2024年2月14日发(作者：数学试卷改错方法)

海理数

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2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必姓名______________________

准考证号__________________________________

将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝

（A）{1} （B）{2}

（B）5

（B）2

（C）{0,1} （D）{1,2}

（C）-4＋i （D）-4-i

（C）3 （D）5

（2）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝

（A）-5

（A）1

（3）设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a-b|＝6，则a·b＝

1（4）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC＝

2（A）5 （B）5 （C）2 （D）1

（5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

（A）0.8 （B）0.75 （C）0.6

（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

17（A）

2710（C）

27

5（B）

91（D）

3（D）0.45

理科数学 第1页（共4页）

（7）执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝

（A）4

（B）5

（C）6

（D）7

（8）设曲线y＝ax-ln(x＋1)在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

MM＝x

k是

开 始

输入x,t

M＝1,S＝3

k＝1

k≤t 否

输出S

S＝M＋S

k＝k＋1

结 束

xy7≤0（9）设x，y满足约束条件x3y1≤0，则z＝2x－y的最大值为

3xy5≥0（A）10 （B）8 （C）3 （D）2

（10）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为

339363（A） （B） （C）

4832BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为

1（A）

10

2（B）

5 （C）30

10 （D）2

29（D）

4（11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，（12）设函数f(x)＝3sin

取值范围是

πx．若存在f(x)的极值点x0满足x02＋[f(x0)]2＜m2，则m的m（A）(－∞，－6)∪(6，＋∞)

（C）(－∞，－2)∪(2，＋∞)

（B）(－∞，－4)∪(4，＋∞)

（D）(－∞，－1)∪(1，＋∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝_________．（用数字填写答案）

理科数学 第2页（共4页）

（14）函数f(x)＝sin(x＋2φ)-2sinφcos(x＋φ)的最大值为_________．

（15）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0．若f(x-1)＞0，则x的取值范围是_________．

（16）设点M（x0，1），若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是_________．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1．

1（Ⅰ）证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；

21113（Ⅱ）证明：＋＋…＋＜．

a1a2an2

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．

（19）（本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份

年份代号t

人均纯收入y

2007

1

2.9

2008

2

3.3

2009

3

3.6

2010

4

4.4

2011

5

4.8

2012

6

5.2

2013

7

5.9

B C

A

D

E

P

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

nbti1itiyiytti1nˆ．

ˆybt，a2

（20）（本小题满分12分）

理科数学 第3页（共4页）

x2y2设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的左右焦点，M是C上一点且MF2ab与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．

3（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝ex-ex-2x．

-（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设g(x)＝ f(2x)-4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值；

（Ⅲ）已知1.4142＜2＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：

（Ⅰ）BE＝EC；

（Ⅱ）AD·DE＝2PB2．

（23）（本小题满分10）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极π坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]．

2（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

（24）（本小题满分10）选修4—5：不等式选讲

1设函数f(x)＝|x＋|＋| x-a|（a＞0）．

a（Ⅰ）证明：f(x)≥2；

（Ⅱ）若f(3)＜5，求a的取值范围．

P

D

B

E

C

A

O

理科数学 第4页（共4页）

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、解答题

2（1）D

∵N＝{x|x－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，

∴M∩N＝{1，2}，故选：D．

z1＝2＋i对应的点的坐标为（2，1）（2）A

，

∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，

∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（－2，1），

则对应的复数，z2＝－2＋i，

2则z1z2＝（2＋i）（－2＋i）＝i－4＝－1－4＝－5，故选：A．

（3）A

∵|a＋b|＝10，|a－b|＝6，

2222∴分别平方得a＋2a•b＋b＝10，a－2a•b＋b＝6，

两式相减得4a•b＝10－6＝4，即a•b＝1，故选：A．

（4）B

1∵钝角三角形ABC的面积是2，AB＝c＝1，BC＝a＝2，

112∴S＝2ac sinB＝2，即sinB＝2，

2①当B为钝角时，cosB＝－1－sinB＝－2，

2222利用余弦定理得：AC＝AB＋BC－2AB•BC•cosB＝1＋2＋2＝5，即AC＝5，

2②当B为锐角时，cosB＝－1－sinB＝2，

2AC2＝AB2＋BC2－2AB•BC•cosB＝1＋2－2＝1，

利用余弦定理得：即AC＝1，222此时AB＋AC＝BC，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，

则AC＝5．故选：B．

（5）A

设随后一天的空气质量为优良的概率为P，

则有题意可得0.75×P＝0.6，解得P＝0.8，故选：A．

（6）C

几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径22为2，高为4，组合体体积是：3π•2＋2π•4＝34π．

