2024年3月23日发(作者：卷三数学试卷2020)
年第4期2022河北理科教学研究
考试指导
2021年高考甲卷数学理科
第20题的源与流
陕西省汉中市龙岗学校巨小鹏723102
摘要：近几年同构法在高考题中不断显现，方法让人耳目一新，这种方法的影子就在课本的
例题或习题里.就高考真题所涉及同构法的例题进行剖析，找出在课本中的题源题根，并以往年高
考题或者名校联考试题为例加以运用，深刻理解同构法的高妙.
关键词：真题；同构；课本；题根
高考题源于课本，高于课本，然而教材
中许多被人忽视的例题，静静地散发着自己
的魅力.同构法在函数、圆锥曲线和数列等
模块中相继显现，并被大家接受和认可.然
而同构法并不是新的方法，其思想就隐藏在
课本之中.
（2）设
A
1
(x
1
,y
1
),A
2
(x
2
,y
2
),A
3
(x
3
,y
3
)
，若
A
1
A
2
斜率不存在，则
A
1
A
2
方程为
x=1
或
x=3
，
若
A
1
A
2
方程为
x=1
，易知不合题意；若
A
1
A
2
方程为
x=3
，由对称性有
A
1
(3,3),A
2
(3,-3)
则过
A
1
与圆
M
相切的直线
A
1
A
3
为
y-3=
1真题呈现
（2021年高考甲卷数学（理）20题）
抛物线
C
的顶点为坐标原点
O
.焦点在
直线
l
：
x=1
交
C
于
P，Q
两点，且
x
轴上，
且圆
M
与
l
相
OP⊥OQ
．已知点
M
(
2,0
)
，
切．（1）求
C
，圆
M
方程；（2）设
A
1
,A
2
,A
3
是
C
上的三个点，直线
A
1
A
2
，
A
1
A
3
均与圆
M
相切．
判断直线
A
2
A
3
与圆
M
的位置关系，并说明
理由．
解析：（1）依题意设抛物线
C:y
2
=2px
33
(x-3)
，又
k
AA
=
1
=
，即
3
3+y
3
3
13
y
3
=0
，此时直线
A
1
A
3
，A
2
A
3
关于
x
轴对称，所以
直线
A
2
A
3
与圆
M
相切；若直线
A
1
A
2
,A
1
A
3
,A
2
A
3
斜率均存在，则
k
AA
=
1
,k
AA
=
1
,k
AA
y
1
+y
2
y
1
+y
3
=
1
，所以直线
A
1
A
2
方程为
x-(y
1
+y
2
)y+
y
2
+y
3
121323
y
1
y
2
=0
，同理直线
A
1
A
3
的方程为
x-(y
1
+y
3
)y
+y
1
y
3
=0
，直线
A
2
A
3
的方程为
x-(y
2
+y
3
)y+
y
2
y
3
=0
，因为
A
1
A
2
与圆
M
相切，所以
(p>0),P(1,y
0
),Q(1,-y
0
)
，因为
OP⊥OQ，
所以
PO∙OQ=1-y
0
2
=1-2p=0
,即
2p=1
，所以
C
的方程为
y
2
=x
；点
M(0,2)
,可知圆
M
半径
为
1
，所以圆
M
的方程为
(x-2)
2
+y
2
=1
.
|
2+y
y
|
12
1+(y
1
+y
2
)
2
=1
整理得
(y
1
2
-1)y
2
2
+2y
1
y
2
+3
同理得
(y
1
2
-1)y
3
2
A
1
A
3
与圆
M
相切，
-y
1
2
=0
，
+2y
1
y
3
+3-y
1
2
=0，
所以
y
2
,y
3
为方程
(y
1
2
-1)y
2
·49·
年第4期2022河北理科教学研究
2y
1
，
1-y
1
2
考试指导
+2y
1
y+3-y
1
2
=0
的两根，
y
2
+y
3
=
y
2
y
3
=
2
1
评注：此题本身不难，重点在由已知得
出
(a
1
,b
1
),(a
2
,b
2
)
是方程
x+2y+1=0
的两组
解，对于这种结构相同性问题，构造出新的
方程解决问题的方法值得我们去探究.由此
可知，将条件进行等价转化，化成结构形式
相同的方程或者不等式，然后构造出熟悉的
方程或者函数解决问题，起到化繁为简的目
的，我们将这种方法称为“同构法”.
y
-3
.M
到直线
A
2
A
3
的距离为：
1-y
1
2
|
3-y
1
2
|
|
|
2+
2
|
|
y
-1
|
2+y
2
y
3
|
||
1
==1
，所以直线
2
2y
1
2
1+(y
2
+y
3
)
1+()
1-y
1
2
A
2
A
3
与圆
M
相切；综上若直线
A
1
A
2
，A
1
A
3
与圆
M
相切，则直线
A
2
A
3
与圆
M
相切.
