2024年3月31日发(作者：广东教育局谁出的数学试卷)

第十四讲 数论相关的计数

在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、

分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等．计数问题是多种多样的，它经常与其他的

知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等．今天让我们来研究一下结合了数论知识的

计数问题．

例1．

恰好能同时被6，7，8，9整除的四位数有多少个？

「分析」大家还记得公倍数怎么求吗？

练习1、恰好能同时被4，5，6整除的三位数有多少个？

用

1

、

2

、

3

、

4

、

5

、

7

这

6

个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是

11

的倍数，

例2．

有多少种不同的方法？

「分析」根据

11

的整除特性，通过分析奇位数字和与偶位数字和，再结合本题的已知

条件可以获得解题的线索．

4

各一次组成四位数，练习

2

、用

1

，

2

，

3

，使得它是

11

的倍数，有多少种不同的方法？

从

1~10

这

10

个数中选出

2

个数，请问：

例3．

（

1

）要使这

2

个数的乘积能被

3

整除，一共有多少种不同的选法？

（

2

）要使这

2

个数的和能被

3

整除，一共有多少种不同的选法？

「分析」（

1

）两个数的乘积能被

3

整除，那么这两个数中至少有一个能被

3

整除．如何

选取才能保证选到

3

的倍数呢？（

2

）要考虑两个数的和是否能被

3

整除，只需要考虑

每个数除以

3

的余数的情况，那么怎样的两个数相加才能被

3

整除呢？

练习

3

、从

1~12

这

12

个数中选出

2

个数，请问：

（

1

）要使这

2

个数的乘积能被

3

整除，一共有多少种不同的选法？

（

2

）要使这

2

个数的和能被

3

整除，一共有多少种不同的选法？

如果称能被

8

整除或者含有数字

8

的自然数为“吉利数”，那么在

1

至

200

这

200

个

例4．

自然数中有多少个“吉利数”？

「分析」这道题目可以从两方面入手，

8

的倍数和含有数字

8

的数，注意其中重复的情

况．

练习

4

、在

1

至

200

这

200

个自然数中，含有数字

9

或者能被

9

整除的有多少个？

前面几个例题都是计数与整除相结合的题目．而除了整除之外，与数字相关的问题也

属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题．

这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”

例5．

有一种“上升数”，


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