兰州大学运筹学——线性规划问题的计算机求解课后习题题解

2024年1月16日发(作者：凉山中考模拟题数学试卷)

兰州大学运筹学——线性规划问题的计算机求解课后习题题解

第四章 线性规划问题的计算机求解

4.1 有以下线性规划数学问题： max Z=2x l +3 x 2 S.T. x l + x

2≤10 2x l + x 2≥4

x l +3 x 2≤24 2x l + x 2≤16

x l 、 x 2≥0

1、 用EXCEL 线性规划求解模板求解该数学模型。

2、 本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？

3、 四个约束条件中，哪些约束条件起到了作用？各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？

4、 目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？

5、 确定各给定条件中的常数项的上限和下限。 解： 1、

2、最优解：（3，7），最优值：27

3、 可变单元格

约束

对于求最大化的问题，对偶价格=阴影价格

松弛量/剩余量对偶价格

x l+ x2≤10 0 1.5

2x l+ x2≥4 9 0

x l+3 x2≤24 0 0.5

2x l+ x2≤16 13 0 因第一、第三个约束条件的松弛量/剩余量为0 ，所以这两个约束条件起到了约束作用。

4、目标函数中各变量系数1≤C1≤3

2≤C1≤6

5、常数项

8≤b1≤9.2

无限≤b2≤13

18≤b3≤30

13≤b4≤无限

4.2 有以下线性规划数学问题：

min f=8x l+3 x2

S.T. 500x l+100 x2≤1200000

5x l+4 x2≥60000

100x l≥300000

x l 、x2≥0

1、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。

2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？

3、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。

4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？

5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。

解：

本问题无解。

4.3 有以下线性规划数学问题：

max Z=x l+2 x2+3 x3- x4

S.T. x l+2 x2+3 x3≤15

2x l+ x2+5 x3≤20

x l+2 x2+ x3+ x4≤10

x l 、x2、x3、x4≥0

1、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。

2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？

3、分别解释“递减成本”栏中各数据的含义。

4、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。

5、C2再增加2，同时C3再减少2，其最优解是否会变化？为什么？

6、b1再增加3，同时b2再减少3，其对偶价格是否会变化？为什么？

解：

1、

2、最优解：（0，2.143，3.571，0），最优值：15 （本问题可能是多解问题）

3、

可变单元格

终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量

$C$34 x1 0 0 1 0 1E+30

$D$34 x2 2.142857143 0 2 0 1.4

$E$34 x3 3.571428571 0 3 7 0

$F$34 x4 0 -1 -1 1 1E+30

约束

终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量

$R$11 实际值15 1 15 1.666666667 3

$R$12 实际值20 0 20 5 3.75

$R$13 实际值7.857142857 0 10 1E+30 2.142857143

递减成本栏中的数据的绝对值，分别表示四个变量在目标函数中系数，当最优解中不为0的变量，其递减成本必为0，最优解中变量值

为0时，要使其解不为0时要使相应系数增加递减成本的绝对值，其解不为0。本问题中，x1为0 ，递减成本的绝对值也为0 ，说明c1=1就能使x1<>0; x4为0，递减成本的绝对值为1，说明c4=0才能使

x4<>0。

4、松弛量对偶价格

x l+2 x2+3 x3≤15 0 1

2x l+ x2+5 x3≤20 0 0

x l+2 x2+ x3+ x4≤10 2.143 0

5、上表中 0.6≤C2≤2

3≤C3≤10

可见C2没有增加允许，C3没有减少允许，所以C2再增加2，同时C3再减少2，其最优解必将发生变化。

6、b1的允许增量是1.667,所以b1再增加3，同时b2再减少3，其对偶价格必将发生变

化。

4.4 有以下线性规划数学问题：

min f=-2x l- x2+3 x3-4 x4

S.T. x l+2 x2+4 x3- x4≤6

2x l+3 x2- x3+ x4≤18

x l+ x2+ x3≤4

x l 、x2、x3、x4≥0

1、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。

2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？

3、分别解释“递减成本”栏中各数据的含义。

4、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。

5、C1再减少5，同时C3再增加5，其最优解是否会变化？为什么？

6、b1再减少5，同时b3再增加5，其对偶价格是否会变化？为什么？

解：

1、

2、最优解：（0，0，4，22），最优值：-76。

3、

终递减目标式允许的允许的

单元格名字值成本系数增量减量

$C$34 x1 0 7 -2 1E+30 7

$D$34 x2 0 12 -1 1E+30 12

$E$34 x3 4 0 3 1 1E+30

$F$34 x4 22 0 -4 1 1E+30

终阴影约束允许的允许的

单元格名字值价格限制值增量减量

$R$11 实际值-6 0 6 1E+30 12

$R$12 实际值18 -4 18 1E+30 12

$R$13 实际值 4 -1 4 4 4 递减成本栏中的数据的绝对值，分别表示四个变量在目标函数中系数，当最优解中不为0的变量，其递减成本必为0，最优解中变量值为0时，要使其解不为0时要使相应系数增

