数学建模一周试题

2024年1月9日发(作者：北京高职升本数学试卷)

试 题 说 明

1.本次数学建模周共有如下十五道题。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题中任意选取一题，并完成一篇论文，具体要求参阅《论文格式规范》。

2.指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。

3.题目标注为“A”的为有一定难度的题目，选择此题你们将更有可能得到高分。

（一）乒乓球赛问题 (A)

A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为1,2,3 和1,2,3）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A队以i次序出场而B队以队可胜j次序出场，则打满5局Aaij局。由此得矩阵R(aij)如下：

12R3441

122035133（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？

（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？

（3） 如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？

（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？

（二）野兔生长问题

在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下：

T=0

1

T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=9

2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56101 8.9392 9.5817

分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。

（三）停车场的设计问题

在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。

容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。

模型假设

1）刹车距离S等于反应距离S1与制动距离S2之和；(或通过距离S=S1+L+S2+L0)

2）反应距离S1与车速V成正比，设反应时间为T1，制动时间为T2；

3）制动时，综合因素为u，最大制动力（摩擦力）F做的功为汽车动能的改变。

模型建立

由假设2）得： S1=T1V ……（1）

由假设3），在力F的作用下行驶S2做的功FS2使汽车速度从V变为0，动能的变化为MV*V/2，即FS2=MV*V/2，又F与M成正比，由牛顿第二定律可知，刹车时加速度a为常数，于是 V*V=2aS2 ……（2）

其中： a=-ug （F=-uMg=Ma,g为重力加速度） ……（3）

1)、求刹车的距离S：

综合A、（1）、（2）、（3）即得： S=（T1+V/2ug）*V

汽车速度从V到Vt=0可列 Vt=V+aT2 ……（4）

2）、求黄灯亮的时间T：

由B、（3）、（4）得 ：T=T1+V/ug（反应时间可根据统计数据或经验时间得到）将模型应用于实际，知道参数T1、V、u即可。反应时间T1经验估计值0.75秒，车身长为5米，路口为20米，摩擦因素和汽车制动性能因素总计为0.4。

（四）奖学金的评定 (A)

背景

A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困扰。平均来说，ABC的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A—）,这使得无法对好的和中等的学生加以区分.然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次.

教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序.例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。

问题

（1）假设学生成绩是按照（A+，A, A—, B+ ,„）这样的方式给出的,教务长的想法能

否实现?

（2）如果学生成绩是按照(A,B,C,„)的方式给出的,教务长的想法能否实现?

（3）能否有其他方案给出所希望的排名?

（4）需要关心的是,个别一门课程的成绩能否使很多学生按10%划分的等级顺序变化.这种情况能发生吗?

数据

参赛各队应设计出一组数据用以检验和说明各自的算法,并应使数据能够反映出算法有效性受到限制的情况.

（五）购房贷款的比较

小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清.

房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元, 22年还清, 不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元..

小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的.

（六）贷款月还款多少

随着经济的发展，金融正越来越多的进入普通人的生活；贷款，保险，养老金和信用卡；个人住房抵押贷款是其中重要的一项。2005年12月，中国人民银行公布了新的存，贷款利率水平，其中贷款利率如下表所列

1年以下(含1-3年 (含3 3-5 年(含5 5-10 年(含10-15年(含15-20年(含种类 , 期限

1年)

年)

年) 10年)

15年)

20年)

个人住房按揭贷款

5.31

5.31

5.31

5.58

5.58

5.58

以人民币10万元为例计算贷款的月还款数（计算到20年）

（七）. 还款周期与本息总额

个人住房贷款以10万元为例子，期限为3年，试讨论随着还款的周期变化，本息总额如何变化。

（八）费用分担问题

有三个位于某河流同旁的城镇城1、城 2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。

用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式：

2建厂费用 C1=730Q0.71(万元）管道费用 C2=6.6Q0.51L（万元）

已知三城镇的污水量分别为：Q1=5立方米/秒，

Q2=3立方米/秒，Q3=5立方米/秒，

问：

三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？

（九）徽章问题

(AAA)

题目过长，请查看该文件夹中的徽章问题.doc文档

**********以下为lingo或者MATLAB软件实现题目*******

（十）某糖果厂用原料A，B，C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种糖果的中A，B，C的含量，原料成本，各种原料每月的限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

A

B

C

甲

乙

丙

原料成本/元/kg

每月限制用量/kg

60%

15%

20%

60%

50%

加工费/元/kg

0.50 0.40 0.30

售价/元/kg

3.40 2.85 2.25

2.00

1.50

1.00

2000

2500

1200

问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少kg，使得到的利润为最大？

（十一）、某厂生产三种产品Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ产品。Ⅰ依次经A、B设备加工，产品Ⅱ经A、C设备加工，产品Ⅲ经过C、B设备加工。已知有关数据如下表所示，请为该厂制订一个最优的生产计划。

产 品

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

机器成本/元/h

每周可用时间/h

机器生产率/件/h 原料成本/元 产品价格/元

A

10

20

50

B

20

10

45

C

5

20

60

15

25

10

50

100

45

200 100 200

（十二）、(A)

一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后。已知该公司仓库的最大储存量为20万m3，储存费用为abu元/m3，式中a70，b100，u为储存时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示。

季度 买进价/元/m3 卖出价/元/m3 预计销售量/元/m3

冬

春

夏

秋

410

430

460

450

425

440

465

455

100

140

200

160

由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完，试建立这个问题的线性规划模型。

（十三）、某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如下表

饲料 蛋白质/g 矿物质量/g 维生素/mg 价格/元/kg

1

2

3

4

5

3

2

1

6

18

1

0.5

0.2

2

0.5

0.5

1.0

0.2

2

0.8

0.2

0.7

0.4

0.3

0.8

要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。

（十四）、某地区有三个化肥厂，除供应外地区需要外，估计每年可供应本地区的数字为：化肥厂A—7万吨，B—8万吨，C—3万吨。有四个产粮区需要该种化肥，需要量为：甲地区—6万吨，乙地区—6万吨，丙地区—3万吨，丁地区—3万吨。已知从各化肥厂到各产粮区的每吨化肥的运价如下表所示：

产粮区

化肥厂

A

B

C

甲

5

4

8

乙

8

9

4

丙

7

10

2

丁

9

7

9

试根据以上资料制订一个使总的运费为最少的化肥调拨方案

（十五）、已知某运输问题的产销平衡表与单位运价表如下表所示

销地

产地

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

销量

A

10

20

30

25

B

15

40

35

115

C

20

15

40

60

D

20

30

55

30

E

40

30

25

70

产 量

50

100

150

（1）求最优调拨方案；

（2）如产地的产量变为130，又B地区需要的115单位必须满足，试重新确定最优调拨方案。