72.最大张角:米勒问题

2024年4月8日发(作者：杨浦区初三数学试卷答案)

72．最大张角：米勒问题

命题：设直线

L

1

、

L

2

相交于点

O

，

M

、

N

是直线

L

2

上两个定点，点

P

是直线

L

1

上的动点．当且仅当

OP

2

OM

·

ON

时，

MPN

最大．

证明 设过点

M

、

N

的圆

C

与直线

L

1

切于点

P

．对于直线

L

1

上的任意的一点

Q

，总在圆

C

外．由圆外角定理：

MPN

MQN

．

【数学史上100个著名的极值问题：米勒（Christian Roder、德）定理．1431～？】

例1 （04、全国19、2011、武汉、四月15）在直角

坐标系中，给定两点

M(1，

2)

．在

x

轴上求

4)

、

N(1，

一点

P

，使

MPN

最大．

解

MN

所在的直线方程：

yx3

，与

x

轴交于

C(3，0)

．

|CM|42

，

|CN|22

由米勒定理：

|CP|

2

|CM|

·

|CN|



|CP|4



P(1，0)

．

因为

|CP|

2

|CM|

·

|CN|

，所以过点

M

、

N

两点的圆与

x

轴切于点

P(1，0)

．设

点

Q

是

x

轴上任意一点，由圆外角定理：

MPN

MQN

．

所以所求的点为

P(1，0)

．

x

2

例2（05、浙江）已知

E

、

F

是椭圆

4



y

2

2

1

的左右焦点，直线

L

是椭圆的

准线．点

P

∈

L

，设



＝

EPF

，则



的最大

值＝________________；

解

a2，bc2

，

a

2

c

22

．

由

|PQ||EQ||FQ|

0

6)

，

6

，取

P(22，

再由夹角公式求得：



30

．

例3 足球场宽为80m，球门宽4m．运动员带球沿边线推进．应在距离底线多少米

时，能使射门角度最大？

例4 炬形黑板高为

a

米，下底边沿距离地面

b

米．设眼睛距离地面

c

米．当对黑

板的视角最大时，应坐在距离黑板正对面__________________米．