加递减成本的绝对值，其解不为0。本问题中，x1为0 ，递减成本的绝对值为7 ，说明c1由现在的-2变为-1时，就能使x1<>0; x2为0，递减成本的绝对值为12，说明c2=0由现在的-1变为11时才能使x2<>0。

4、松弛量对偶价格

x l+2 x2+4 x3- x4≤6 12 0

2x l+3 x2- x3+ x4≤18 0 4

x l+ x2+ x3≤4 0 1

5、上表中 -9≤C1≤无限

无限≤C3≤4

可见C3只能允许增加1，当增加5时其最优解必将发生改变。

6、b3只能增加4，所以当b3只能增加5时，其对偶价格必将发生改变。

4.5 某公司根据订单安排生产。已知半年内对某产品的需求量、单位生产费用和单位存储费用如下表：

半年内每月最佳生产量和存储量才能使总的费用为最少？

若设未来6个月每月的生产量分别为x l、x2、x3、x4、x5、x6

每月的存储量分别为x7、x8、x9、x10、x11、x12 可得线性规划数学模型：

min f=825x l+775 x2+850 x3+850 x4+775 x5+825

x6+40x7+30 x8+35 x9+20 x10+40 x11+40 x12 S.T. x l- x7=50

x2+ x7- x8=40

x3+ x8- x9=50

x4+ x9- x10=45

x5+ x10- x11=55

x6+ x11- x12=30

x l≤100

x2≤100

x3≤100

x4≤100

x5≤100

x6≤100

x7≤50

x8≤50

x9≤50

x10≤50

x11≤50

x12≤50

x i ≥0 (i=1,2,.......12)

1、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。

2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？

3、分别解释“递减成本”栏中各数据的含义

4、各约束条件的剩余量或松驰量及对偶价格是多少？其中一些约束条件的对偶价格为负，其意义是什么？。

5、后12个约束条件中，大部分约束条件的对偶价格为0是什么意思？不为0的又具有什么含义？

6、为什么目标函数中有些变量系数的取值范围为无上限？

解：

1、Excel求解

2、本问题的最优解：（50，90，0，45，85，0，0，50，0，0，

30，0）

最优值：217825

3、

可变单元格

终递减目标式允许的允许的

单元格名字值成本系数增量减量

$C$34x15008251E+3090

$D$34x2900775451E+30

$E$34x3008501E+3035

$F$34x44508503595

$G$34x585077510855

$H$34x60108251E+3010

$I$34x7090401E+3090

$J$34x850030451E+30

$K$34x9035351E+3035

$L$34x10095201E+3095

$M$34x5

$N$34x120855401E+30855

约束

终阴影约束允许的允许的

单元格名字值价格限制值增量减量

$R$11实际值5

$R$12实际值4

$R$13实际值5

$R$14实际值45850455545

$R$15实际值55775551585

$R$16实际值3

$R$17实际值5001001E+3050

$R$18实际值9001001E+3010

$R$19实际值001001E+30100

$R$20实际值4501001E+3055

$R$21实际值8501001E+3015

$R$22实际值001001E+30100

$R$23实际值00501E+3050

$R$24实际值50-4550050

$R$25实际值00501E+3050

$R$26实际值00501E+3050

$R$27实际值300501E+3020

$R$28实际值00501E+3050从这个灵敏度分析表：

递减成本栏表示的是：对于解为0的变量，其目标函数系数在现在基础上再减少的量，使其对应的解不为0 。

4、约束松弛量对偶价格

x l- x7=50 0 -825

x2+ x7- x8=40 0 -775

x3+ x8- x9=50 0 -815

x4+ x9- x10=45 0 -850

x5+ x10- x11=55 0 -775

x6+ x11- x12=30 0 -815

x l≤100 50 0

x2≤100 10 0

x3≤100 100 0

x4≤100 55 0

x5≤100 15 0

x6≤100 100 0

x7≤50 50 0

x8≤50 0 45

x9≤50 50 0

x10≤50 50 0

x11≤50 20 0

x12≤50 50 0

其中对偶价格为负的意思是这些约束条件中，每增加一个常数项值，将会使目标函数值增加量，因为是求最小数点化的问题，所以目标函数的增大，对偶价格为负。

5、后12个约束条件中，大部分约束条件的对偶价格为0是因为这些约束中，其松弛量都不为0，也就是说在前6个约束中，生产量没有达到最大量（最大生产能力）的要求，再扩大生产能力不会对最优目标产生影响；后6个约束中，说明仓库没有放满，再扩建立仓库也不会改变总的存储存用。

6、目标函数中有些变量系数的取值范围为无上限一般表示其解为0 ，而不为的相关值是应减少的数，所以对于增加的值，无论多大都不会影响相应的解。