2024年3月19日发(作者：中考数学试卷2023固阳)
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一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广
1991 年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平
面几何题 .原题：如图 1，设
BC、 CA 和 AB 的切点，若
O
是
ABC
的
BC
边外的旁切圆，
D、E、F
分别是
O
与
A
OD 与 EF 交于 K ，求证： AK 平分 BC.
贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了
B
D
C
K
E
此题，给出了纯几何证法的
证明
文1
.湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作
《平
.由
F
O
面几何证明方法全书》三次
证明此题，方法是三角法、射影变换法、应用张角定理
道有背景的重要的几何题
此我们可以看出此题是一
.我们拟给出解析证法，并把它推
2
广到圆锥曲线中去 .
在证明过程中，要用到以下引理
文2
：
2
2
图1
（ 1 ） . 若 点
P( x
0
, y
0
)
为 圆
x
y
R
外一点，过点
P
引圆的两条切线方程为：
( x
0
x y
0
y R
2
)
2
(x
0
2
y
0
2
R
2
)( x
2
y
2
R
2
)
；
R
2
.
x
2
切点弦的方程为：
x
0
x
y
0
y
（2）.
若 点
P(x
0
, y
0
)
为 椭 圆
y
2
b
2
1(a
b
0)
外一点，过点
P
引椭圆的两条切线方程为：
a
2
(
xx
a
2
0
y
0
y
1)
2
b
2
(
x
0
2
a
2
y
0
2
b
2
a
2
1) (
x
2
a
2
b
2
y
2
1)
；
b
2
切点弦的方程为：
x
0
x
y
0
y
1
.
（3）.
若 点
P(x
0
, y
0
)
为 双 曲 线
2
x
2
a
2
y
2
b
2
1(a
0, b
0)
外一点，过点
P
引双曲线的两条切线方程为：
(
x
0
x y
0
y
2 2
1)
x
0
2
(
2
y
0
2
2
1) (
x
2
2
y
2
2
1)
；
a
b
a
b
a
2
a
b
2
b
1
.
切点弦的方程为：
x
0
x
y
0
y
（4）.
若 点
P(x
0
, y
0
)
为 抛 物 线
y
2
2px ( p
0)
外一点，过点
P
引抛物线的两条切线方程为：
2
2
y
0
y p( x
0
x)( y
0
2 px
0
) ( y
2
2 px)
；
切点弦的方程为：
y
0
y p( x
x
0
)
.
1.
竞赛题的解析证法
证明：如图
2，以旁切圆的圆心
O 为原点，直线
OD
为
y
轴，过
O 点垂直于
OD
的直线为
x
轴
.建立直角坐标系，
设旁切圆方程为
x
2
y
2
R
2
，则点
D 的坐标为（
0，R），直线
BC
的方程为
y
R
.
设点
A 的坐标为
( x
0
, y
0
)
，则有切点弦
EF 的方程为
x
0
x
y
0
y
R
2
⋯⋯⋯
①
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两条切线 AF 、 AE 的方程为
( x
0
x y
0
y R
2
)
2
在方程 ①中，令
(x
0
2
y
0
2
R
2
)( x
2
y
2
R
2
)
⋯
②
2
x 0
，得
y
R
， 则点
K
的坐标为
y
0
y
0
R
2
y
0
x
0
2
R
(0,
)
.
y
0
直线
AK
的方程为：
y
R
y
0
2
x ⋯⋯
③
.
将
y
R
代入方程③解得
x
xR
0
.
y
0
R
设
AK
与
BC
交于点
M
，点
M
的坐标为
(
x
0
R
, R)
.
y
0
R
把
y
R
代入方程②并整理得：
( y
0
2
R
2
) x
2
2x
0
R( y
0
R) x
( y
0
R
R
2
)
2
0
.
设点
B
、
C
的坐标分别为
( x
1
, R),( x
2
, R)
，由韦达定理得
x
1
x
2
2x
0
R( y
0
R)
y
0
2
R
2
2x
0
R
y
0
R
，
BC
中点的横坐标为
x
1
x
2
2
x
0
R
，
BC
的中点坐标为
(
,R)
.与点
M
的
y
0
R
y
0
R
x
0
R
坐标相同 .
所以点
M
为
BC
的中点，即直线
AK
平分
BC
.
2.竞赛题在圆锥曲线中的推广
定理
：如图 3，椭圆
x
2
y
2
1(a
b
0)
旁切于
ABC
的
BC
边外，
D
、E、F
分别是椭圆与
、
和 AB
1
a
2
b
2
BC
CA
的切点，若 OD 与 EF 交于 K ，则有 AK 平分 BC.
设点 A 坐标为
( x
0
, y
0
)
相交于点
证明：
，点 D坐标为
(m, n)
， AK与 BC
M.
则过点 D的切线方程为：
mx
a
2
ny
1
⋯⋯⋯①
b
2
由引理 2 可知过点 A 的两切线方程为
：
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x
0
x y
0
y
2
x
0
2
y
0
2
x
2
y
2
(
a
2
b
2
1)
(
切点弦 EF的方程为
a
2
b
2
x
0
x
1)
(
a
2
b
2
1)
⋯⋯⋯②
a
2
直线 DO的方程为：
y
x
⋯⋯⋯④
m
n
y
0
y
1
⋯⋯⋯③
b
2
联立③、④可得 K 点坐标为：
(
2
b mx
0
a
2
b
2
m
,
2 2
a
ny
0
b
mx
0
a ny
0
2
a
2
b
2
n
) .