2底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：3π×6＝54π．

切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：543410＝．故选：C．

542712＝2，S＝2＋3＝5，k（7）D

若x＝t＝2，则第一次循环，1≤2成立，则M＝×1＝2，第二次循环，2≤2成立，则M＝立，输出S＝7，故选：D．

2×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3，此时3≤2不成2理科数学 第5页（共4页）

1，∴y′(0)＝a－1＝2，∴a＝3．故答案选D．

x1（9）B

作出不等式组对应的平面区域如阴影部分ABC．

由z＝2x－y得y＝2x－z，平移直线y＝2x－z，由图象可知当直线y＝2x－z经过点C时，

直线y＝2x－z的截距最小，此时z最大．

（8）D y′＝a−

xy7＝0x＝5由，解得，

x3y1＝0y＝2即C（5，2），代入目标函数z＝2x－y，

得z＝2×5－2＝8．故选：B．

（10）D ∵直线AB：y=33(x)，

34代入抛物线方程可得4y2－123y－9＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

139××(y1y2)4y1y2=，故选：D．

244（11）C 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间向量坐标系，

则设CA＝CB＝1，

则所求三角形面积S＝则B（0，1，0），M（∴BM=（111，，1），A（1，0，0），N（，0，1），

222111，－，1），AN=（－，0，1），

222BMAN|BM||AN|∴cosBM,AN34652230，故选：C．

10（12）C ∵fx的极值为3，

2∴fx03，

∵f(x0)∴\'m3cosx0m0，

,kz，

m2xx111m∴0k,kz即|0||k|，∴|x0|||，即

m2m2222m22xfx3，而已知0x0[f(x0)]0m2，

4x0k22理科数学 第6页（共4页）

m23m23，故∴m3，解得m2或m2，故选：C．

442二、选择题

1

2三、填空题

（17）解：

（13）（14）1 （15）（－1，3） （16）[－1，1]

（Ⅰ）由an1＝3an＋1得an1＋又a111＝3(an＋)。

221331，所以an是首项为，公比为3的等比数列。

222213n3n1an，因此an的通项公式为an。

222（Ⅱ）由（Ⅰ）知12

nan31nn1因为当n1时，3123于是，所以11。

3n123n113111113...1...n1(1n)＜。

32a1a2an3321113＋＋…＋＜。

a1a2an2所以（18）解：

（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO。

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。

又E为PD的中点，所以EO∥PB。

EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC。

（Ⅱ）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB、AD、AP两两垂直。

如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，3，0），E（0，313，），AE＝（0，，2221）。

2设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，3，0），AC＝（m，3，0）。

理科数学 第7页（共4页）

mx3y0nAC01设n1＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，则，即3，1yz0n1AE0223可取n1＝（，－1，3）。

m又n2＝（1，0，0）为平面DAE的法向量，由题设cosn1,n2z

P

E

A

O

D

y

1，即2B

331m，解得。

234m22C

x

1因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为。三菱锥EACD的2体积V＝11313。

332228（19）解：

（Ⅰ）由所给数据计算得

t1(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4

71y(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3

771(tt17t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28

(tt11t)(y1y)

＝(3)×(1.4)＋(2)×(1)＋(1)×(0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6

＝14，

b(tt171t)(y1y)1(tt17t)2140.5，

28aybt4.30.542.3。

理科数学 第8页（共4页）

所求回归方程为

y0.5t2.3。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

将2015年的年份代号t＝9带入（I）中的回归方程，得

y0.592.36.8，

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。

（20）解：

b22（Ⅰ）根据cab及题设知M（c，），2b3ac。

a22将bac代入2b3ac，解得故C的离心率为2222c1c，2（舍去）。

a2a1。

2（Ⅱ）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点b24，即 D（0，2）是线段MF1的中点，故ab24a①

由MN5F1N得DF12F1N。

设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则

32(cx1)cxc,1，即2

2y12y119c21代入C的方程，得221。

4ab9(a24a)11， 将①及cab代入②得4a24a222解得a7，b4a28，

故a7，b27。

理科数学 第9页（共4页）

（21）解：

（Ⅰ）f\'(x)＝eexx20，等号仅当x0时成立。

所以f(x)在（－∞，＋∞）单调递增。

（Ⅱ）g(x)＝f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x

2x2xxxg\'(x)＝2ee2b(ee)(4b2)

＝2(exex2)(exex2b2)

（i）当b2时，g\'(x)≥0，等号仅当x0时成立，所以g(x)在（－∞，＋∞）单调递增。而g(0)＝0，所以对任意x＞0，g(x)＞0；

（ii）当b＞2时，若x满足2＜ex＋ex＜2b－2，即0＜x＜ln(b－1＋b22b)时，

g\'(x)＜0。而g(0)＝0，因此当0＜x＜ln(b－1＋b22b)时，g(x)＜0。

综上，b的最大值为2。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，g(ln2)322b2(2b1)ln2。

2当b＝2时，g(ln2)3823426ln2＞0；ln2＞＞0.6928；

212当b321时，ln(b1b22b)ln2，

43g(ln2)＝22(322)ln2＜0，

2ln2＜182＜0.6934，

28所以ln2的近似值为0.693。

A

（22）解：

（Ⅰ）连结AB，AC。由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA。

因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA

∠PAD＝∠BAD＋∠PAB P

B

∠DCA＝∠PAB，

理科数学 第10页（共4页）

O

D

C

E

︵︵所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC。

因此BE＝EC。

（Ⅱ）由切割线定理得PA2＝PB·PC。

因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB。

由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

所以AD·DE＝2PB2。

（23）解：

（Ⅰ）C的普通方程为(x1)2y21(0y1)。

可得C的参数方程为x1cost（t为参数，0tx）。

ysint（Ⅱ）设D（1＋cos t，sin t）。由（Ⅰ）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，

tant3，t。

3故D的直角坐标为（1cos（24）解：

（Ⅰ）由a＞0，有f(x)x所以f(x)≥2。

3，sin33），即（，）。

322111xax(xa)a2。

aaa（Ⅱ）f(3)313a。

a1521，由f(3)＜5得3＜a＜。

a2115，由f(3)＜5得＜a≤3。

a2当时a＞3时，f(3)＝a当0＜a≤3时，f(3)＝6a综上，a的取值范围是（15521，）。

22理科数学 第11页（共4页）


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