翻转全对称矩阵的Schur分解

2024年1月21日发(作者：中考数学试卷难怎么安慰)

第３２卷第３期　２０１１年６月　韩山师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｎｓｈａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ＶＯｊ．３２　ＮＯ．３　Ｊｕｎ．２０１　１　翻转全对称矩阵的Ｓｃｈｕｒ分解　王　超　（韩山师范学院数学与信息技术系，广东潮州　５２１０４１）　摘　要：在翻转矩阵概念的基础卜，提　了翻转伞对称矩阵，并讨论其基本性质，获得ｒ一些新的结　果，给　了翻转全对称矩阵的Ｓｅｈｕｒ分解，它们可极大地减少翻转全埘称矩阵的Ｓｅｈｕｒ分解的计算　卜了存储量．　关键词：垂直翻转矩阵；水平翻转矩阵；翻转　对称矩阵；Ｓｃｈｕｒ分解　中图分类号：０１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—６８８３（２０１　１）０３—００２４—０５　对于矩阵的研究，通常多是从其主对角线人手，如给出了对称矩阵、正交矩阵等概念，至于次对　角线方向和行列对称（即矩阵的翻转）的情形常被忽略．但事实上不是主对角线方向的矩阵理论，　（如行列对称性－－。　）同样是有用的．矩阵的Ｓｃｈｕｒ分解是线性代数中矩阵的基本分解方法之一，它ｆ『Ｊ　一　一　２　】　．～　）　　在统计学、系统论、控制论、最优化问题、线性方程组和特征值问题一Ｔ：程领域的应用问题等方面都　有应用Ｉ　．本文从翻转的角度给出了垂直翻转型矩阵和水平翻转型矩阵的概念，并在其基础上提出　了翻转全对称矩阵概念．研究了这类矩阵的基本性质，给出了翻转全对称矩阵的Ｓｃｈｕｒ分解，它们可极　“　ｗ　１　．一　一　大地减少翻转全对称矩阵的Ｓｃｈｕｒ分解的计算量与存储量．本文所引用的结论及符号均取自于史献　『６１，在没有特殊说明的情况下，本文所提到的矩阵均指复矩阵．　表示ｍ×ｎ矩阵　的共轭转置矩阵，　表示ｎ阶单位矩阵，　表示ｎ阶次单位矩阵，即次埘角线　的元素全为１，其余各位置上的元素全为０的ｎ阶矩阵．　容易看出：ｊ．＝ｊ－　＝．，，　＝，．　表示ｍ×ｎ复矩阵集．　定义１　州设　＝（　）　，若　ａｌ　（２２”２１（　一Ｊ…ａｌｌ　２２１　（（２２”一１…“　ｎ“　１…以，　ｌ　则称Ｂ为　的垂直翻转矩阵，记为Ｂ＝Ａｌｌ；称Ｃ为　的水平翻转矩阵，记为Ｃ＝Ａ　．　容易看出，若记Ａ　＝（、　ｈ，　¨ｌ　ｘ¨　，Ａ　＝　，）　，则ｂ￣ｉ＝ａ　；ｃ　＝ｒｚ一　（　１，２，３…，ｍ；　＝１，２，３…，ｎ）．这　、‘　ｍ　Ｚｆｌ　收稿日期：２０１０—１２—２０　基金项目：韩山师范学院大学生创新性实验（实践）项目（ＮＯ．２０１０—０１）．　作者简介：王超（１９９０一），男，广东汕尾人，韩山师范学院数学与应用数学专业学生　・２４・　

