.

3．解：当m0时，一次函数ymxb在(,)上是增函数；

当m0时，一次函数ymxb在(,)上是减函数，

令f(x)mxb，设x1x2，

而f(x1)f(x2)m(x1x2)，

当m0时，m(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，

得一次函数ymxb在(,)上是增函数；

当m0时，m(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，

得一次函数ymxb在(,)上是减函数.

4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次

慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.

4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为 5.某汽车租赁公司的月收益y元与每辆车的月租金x元间的关系为

x2y162x21000，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多50少？

x2162x21000， 5．解：对于函数y50 当x16212()50，

4050时，ymax307050（元） 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x).画出函数f(x)

的图象，并求出函数的解析式.

6．解：当x0时，x0，而当x0时，f(x)x(1x)，

即f(x)x(1x)，而由已知函数是奇函数，得f(x)f(x)，

得f(x)x(1x)，即f(x)x(1x)，

所以函数的解析式为f(x)x(1x),x0.

x(1x),x0B组

1.已知函数f(x)x2x，g(x)x2x(x[2,4]).

（1）求f(x)，g(x)的单调区间； （2）求f(x)，g(x)的最小值.

1．解：（1）二次函数f(x)x2x的对称轴为x1，

则函数f(x)的单调区间为(,1),[1,)，

且函数f(x)在(,1)上为减函数，在[1,)上为增函数，

函数g(x)的单调区间为[2,4]，

且函数g(x)在[2,4]上为增函数；

222 （2）当x1时，f(x)min1，

因为函数g(x)在[2,4]上为增函数，

2 所以g(x)ming(2)2220．

2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？

2．解：由矩形的宽为xm，得矩形的长为303xm，设矩形的面积为S，

2303x3(x210x) 则Sx，

222 当x5时，Smax37.5m，

即宽x5m才能使建造的每间熊猫居室面积最大，

且每间熊猫居室的最大面积是18.75m^2．

3.已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,)上是减函数，判断f(x)在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

3．判断f(x)在(,0)上是增函数，证明如下：

设x1x20，则x1x20，

因为函数f(x)在(0,)上是减函数，得f(x1)f(x2)，

又因为函数f(x)是偶函数，得f(x1)f(x2)，

所以f(x)在(,0)上是增函数．

复习参考题

A组

1．用列举法表示下列集合：

（1）A{x|x9}；

2（2）B{xN|1x2}；

（3）C{x|x3x20}.

21．解：（1）方程x9的解为x13,x23，即集合A{3,3}；

2 （2）1x2，且xN，则x1,2，即集合B{1,2}；

2（3）方程x3x20的解为x11,x22，即集合C{1,2}．

2．设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？

（1）{P|PAPB}(A,B是两个定点)；

（2）{P|PO3cm}(O是定点).

2．解：（1）由PAPB，得点P到线段AB的两个端点的距离相等，

即{P|PAPB}表示的点组成线段AB的垂直平分线；

（2）{P|PO3cm}表示的点组成以定点O为圆心，半径为3cm的圆．

3.设平面内有ABC，且P表示这个平面内的动点，指出属于集合

{P|PAPB}{P|PAPC}的点是什么.

3．解：集合{P|PAPB}表示的点组成线段AB的垂直平分线，

集合{P|PAPC}表示的点组成线段AC的垂直平分线，

得{P|PAPB}{P|PAPC}的点是线段AB的垂直平分线与线段AC的

垂直平分线的交点，即ABC的外心．

4.已知集合A{x|x1}，B{x|ax1}.若BA，求实数a的值.

4．解：显然集合A{1,1}，对于集合B{x|ax1}，

当a0时，集合B，满足BA，即a0；

当a0时，集合B{}，而BA，则 得a1，或a1，

综上得：实数a的值为1,0，或1．

5.已知集合A{(x,y)|2xy0}，B{(x,y)|3xy0}，C{(x,y)|2xy3}，求A21a111，或1，

aaB，AC，(AB)(BC). 2xy05．解：集合AB(x,y)|{(0,0)}，即AB{(0,0)}；

3xy0 集合A2xy0C(x,y)|，即AC；

2xy33xy039 集合BC(x,y)|{(,)}；

2xy355 则(A39B)(BC){(0,0),(,)}.

556.求下列函数的定义域：

（1）yx2x5；

（2）yx4.

|x|56．解：（1）要使原式有意义，则x20，即x2，

x50 得函数的定义域为[2,)；

（2）要使原式有意义，则x40，即x4，且x5，

|x|50(5,)． 得函数的定义域为[4,5)7.已知函数f(x)1x，求：

1x（1）f(a)1(a1)； （2）f(a1)(a2).