评注：（1）过抛物线上两点的直线斜率
只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转
化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充
分利用
A
1
A
2
，A
1
A
3
的对称性，构造出
y
2
,y
3
为方程
(y
1
2
-1)y
2
+2y
1
y+3-y
1
2
=0
的两根，
抽象出
y
2
+y
3
，
y
2
y
3
与
y
1
关系，把
y
2
，y
3
的
关系转化为用
y
1
表示.
3应用举例
3.1双切线问题
2
y
动点
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
x
2
+
2
=1(a>b>0)
ab
外一点，过点
P
作椭圆的两条切线
l
1
,l
2
，其
2
斜率存在且分别为
k
1
,k
2
，若
k
1
k
2
=λ(λ≠0)
，
则
P
点的轨迹方程为
λx
2
-y
2
=λa
2
-b
2
(x≠
±a,y≠±b)
.
y-y
0
=k
1
(x-x
0
)
与椭
探究证明：设直线
l
1
：
圆联立得
(a
2
k
1
2
+b
2
)x
2
+2a
2
k
1
(y
0
-k
1
x
0
)x+a
2
⋅
因为
Δ=0，
所以
(x
0
2
-a
2
)k
1
2
[(y
0
-k
1
x
0
)
2
-b
2
]=0，
同理可得
(x
0
2
-a
2
)k
2
2
--2x
0
y
0
k
1
+(y
0
2
-b
2
)=0
，
2课本寻根
特级教师万尔遐说过：题海战术人笑痴，
别人抓根你抓枝，抓根九九能归一，抓枝遍野
怎收拾?课有本，题有根，题根课根联考根，讲
课不把根题展，盲人摸象白费神.命题时，命
题人在千方百计地把这个题根藏起来；解题
时恰好相反，解题人则是要千方百计地把这
个题根寻找到.找到题根题源，就找到问题
的底层逻辑，以此展开思维，继续探究.
题源：［苏教版（新版）高中数学必修一
第19页13题］已知两条直线
a
1
x+b
1
y+1=0
和
a
2
x+b
2
y+1=0
都过点
A(1,2)
，求过两点
[3]
2x
0
y
0
k
2
+(y
0
2
-b
2
)=0
即
k
1
,k
2
为方程
(x
0
2
-a
2
)⋅
所以
k
1
k
2
=
k
2
-2x
0
y
0
k+(y
0
2
-b
2
)=0
的两个根，
y
0
2
-b
2
=λ
，于是
P
点轨迹方程为
λx
2
-y
2
=λa
2
22
x
0
-a
-b
2
(x≠±a,y≠±b)
.可知当切线斜率不存在
时，方程也成立.
双切线交点轨迹问题不仅仅在椭圆中
有这样的结论，在双曲线和抛物线中也有类
似的结论，有兴趣可以继续探究.并且双切
线的斜率之间也有关系，比如上述探究中
22
2x
yy
-b
k
1
k
2
=
0
22
，也可得
k
1
+k
2
=
2
00
2
.
x
0
-a
x
0
-a
例1（2014年广东卷理科18题）已知椭
2
y
2
x
圆
C:
2
+
2
=1
(
a>b>0
)
的一个焦点为
ab
5
离心率为
（.1）求椭圆
C
的标准
5,0
，
3
P
1
(a
1
,b
1
),P
2
(a
2
,b
2
)
的直线方程.
解析：因为两条直线
a
1
x+b
1
y+1=0
和
a
2
x+b
2
y+1=0
都过点
A(1,2)
，所以
a
1
+2b
1
+
1=0
且
a
2
+2b
2
+1=0
.即
(a
1
,b
1
),(a
2
,b
2
)
是方
程
x+2y+1=0
的两组解，所以过两点
P
1
(a
1
,b
1
),P
2
(a
2
,b
2
)
的直线方程是：
x+2y+1=0.