两类矩阵统称为翻转矩阵．例如：，白勺翻转矩阵都为．，．　引理１　设Ａ，Ｂ为ｉｎ×ｎ阶矩阵，　为实常数，　由定义１可得ＡＪ￣＝Ａ　，ＪｏＡ＝ＡＱ；　（Ａ　）　一ＡＱ）Ｑ＝Ａ；　（Ａ＋Ｂ）　：Ａｒ＋Ｂｒ；　（Ａ＋Ｂ）Ｑ：ＡＱ＋ＢＱ　；（　Ａ）Ｐ＝，ｌＡＰ，（尢４）Ｑ：，ｂ４Ｑ；　（ＡＢ）　＝ＡＢ　，（ＡＢ）Ｑ：ＡＱＢ．　１　２　２　ｌ、　例如Ａ　Ｉ；１　４２　４２　；ｌ　Ｉ是一个４阶翻转全对称矩阵．　２翻转全对称矩阵的性质及Ｓｃｈｕｒ分解　定理１（结构形式）设Ａ为ｎ阶翻转全对称矩阵，　（１）ｎ＝２ｋ时（　为正整数），Ａ＝　倒ＢＪ）　则　（其中Ｂ　Ｅ　Ｃ　）；　２　当ｎ＝２ｋ＋１　Ａ　ｃ　时ｃ　为正整数，，＝①　（）当　时（　为正整数），　＝ｆＩ　以　ｌ１　ｃ（其中１其中　∈３∈　，Ｃ　，口∈∈ｈＣ　，　，　∈∈舨Ｃ　，　，以∈　）Ｃ　．②．　②　１　ｚ　Ｊ　Ｚ　Ｊ　ｚＪ）证明（１）Ａ为２ｋ阶翻转全对称矩阵，Ａ可分块为　（Ａ１。　Ａ　２］∈　蛇　（其中　∈　，　１，２，３，４），　由引理１￣ＡＪ＝Ａ　，ＪＡ＝ＡＱ，故根据翻转全对称矩阵的定义可得　（Ａａ　Ａ２４）］￣ｆ．。Ｊｋ考］＝（　，（　台］（　＝（　，　因此有　，因此有　Ａ２＝Ａ１　　＝　，，　４　：。・　，　．从而有Ａ＝（・从而有Ａ　ｌ　　Ｊ＋ＡＡ　ＩＪ＋／］ｌ，　＋Ｂ－３。・，则可得（１）．・　定理２设为　阶翻转全对称矩阵，则　（１）　ｎ＝２ｋ时（　为正整数），将　分块为①，则４酉相似于准对角矩阵（　ｇ）（￣Ｂｅｃ舨　）；　（２）当　２　＋１　Ｈｅ（　为正整数），　将分块为②，则Ａ酉相似于准对角矩阵（ｇ昌），（其中　［　√　…）×【１＋　朕　ｃ　ｃ　ｃ．　证明（１）ｎ＝２ｋ阶酉矩阵　＝击　＝　则　］（　ＪＢ　ＪＪ］￣ｆＪｋ　　１（４。Ｂ　（　・２５・　

（２）作　＝２ｋ＋ｌ阶酉矩阵Ｕ＝　１１　０，／－２　Ｉ　Ｏ　｛Ｉ　Ｏ　（二）　１　Ｏ　ｌ　Ｏ—Ｊ　１　令Ｇ：ｆ　２Ｂ√２　ｊ∈　（１　×（】　，则定理得证．　＼√２　ａ　定理３设Ａ为２ｋ阶翻转全对称矩阵（ｋ为正整数），Ａ可分块为①式，则　（１）ｄｅｔＡ＝０：　（２）ｒａｎｌ　＝ｒａｎｋ（２Ｂ）＝ｒａｎｋＢ；　（３）ｔｒＡ＝ｔｒ（２Ｂ）＝２ｔｒＢ．　，，，　．。．．．．．．．．．．，．０　０　（＝）　、　●Ｊｍ　证明（）由定理２可知　酉相似于（　ｇ），即存在酉矩阵　，使ｕＨＡＵ：（　ｇ），式子两边　Ｂ　１倡　比憎　取行列式得ｄｅｔ（　∽＝ｄｅｔ　ｄｅＬ４ｄｅｔＵ＝ｄｅｔ（　ｏ／：０，又因为ｄｅｔＵ￥ｌｄｅｔ　都不为０，则易推出ｒｌｅ　＝０．　彤　（２）由酉相似的保秩性，故ｒａｎ　＝ｒａｎｋ（　ｇ），易知ｒａｎｋ（　ｇ）＝ｒａｎｋ２曰＝ｒａｎｋ启，￣，ｈＪ　ｒａｎ　＝　几　＿一／　Ｄ　　√　八　＜＝）　ｒａｎｋ（２Ｂ）＝ｒａｎｋＢ．　（３）由西相似的保秩．ｊ生，故ｔ湘ｒ（　ｇ），易知ｌｒ（　ｒ（２　ｔ　ｔ湘ｒ（２　。　定理４设Ａ为２ｋ＋１阶翻转全对称矩阵（ｋ为正整数），Ａ可分块为②式，则（１）ｄｅｔＡ＝０；（２）　ｒａｎｋＡ＝ｒａｎｋＧ；（３）ｔｒＡ＝ｔｒＧ．　。　定理４的证明与定理３类似，从略．“０　　定理５（Ｓｏｈｕｒ分解）　已知２ｋ阶翻转全对称矩阵Ａ：（　删Ｊ３Ｊ）∈ｃ　，设Ｂ∈ｃ　的ｓｃ　ｈｕｒ分解　ｏ　０　０　为Ｂ＝ＵＲＵ“，其中Ｕ为酉矩阵，Ｒ为上ｉ角阵且其对角元为Ｂ的特征值，则存在酉矩阵　Ｑ一　１．，Ｕ　Ｕ）＇使Ｑ　ＡＱ＝（　Ｈ　＝故Ｑ为酉矩阵．ＱＨ＾　一　１（Ｕ证明Ｑ“Ｑ＝　（　：　］（　］一（２　２　ｕ］，Ｙ－ＮＮ　为酉矩阵，则　，，所以Ｑ“Ｑ一　（ｚ　２Ｕ０Ｈ　２　０Ｕ　“　］　么一　（　　ｏＵ　ｕ』２１＝（１　）／　＝　，　Ｈ　）（　Ｊ彤ＢＪ）］＼ｆＪｕＵ　Ｕｕ）一　（４　。ｔｑＢ　ｏＩ，　ｕＨ又因为Ｂ的Ｓｃｈｕｒ分解为Ｂ＝ＵＲＵ“，则ＵＨＢＵ＝Ｒ，故　Ｑ＝兰（　０ＨＢｕ　ｇＪ＝吉　ｒ　Ｂ　０　ＢＪ、　定理６（Ｓｃｈｕｒ分解）已知２ｋ＋ｌ阶翻转全对称矩阵Ａ＝Ｉ　Ｏ　０　Ｏ　１，设Ｂ∈Ｃ　的Ｓｃｈｕｒ分解为　ｌ／／３　Ｏ，Ｆｊ，Ｊ　・２６・　