1x，

1x1a1a2 所以f(a)，得f(a)1，

11a1a1a2 即f(a)1；

1a1x （2）因为f(x)，

1x1(a1)a 所以f(a1)，

1a1a2a 即f(a1)．

a27．解：（1）因为f(x)1x28.设f(x)，求证：50

1x2（1）f(x)f(x)； （2）f()f(x).

1x1x28．证明：（1）因为f(x)，

1x21(x)21x2f(x)， 所以f(x)1(x)21x2 即f(x)f(x)；

1x2 （2）因为f(x)，

1x211()211x2x 所以f()f(x)，

x1(1)2x21x1 即f()f(x).

x9.已知函数f(x)4xkx8在[5,20]上具有单调性，求实数k的取值范围.

9．解：该二次函数的对称轴为x22k，

8 函数f(x)4xkx8在[5,20]上具有单调性，

kk20，或5，得k160，或k40，

88即实数k的取值范围为k160，或k40．

则10．已知函数yx，

（1）它是奇函数还是偶函数？

（2）它的图象具有怎样的对称性？

（3）它在(0,)上是增函数还是减函数？

（4）它在(,0)上是增函数还是减函数？

10．解：（1）令f(x)x，而f(x)(x) 即函数yx是偶函数；

（2）函数yx的图象关于y轴对称；

（3）函数yx在(0,)上是减函数；

（4）函数yx在(,0)上是增函数．

2222222x2f(x)， B组

1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x人，

则1581433x28，得x3，

只参加游泳一项比赛的有15339（人），

即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．

2.已知非空集合A{xR|xa}，试求实数a的取值范围.

2．解：因为集合A，且x0，所以a0．

3.设全集U{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，ðU(A3．解：由ðU(A 集合A22B){1,3}，A(ðUB){2,4}，求集合B.

B){1,3}，得AB{2,4,5,6,7,8,9}，

B里除去A(ðUB)，得集合B，

所以集合B{5,6,7,8,9}.

4.已知函数f(x)x(x4),x0.求f(1)，f(3)，f(a1)的值.

x(x4),x04．解：当x0时，f(x)x(x4)，得f(1)1(14)5；

当x0时，f(x)x(x4)，得f(3)3(34)21；

f(a1)5.证明：

(a1)(a5),a1．

(a1)(a3),a1x1x2f(x1)f(x2)；

)22xx2g(x1)g(x2)2（2）若g(x)xaxb，则g(1.

)22xx2xxa)a12b(x1x2)b， 5．证明：（1）因为f(x)axb，得f(1222f(x1)f(x2)ax1bax2ba(x1x2)b，

222xx2f(x1)f(x2)) 所以f(1；

22（1）若f(x)axb，则f( （2）因为g(x)xaxb，

26.它在x1x2xx1)(x12x222x1x2)a(12)b，

242g(x1)g(x2)1[(x12ax1b)(x22ax2b)]

22xx2122

(x1x2)a(1)b，

2212121222因为(x1x22x1x2)(x1x2)(x1x2)0，

424121222即(x1x22x1x2)(x1x2)，

42xx2g(x1)g(x2)所以g(1.

)22全月应纳税所得额

税率(00)

（1）已知奇函数f(x)在[a,b]上是减函数，试问：得g([b,a]上是增函数还是减函数？

（2）已知偶函数g(x)在[a,b]上是增函数，试问：它在[b,a]上是增函数还是减函数？

6．解：（1）函数f(x)在[b,a]上也是减函数，证明如下：

设bx1x2a，则ax2x1b，

因为函数f(x)在[a,b]上是减函数，则f(x2)f(x1)，

又因为函数f(x)是奇函数，则f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2)，

所以函数f(x)在[b,a]上也是减函数；

（2）函数g(x)在[b,a]上是减函数，证明如下：

设bx1x2a，则ax2x1b，

因为函数g(x)在[a,b]上是增函数，则g(x2)g(x1)，

又因为函数g(x)是偶函数，则g(x2)g(x1)，即g(x1)g(x2)，

所以函数g(x)在[b,a]上是减函数．

7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分

不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：

某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

不超过500元的部分

5

超过500元至2000元的部分

10

超过2000元至5000元的部分

15

7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x元，应纳此项税款为y元，则

0,0x2000(x2000)5%,2000x2500

y

25(x2500)10%,2500x4000175(x4000)15%,4000x5000 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得2500x4000，

25(x2500)10%26.78，得x2517.8，

所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．

第三章 函数的应用

3．1函数与方程

练习（P88）

1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，

所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.

(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,

作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.

(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，

它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.