()
·50·
年第4期2022河北理科教学研究
可得
y
2
-m
1
y+1=0
，因
为
PA
与抛物线相切，所
2
-4=0
，
以
Δ=m
1
取
m
1
=
考试指导
y
A
P
O
B
方程；（2）若动点
P
(
x
0
,y
0
)
为椭圆外一点，且
点
P
到椭圆
C
的两条切线相互垂直，求点
P
的轨迹方程.
解析：（1）由题意知椭圆
C
的标准方程
2
y
2
x
为
+=1
.
94
（2）①设从点
P
所引的直线的方程为
y-y
0
=k(x-x
0
)
，即
y=kx+(y
0
-kx
0
)
，当从点
2
，则
y
A
=1,x
A
=1
，即
A
（1，1）.同理可得
B
（1，-1）.
所以
AB:x=1
．
x
图1
（Ⅱ）设
P(x
0
,y
0
)
，则直线
PA
方程为
P
所引的椭圆
C
的两条切线的斜率都存
在时，分别设为
k
1
、
k
2
，则
k
1
k
2
=-1
，将直
线
y=kx+(y
0
-kx
0
)
的方程代入椭圆
C
的
方程并化简得
(9k
2
+4)x
2
+18k(y
0
-kx
0
)x+
2
y=k
1
x-k
1
x
0
+y
0
，直线
PB
方程为
y=k
2
x-k
2
x
0
y=kx-k
1
x
0
+y
0
由
2
1
可得
k
1
y
2
-y-k
1
x
0
+y
0
．
y
=x
{
所以
+y
0
=0
.因为直线
PA
与抛物线相切，
2
Δ=1-4k
1
(-k
1
x
0
+y
0
)=4x
0
k
1
-4y
0
k
1
+1=0.
同
(9k
2
+4)
[
9(y
0
-kx
0
)
2
-36
]
=0
，化简得
(y
0
-kx
0
)
2
22
-9k
2
-4=0，
即
(x
2
0
-9)k-2kx
0
y
0
+(y
0
-4)=0，
2
k
2
是关于
k
的一元二次方程
(x
2
则
k
1
、
0
-9)k
Δ=
[
18k(y
0
-kx
0
)
]
-4×
9(y
0
-kx
0
)
2
-36=0
，
理可得
4x
0
k
2
所以
k
1
,k
2
是方
2
-4y
0
k
2
+1=0
，
程
4x
0
k
2
-4y
0
k+1=0
的两根.所以
k
1
+k
2
=
y
0
2
-4
则
k
1
k
2
=
2
-2kx
0
y
0
+(y-4)=0
的两根，
x
0
-9
2
0
2
=-1
，化简得
x
2
②当从点
P
所引
0
+y
0
=13
；
的两条切线均与坐标轴垂直，则
P
的坐标为
此时点
P
也在圆
x
2
+y
2
=13
上.综
(
±3,±2
)
，
上所述，点
P
的轨迹方程为
x
2
+y
2
=13
.
评注：本题以椭圆为载体，考查直线与
圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，
将直线与二次曲线的公共点的个数利用
Δ
的符号来进行转化，计算量较大，其中也涉
及了方程思想的灵活应用.
变式：设点
P
为抛物线
Γ:y
2
=x
外一点，
2
又因为
(x
0
+2)
2
+y
0
则
-3x
0
-1
，即
=1
，
|
11
|
|
k
1
-k
2
|
|
-
|
=
||
=
4y
0
2
-x
0
=
|
k
1
k
2
|
|
k
1
k
2
|
y
0
k
1
k
2
=
1
.则
|
k
1
-k
2
|
=
，
x
0
4x
0
y
0
2
-x
0
y
0
2
1
-=.
x
0
x
2
|
x
0
|
0
41-(x
0
+2)
2
-x
0
=
4-(x
0
+
5
)
2
+
13
∈
24
é
4，213
.
ë
评注：本题主要考查抛物线方程的应
用、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问
题.解答此类题目，通常联立直线方程与抛
物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二
次方程根与系数的关系进行求解，此类问题
易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错
解，能较好地考查考生的逻辑思维能力、运
算求解能力、分析问题和解决问题的能力．
]
PB
，过点
P
作抛物线
Γ
的两条切线
PA
，切
B
．点分别为
A
，（Ⅰ）若点
P
为
(-1,0)
，求直
线
AB
的方程；（Ⅱ）若点
P
为圆
记两切线
PA
，
PB
的
(x+2)
2
+y
2
=1
上的点，
||
斜率分别为
k
1
，求
|
1
-
1
|
的取值范围．
k
2
，
|
k
1
k
2
|
解析：（Ⅰ）设直线
PA
方程为
x=m
1
y-1,
直线
PB
方程为
x=m
2
y-1
，由
3.2斜率同构定点问题
除了双切线问题，还有过曲线外一定点
作曲线的两条交线的斜率同构问题.
