高中数学数列极限的计算方法及解题技巧

2024年4月7日发(作者：浙江专升本数学试卷出题时间)

高中数学数列极限的计算方法及解题技巧

数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。在高中数

学中，我们经常会遇到需要计算数列极限的题目。本文将介绍数列极限的计算方法

及解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解

和应用。

一、数列极限的定义

在开始讨论数列极限的计算方法之前，首先需要了解数列极限的定义。数列极

限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于的一个确定的值。数列极限常用

符号\"lim\"表示，例如lim(n→∞)an = L，表示当n趋于无穷大时，数列an的极限为

L。

二、数列极限的计算方法

1. 常见数列的极限计算方法

常见的数列包括等差数列、等比数列、阶乘数列等。对于这些数列，我们可以

利用其特殊的性质来计算极限。

例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。当n趋于无

穷大时，数列的极限为无穷大，即lim(n→∞)an = +∞。

对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。当|r| > 1时，数列

的极限为无穷大，即lim(n→∞)an = +∞；当|r| < 1时，数列的极限为0，即

lim(n→∞)an = 0。

2. 利用数列的递推关系计算极限

有些数列的递推关系可以帮助我们计算极限。例如，对于递推数列an = an-1 +

1/n，其中a1 = 1。我们可以通过递推关系计算数列的前几项，发现数列逐渐趋近

于ln2。因此，当n趋于无穷大时，数列的极限为ln2，即lim(n→∞)an = ln2。

三、数列极限的解题技巧

1. 注意数列的特殊性质

在解题过程中，我们需要注意数列的特殊性质，例如等差数列和等比数列的性

质。通过分析数列的特点，可以更好地确定数列的极限。

2. 利用数列的性质进行变形

有时候，我们可以通过对数列进行变形来简化计算。例如，对于数列an =

(n+1)/(n-1)，我们可以将分子和分母同除以n，得到an = (1+1/n)/(1-1/n)。当n趋于

无穷大时，分式的值趋近于1，因此数列的极限为1，即lim(n→∞)an = 1。

3. 利用数列的收敛性质

在计算数列极限时，我们可以利用数列的收敛性质来简化计算。例如，对于数

列an = (3n^2 + 2n + 1)/(2n^2 + n + 5)，我们可以将分子和分母同除以n^2，得到an

= (3 + 2/n + 1/n^2)/(2 + 1/n + 5/n^2)。当n趋于无穷大时，分式的值趋近于3/2，因

此数列的极限为3/2，即lim(n→∞)an = 3/2。

通过以上的解题技巧，我们可以更加灵活地计算数列极限，提高解题效率。

总结：

数列极限的计算方法及解题技巧是高中数学中的重要内容。通过掌握数列的特

殊性质，利用递推关系和数列的变形，以及利用数列的收敛性质，我们可以更好地

计算数列的极限。希望本文的内容能够帮助到高中学生和他们的父母，提高数学解

题的能力和水平。