Ｑ　糖　０　…　：　（　・　２　糕　０　０　０　０＝１／证明ＱＨＱ＝　ｔ　Ｉ．ｖ　Ｈ　—Ｈ０　Ｕ　　一ｓ）ｌ￣　ｓｕ　０　－厂　、Ｉ：　。　０　０　　２Ｕ０量　Ｈ　］ｆ　（＝）２０、ｆ　呈ｇ］：ｆ，　ｇ］：　＋　，故Ｑ为酉矩阵．　，，　，．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１—２　ｏ　ＱＨＡＱ＝　（＝）　『Ｌ　０　一　ｍ　０　，　＝吉［４　ｕ０　０。０　ｇ０　０］＝　１（ｌ４ｕＲ　ｏ０ｕ　　Ｊｏ（二）￣／ｌ　＝（、　　ｇ一　）．　八　Ｂ（＝）昭　０　０（＝）　彤。脚　定理７已知２ｋ阶翻转全对称矩阵Ａ＝（　倒ＢＪ）∈　，设Ｈｅｎｎｉｔｅ矩阵Ｂ＝　【，　，其中　为　酉矩阵，尺为实对角阵且其对角元为　的特征值，则存在酉矩阵Ｑ：　１　ｌ儿ＵＵ　），使　ＱＨＡＱ＝（　＝＝）（＝）几　，ｖ　几　０　，　０　０　定理７的证明与定理５类似，从略．　、●●　＝＝＼　ｆ　１　定理８已知２ｋ＋１阶翻转全对称矩阵Ａ＝Ｉ　Ｏ　０Ｂ　０　ＢＪ　Ｏ　ｌ∈Ｃ　”　　“¨，设Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵　０　ＪＢＪＪ　Ｂ＝ＵＲＵＨ，其中Ｕ为酉矩阵，Ｒ为实对角阵且其对角元为Ｂ的特征值，则存在酉矩阵　Ｑ＝　晷斟　（　ｇ）．　，定理８的证明与定理６类似，从略．　定理９（复正规阵分解）　已知２ｋ阶翻转全对称矩阵Ａ＝［　）∈ｃ　，设复正规阵日＝　其中　为酉矩阵，Ａ＝ｄｉａｇ（１ｌ，　２，…，　）∈Ｃ　，且　（　１，２，…，　）是　的特征值，则存在酉　矩阵Ｑ＝　１　Ｕ　Ｕ），使　Ｑ＝（　昌）．　定理１０（复正规阵分解）　已知２　＋１阶翻转全对称矩阵　Ｂ＝ＵＡＵＨＡ　０＝　　０　Ｊ０ＢＪ，），设复正规阵　＝Ｂ　０　ＢＪ，其中　为酉矩阵，Ａ＝ｄｉａｇ（ａｌ，　２，…，　）∈Ｃ　，且　（ｉ＝１，２，…，　），是Ｂ的特征值，则　Ｕ　Ｏｉｆｇ－０　√２　＿存在酉矩阵　存在酉矩阵Ｑ：…一　使ＱＨＡＱ：（　ｇ）．　ｏｊ’使ＱＨ　【、　Ｕｊ　＿，、ｊ・２７・　

定理ｌ０的证明与定理６类似，因此从略　３　Ｓｃｈｕｒ分解的快速算法　以定理５的翻转全对称矩阵为例，其余类似可得．　（ｉ）求出Ｂ∈　的特征值；　的Ｓｃｈｕｒ分解为Ｂ＝ＵＲＵＨ，其中　为酉矩阵，Ｒ为实对角阵且其对角元为Ｂ　（ｉｉ）求出酉矩阵Ｑ＝　１（　Ｕ　—Ｕ　）；　ｃⅡｉ　写出Ａ一（　）　分解为ＱＨＡＱ：（　暑）．　致谢感谢韩山师范学院刘玉教授的悉心指导　参考文献：　［１］邹红星，王殿军，戴琼海，等．行（或列）对称矩阵的ＱＲ分解ＩＪＪ．中国科学（Ａ辑），２００２，３２（９）：８４２—８２９　［２】邹红星，王殿军，戴琼海，等．延拓矩阵的奇异值分解　电子学报，２００１，２９（３）：２８９—２９２．　［３】袁晖坪．