数列归纳法

2024年4月4日发(作者：双减下小学数学试卷分析)

复习引入：

等差数列的通项公式的推导：

由

a

2

a

1

d

猜想：

a

n

a

1)d

1

(n

像这样由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法。

示例：

1.形如：2n+1的数是奇数。（n是整数）

2.数列

{a

n

}

中，

a

n

(n

2

5n5)

2

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也

是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡

科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6

的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3

＋3，12＝5＋7等等。1742年6月7日，哥德巴赫写信将这个

问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6

月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证

明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能

证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数

开始进行验算，一直算到3．3亿，都表明猜想是正确的。但是对

于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直

到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世

界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥

德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了2

0世纪20年代，才有人开始向它靠近。

骨牌

数学家通过对正整数的深入研究，找到了一种证明

与正整数n有关的数学命题正确与否。

（1）证明当n取第一值

n

0

时，命题成立；

（2）假设当

nk

时命题成立，证明当

nk1

时

命题也成立。

在完成了上面的两个步骤后，我们就可以断定这个

命题对于所有的正整数n都成立，这种证明方法叫

做数学归纳法。

【例1】证明等差数列

{a

n

}

中，

a

n

a

1

(n1)d

。

n1

【练习】证明等比数列的通项公式：

a

n

a

1

q

【例2】用数学归纳法证明：

135(2n1)n

2

。

【练习】课本P32-33，1，2，4（1）

【例3】用数学归纳法证明：

1

2

2

2

3

2

n

2



n(1n)(2n1)

6

。

【练习】用数学归纳法证明

122

2

2

n1

2

n

1

：