直线 AK的方程为：
y
⋯⋯⋯⑤
a
2
b
2
n b
2
mx
0
y
0
a
2
ny
0
2
x
a
2
b
2
my
0
a
2
b
2
nx
0
a
2
b
2
m b
2
mx
0
2
a
2
nx
0
y
0
a
2
b
2
m b
2
mx
0
2
a
2
nx
0
y
0
联立①⑤可得点 M的横坐标：
.
242
x
M
a
2
b
4
mx
0
2
4 22
a
4
b
4
m
a
4
b
2
nx
0
y
0
a
4
b
2
mny
0
a
4
b
2
n
2
x
0
4 2
2
4 2 2
2 2
a n y
0
a b n
b m x
0
2a
b mnx
0
y
0
a b m
设点 B、C的横坐标为
x
B
、
x
C
， B、 C 的中点横坐标为 x
中
，
联立①②可得关于
x
的一元二次方程：
(a
4
n
2
y
0
2
a
4
b
2
n
2
b
4
x
0
2
m
2
2a
2
b
2
mnx
0
y
0
a
2
b
4
m
2
) x
2
(2a
4
b
4
m
2a
2
b
4
mx
0
2
2a
4
b
2
x
0
y
0
n
2a
4
b
2
mny
0
2a
4
b
2
n
2
x
0
) x
(a
4
b
4
x
0
2
a
6
b
4
由韦达定理可得
x
中
a
4
b
2
n
2
x
0
2
a
6
y
0
2
n
2
2a
6
b
2
ny
0
) 0.
x
B
x
C
a
2
b
4
mx
0
2
a
4
b
4
m
a
4
b
2
nx
0
y
0
a
4
b
2
mny
0
a
4
b
2
n
2
x
0
2
a n y
0
2
a b n
bm x
0
42
42242
2
2abmnx
0
y
0
a b m
22242
点 M 与 B、C 中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一
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点，所以 M为线段 BC的中点，即直线 AK 平分 BC.
定理 2：
如图
4，双曲线
x
2
y
2
a
2
1(a 0, b 0)
旁切于
ABC
的
BC
边外，
b
2
与 BC 、CA 和 AB 的切点，若 OD 与 EF 交于 K ，则
定理 2 的证明与定理
1 的证明类似， 由于篇幅所
定理
：如图
，抛物线
y
2
2 px ( p
0)
旁
3
5
外， D、E、 F 分别是抛物线与 BC、
D 作 x 轴的平行线与 EF 交于点 K ，
证明： 设点 A 坐标为
( x
0
, y
0
)
，点 D
BC相交于点 H.
则有
y
1
2
2 px
1
，过点
D
的切线
y
1
y p( x
1
x)
⋯⋯⋯①
由引理 2 可知过点 A 的两切线方程为
[ y
0
y
p( x
0
x)]
2
( y
0
2
2 px
0
)( y
2
2 px)
⋯⋯⋯②
切点弦 EF的方程为
y
0
y
p(x
0
x)
⋯⋯⋯③
联立
y
y
1
y
1
可求得点
K 坐标为：
(
y
0
x
0
, y
1
)
，
y
0
y
p( x
0
x)
p
进而可得直线 AK方程
为：
pxy
y
y
2
p( y
0
y
1
)
x
px
0
y
0
0 1
0
y
1
⋯⋯④
2px
0
y
0
y
1
2 px
0
y
0
y
1
联立①④可得点 H的横坐标：
x
px
H
0
y
0
y
1
px
0
y
1
2
y
0
2
y
1
2
2 p
2
x
0
x
1
px
1
y
0
y
1
y
py
2
2 p
2
x
2 py
0 0 1 1
px
0
y
0
y
1
px
0
y
1
2
y
0
2
y
1
2
2 p
2
x
px
0
x
1
1
y
0
y
1
.
2 p
2
x
0
2 p
2
x
1
2 py
0
y
1
设点 B、 C的横坐标
为
B
、
C
，、
的中点横坐标为
，
x
x
B
C
x
中
联立①②可得关于 x 的一元二次方程：
p( y
1
2
2 px
0
2 y
0
y
1
) x
2
[4 p
2
x
0
x
1
2p( x
0
y
0
y
1
x
1
y
0
y
1
x
0
y
1
2
)
2 y
0
2
y
1
2
] x
p[( x
0
y
1
)
2
2x
0
x
1
y
0
y
1
2 px
0
x
1
2
]
0.
由韦达定理可得 x
B
x
C
2( px
0
y
0
y
1
px
0
y
1
2
px
1
y
0
y
1
y
0
2
y
1
2
2 p
2
x
0
x
1
)
,
2 p
2
x
0
2 py
0
y
1
py
1
2
D 、E、 F 分别是双曲线
有 AK 平分 BC.
限，不再赘述 .
切于△ ABC 的 BC 边
CA 和 AB 的切点，过点
则有 AK 平分 BC.
坐标为
( x
1
, y
1
)
，
AK
与
方
程
为
：
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即 x
中
x x
BC
px y y px y
2
0 0 1 0 1
px y
y y
1 0 1
2
0 1
y
2
2 p
2
x x
0 1
.
2
2 p
2
x
0
2 py
0
y
1
py
1
2
点 H 与 B、 C 中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，
所以 H 为线段 BC的中点，即直线 AK 平分 BC.
若
O
是
ABC
的内切圆，其他条件不变，结论依然成立，用解析法证明的步骤完全相同
.
这是证明一类三角形旁切圆、内切圆问题的方法之一
.这种方法的优点是思路统一 ,可以推广到圆锥曲线中
.
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