行（列）对称的ＬＤＵ分解和Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解『Ｊ１．华侨大学学报（自然科学版），２００７，２８（１）：８８—９１．　【４】郭伟．０一对称矩阵的奇异值分解及其算法ｌＪｌ＿数学杂志，２００９，３４（５）：３４６—３５０．　［５］晏能中．论全对称实矩阵的性质ｆＪｌ＿达县师范高等专科学校学报（自然科学版），２００３，ｌ３（２）：３－５．　［６］戴华．矩阵论［Ｍ１．北京：科学出版社，２００１：４５—７０．　［７］王超，刘玉．翻转矩阵及翻转型正交矩阵ｌＪＩ．高师理科学刊，２０１１，３１（１）：４６—４９．　（８ｌ王超．Ｊ一翻转型正交矩阵及其性质【ＪＪ．韩山师范学院学报，２０１０，３１（６ｊ：ｌＯ—ｌ５．　Ｓｃｈｕｒ　Ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｆｌｉｐ　Ｈｏｌｏｈｅｄｒａｌ　Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　Ｍａｔｒｉｘ　ＷＡＮＧ　Ｃｈａｏ　ｆＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｎｓｈａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｌｆｉｐ　ｍａｔｒｉｃｅｓ，ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｌｉｆｐ　ｈｏｌｏｈｅｄｒａｌ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｔｈｅｎ　ｃｏｍｅ　ｔｏ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｎｅｗ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ．Ｉｎ　ａｄｄｉｔｉｏｎ，Ｓｃｈｕｒ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ　ｉＳ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．ａｌｌ　ｏｆ　ｗｈｉｃｈ　ｃａｎ　ｒｅｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓａｖｅ　ｔｈｅ　ＣＰＵ　ｔｉｍｅ　ａｎｄ　ｍｅｍｏｒｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｌｉｐ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｍａｔｒｉｘ；ｆｌｉｐ　ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ　ｍａｔｒｉｘ；ｆｌｉｐ　ｈｏｌｏｈｅｄｒａｌ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍａｔｒｉｘ；Ｓｃｈｕｒ　ｆａｃｔｏｒ—　ｉｚａｔｉｏｎ　责任编辑朱本华　・２８・