例2(2017新课标1卷理科20题）已知
2
y
2
x
椭圆
C：
2
+
2
=1(a>b>0)
，四点
P
1
（1,1），
ab
{
x=m
1
y-1
，
y
2
=x
·51·
年第4期2022河北理科教学研究
3.3参数同构定值问题
考试指导
，
P
3
（–1，
P
2
（0,1）
33
），
P
4
（1，）中恰
22
有三点在椭圆
C
上（.Ⅰ）求
C
的方程；（Ⅱ）
设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A，B
两点.若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为
例3已知椭圆
C
的中心在原点，焦点
25
.
5
（1）求椭圆
C
的方程；（2）过椭圆
C
的右焦点
在
x
轴上，且短轴长为2，离心率等于
l
过定点.
-1
，证明：
解析：（1）
C
的方程为
x
+y
2
=1
.
4
（2）设直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率分别
为
k
1
，如果
l
与
x
轴垂直，设
l:x=t
，经验
k
2
，
证不符合题意.设
P
2
A
的直线方程为
2
F
作直线
l
交椭圆
C
于
A,B
两点，交
y
轴于
M
点，若
MA=λ
1
AF,MB=λ
2
BF
，求证：
λ
1
+λ
2
为定值.
2
x
解析：（1）
+y
2
=1
；（2）可知
F(2,0)
，
5
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),M(0,m)
，因为
MA=λ
1
AF，
2λ
1
所以
(x
1
,y
1
-m)=λ
1
(2-x
1
,-y
1
)
即
x
1
=
，
λ
1
+1
2
y
1
=
m
代入椭圆
x
+y
2
=1
得
λ
1
2
+10λ
1
+5
5
λ
1
+1
又因为
MB=λ
1
BF
，同理可得
λ
2
2
+-5m
2
=0
，
y=k
1
x+1
，直线
l
方程为
y=kx+m
将两个直
km-k
线方程联立得
A(
m-1
,
1
)
代入椭圆方
k
1
-k
k
1
-k
程整理得
4(m
2
-1)k
1
2
+8k(1-m)k
1
+(m-1)
2
+
设
P
2
B
的直线方程为
y=k
2
x+1
，同
4k
2
=0
，
理可得
4(m
2
-1)k
2
2
+8k(1-m)k
2
+(m-1)
2
+4k
2
=0
，即
k
1
，
k
2
是方程
4(m
2
-1)x
2
+8k(1-m)x
+(m-1)
2
+4k
2
=0
的两个根，于是
k
1
+k
2
=
2k
=-1
，则
m=-2k-1
，所以直线方程为
m+1
y=kx-2k-1=k(x-2)-1
.即直线
l
恒过点
（2,-1）
.
评注：对称性是椭圆的一个重要性质，
判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进
行判断；证明直线过定点的关键是设出直
线方程，通过一定关系转化，找出两个参数
之间的关系式，从而可以判断过定点情况.
另外，在设直线方程之前，若题设中未告
知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在
两种情况，其通法是联立方程，求判别式，
利用根与系数的关系，再根据题设关系进
行化简.
10λ
2
+5-5m
2
=0
，则
λ
1
和
λ
2
为方程
λ
2
+10λ
所以
λ
1
+λ
2
=-10
.
+5-5m
2
=0
的两个根，
评注：本题还可以设出直线方程
y=k(x-2)
与椭圆联立，消去
y
得到关于
x
的二次方程，得到
x
1
+x
2
与
x
1
x
2
的值，根据
条件
MA=λ
1
AF
和
MB=λ
1
BF
，得到
λ
1
+λ
2
=-10
.但是计算不如同构法简单.
参考文献
[1]
[2]
[3]
袁方程,黄俊峰.同构法在数学解题中的应
刘海涛，何浩成.例谈“同构”法构造函数在解
命题藏根与解题寻根之例说[J].数学爱好者
用[J].中学数学教学，2019（06）：66.
题中的应用[J].高中数理化，2021（13）：36.
（高考版），2008（12）:9.
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