2024年4月8日发(作者：数学试卷尺子尺寸标准图)
中 考 数 学 专 题—最 值 经 典
第九讲：最大张角之米勒问题
最大视角问题在数学竞赛、模拟考试中频频亮相，也是近年来陕西中考数学命题
的一个热点，常常以平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会
突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利
解决。
【米勒问题】
1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的
什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？
即在什么部位，视角最大？最大视角问
题是数学史上100个著名的极值问题中第
一个极值问题而引人注目，因为德国数
学家米勒曾提出这类问题，因此最大视
角问题又称之为“米勒问题”.
我们可以把米勒问题转化为如下这样一个数学问题：
M
P
P
P
\'
M
OABN
OABN
已知，如图所示.点A、点B是∠MON边ON上的两个定点，点P是OM上一动点，则
当点P运动到何处时，∠APB最大？
在解决这个问题之前，我们先来探究一下圆中的同一条弧所对的三类角的数量关
系.
如图所示： （1）
C=∠AEB
，
∠AEB=∠EBDD
，则
C=∠EBDD
，
则
CD
（2）
CE
，
EAFBEBF
，则
EAFB
结论：圆周角大于圆外角；圆周角小于圆内角
A
C
F
O
E
B
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中 考 数 学 专 题—最 值 经 典
米勒定理：如图所示.点A、点B是∠MON边ON上的两个定点，点P是OM上一动
点，则当且仅当ΔAPB的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大.如图中的
AP\'B
最大.
M
P
P
P
\'
M
OABN
OABN
证明：在直线l上任取异于
P
的一点P，连接AP，BP，AP与圆交于点M，连接
BM；
ABAB，AMBAP
B，又AMBAPBABP，
AP
BAPBABP， AP
B＞APB
【模型识别】
①平面内有定点A，B以及定直线l；
②P是直线上的一个动点；
③求∠APB的最大值以及∠APB最大时的点P.
【辅助线作法】
过定点A，B作圆与直线l相切于点
P
.
P（动点）
lP
M
B
A
图1
B
A
图2
P
\'
l
【结论】
AP
B
即为
APB
的最大值
【核心步骤】：找定点、确定线、作切圆
【解法】切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与交点的两条线段长的比例中
项，即
OCOAOB
证明：在圆周上选点D，使得CD为圆的直径，
∵∠BDC+∠BCD=∠OCB+∠BCD=90°
又∵∠CAO=∠BDC
∴∠CAO=∠OCB
∵∠AOC=∠COB
∴△OAC∽△OCB
∴
OCOB
OA OC
2
2
A
B
D
OC
∴
OCOAOB
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