(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，

它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根. 图3-1-2-7

2.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,

所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.

又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.

(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,

所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.

又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.

(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,

所以f(x)=ex-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.

又因为f(x)=ex-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.

(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,

所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.

图3-1-2-8

练习（P91） 1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,

所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.

下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.

取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.

因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).

再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.

因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).

同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).

由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,

所以原方程的近似解可取为0.656 25.

2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.

于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.

下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.

取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.

因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).

再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.

因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).

同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),

x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).

由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,

所以原方程的近似解可取为2.593 75.

习题3.1 A组（P92）

1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.

2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,

又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，

并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”

可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.

3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,

可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.

下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.

取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.

因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).

再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.

因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).

同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).

由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,

所以原方程的近似解可取为-0.937 5.

4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，

用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,

所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.

下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.

取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.

因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).

再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.

因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875). 同理,可得x0∈(0.812 5,0.875)，x0∈(0.812 5,0.843 75).

由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,

所以原方程的近似解可取为0.843 75.

5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是f(2)·f(3)<0,

所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.

下面用二分法求函数f(x)=lnx2在区间(2，3)内的近似解.

x取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0.12.

因为f(2)·f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5).

再取(2，2.5)的中点x2=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.

因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5).

同理,可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.312 5,2.375),x0∈(2.343 75,2.375),

x0∈(2.343 75,2.359 375),x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25).

由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,

所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.

B组

bb24ac3(3)242(1)23171.将系数代入求根公式x=,得x==,

2a224所以方程的两个解分别为x1=317,x2=317.

44下面用二分法求方程的近似解.

取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.

在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.

于是f(1.775)·f(1.8)<0.

所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.

由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,

所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.

同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.

所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.

2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如下图所示.

图3-1-2-9

所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.

取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.

因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).

再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.

因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).

同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062 5). 由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,

所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.

同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.

3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.

(2)函数图象如下图所示.

图3-1-2-10

(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.

取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.

因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).

再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.

因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).

同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.812 5,-2.75).

由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,

所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.

同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.

所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.

点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.

第三章 复习参考题A组（P112）

1.C 2.C

3.设经过时间t后列车离C地的距离为y，则y=200100t,0t2, 图3-2

100t200,2t5.4.(1)圆柱形; (2)上底小、下底大的圆台形;

(3)上底大、下底小的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形. 图略.

图3-3

5.令f(x)=2x3-4x2-3x+1,函数图象如图3-3所示: 函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,

所以方程2x3-4x2-3x+1=0的最大的根应在区间(2,3)内.

取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)=-0.25.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).

再取(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈4.09.

因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).

同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5,2.5625),x0∈(2.5,2.53125),

x0∈(2.515625,2.53125),x0∈(2.515625,2.5234375).

由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01,

所以原方程的最大根约为2.523 437 5.

6.令lgx=111,即得方程lgx=0,再令g(x)=lgx,用二分法求得交点的横坐标约为2.5.

xxx

图3-4

7.如图,作DE⊥AB,垂足为E.由已知可得∠ADB=90°.

AD2x2因为AD=x,AB=4,于是AD=AE×AB,即AE==.

AB42x2x2所以CD=AB-2AE=4-2×=4.

42

x2x2于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4+x=+2x+8.

22

x2x2由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,>0,4>0,解得0

42x2所以所求的函数为y=+2x+8,0

28.(1)由已知可得N=N0(

又N0是正常数,所以N=N0(

(2)N=N0e-λt,因为e-λt=

1t1λ).因为λ是正常数,e>1,所以e>1,即0<<1.

ee1t)是在于t的减函数.

eNN1N,所以-λt=ln,即t=ln.

N0N0N0N01N01(3)当N=时,t==ln2.

22N09.因为f(1)=-3+12+8=17>0,f(2)=-3×8+12×2+8=8>0,f(3)<0,所以,下次生产应在两个月后开始.

B组

1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.

320t1,t,23(t2)23,1t2, 2.函数的解析式为y=f(t)=23,t2.

函数的图象为

图3-5

备课资料

［备选例题］

【例】对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.

（1）当a=2,b=-2时，求f(x)的不动点；

（2）若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围.

解：(1)f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),当a=2,b=-2时,f(x)=2x2-x-4,

设x为其不动点,即2x2-x-4=x，则2x2-2x-4=0,解得x1=-1,x2=2,即f(x)的不动点为-1,2．

(2)由f(x)=x,得ax2+bx+b-2=0.关于x的方程有相异实根,则b2-4a(b-2)>0,即b2-4ab+8a>0.

又对所有的b∈R,b2-4ab+8a>0恒成立,故有(4a)2-4·8a<0,得0