(完整word版)高三数学试卷

2023年12月12日发(作者：写得好的数学试卷评语大全)

江苏省南通中学高三数学检测试卷06.4

本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分),考试时间为120分钟,满分为150分.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.

参考公式:

如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发kn－k生k次的概率Pn(k)=Ckp(1－p)

n球的表面积公式S=4πR2,其中R表示球的半径

球的体积公式V=πR3,其中R表示球的半径

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是

A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4

D.78.8,75.6

2. 下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积:

行政区代号

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

人口（万） 63.46 59.44 103.23 38.11 21.67 6.46 6.61

面积(万

0.33 0.20 0.45 0.15 0.07 0.02 0.02

km2)

经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是

A.x2

B.x3

C.x5

D.x7

3. .已知|p|=22,|q|=3,p、q的夹角为，如下图所示，若AB

443=5p+2q,AC=p－3q，且D为BC的中点，则AD的长度为

CDB

AA.15

2 B.15

2 C.7 D.8 4．函数f(x)=b(1－大值10,则f(x)在

(－∞,0)上有

A.最大值10

最大值13

2)+sinx+3(a、b为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最12x B.最小值－5 C.最小值－4 D.5.如果x5≠kx对一切x≥15均成立,则有

A.k≤0 B.k≤0或k>20

20C.k≤0或k>10

15D.0≤k<20

20

6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析式:

①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－);④y=f(－x+1).

其中与图(b)所对应的函数解析式为

12

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

7.2003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学生公寓,2004年9月1日投入使用,同时向每位学生收取一年住宿费a元用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,则a的值约为(提供:1.0515≈2.08)

A.412 B.482 C.500 D.512

x2y28. 已知F1、F2分别是双曲线2－2=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任ab|PF2|2一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为

|PF1|

A.(1,3] B.(0,3] C.(1,2]

D.(1,+∞)

9.设函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4),则f′(x)=0有

A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内三个根

B.四个实根分别为xi=i(i=1,2,3,4)

C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根

D.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3)内三个根

10.如下图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象向旋转一周,点P所旋转过的弧大致为

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷

数 学

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）

11. 氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一.某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有___________种.

x2y12,2xy10,12.设不等式组所围成的平面区域的面积为S,当6≤S≤220xa,y0时,a的取值范围是___________.

13.△A′B′C′是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形ABC的直观图,设

△A′B′C′的面积为S′,△ABC的面积为S,则S=_______.

S14.设x1、x2∈R,定义运算:x1x2=(x1+x2)2－(x1－x2)2,若x≥0,常数m>0,则动点P(x)=xm的轨迹方程是_______.

215. 记min{a,b}为a、b两数的最小值,当正数x、y变化时,t=min{x,也在变化,则t的最大值为___________.

y }22xy20052004(x1)1,(x1)16.设x、y∈R,且满足则x+y=___________.

20052004(y1)1,(y1)

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分12分)

二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k点出现的概率是Pk(k=1,2,3,4,5,6).在这种情况下,

(1)求二人平局的概率P.

(2)证明P≥;并证明如果P=,则Pk=(k=1,2,3,4,5,6).

18.(本小题满分14分)

在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱是底面边长的2倍,P是侧棱CC1上的一点.

D1A1B1C1P161616DABC

(1)求证:不论P在侧棱CC1上何位置,总有BD⊥AP;

(2)若CC1=3C1P,求平面AB1P与平面ABCD所成的二面角的正切值;

(3)当P点在侧棱CC1上何处时,AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线?

19.(本小题满分12分)

如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为aij(i≥j,i、j∈N*).

1

411,

24333,,

4816……

(1)试写出aij关于i、j的表达式,并求a83;

(2)设这个数阵共有n行,求数阵表中的所有数之和.

20.(本小题满分16分)

已知集合A={(x,y)|y≥|x－a|},B={(x,y)|y≤－a|x|+2a}(a≥0).

(1)证明A∩B≠;

(2)当0≤a≤4时,求由A∩B中点组成图形面积的最大值.

21.(本小题满分16分)

x2x22已知椭圆C1:+y=1的左、右顶点分别是A、B,点P是双曲线C2:－y2=144在第一象限部分上的一点,连结AP交椭圆C1于点C,连结PB并延长交椭圆C1于点D.

(1)若直线PA与PB的斜率分别为k1、k2,求证:k1·k2是定值;

(2)若△ACD与△PCD的面积相等,求直线CD的倾斜角;

(3)直线CD的倾斜角是否会随着点P的不同而改变?并说明理由.

高三数学试卷详细解答

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是

A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4

D.78.8,75.6

解析:数据变化后,平均数改变而方差不变.

答案: A

2. 下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积:

行政区代号

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

人口（万） 63.46 59.44 103.23 38.11 21.67 6.46 6.61

面积(万

0.33 0.20 0.45 0.15 0.07 0.02 0.02

km2)

经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是

A.x2

B.x3

C.x5

D.x7

解析: xi区的人口密度为ai(i=1,2,…,7),a1=192.30,a2=297.20,a3=229.40,a4=254.07,a5= 309.57,a6=323.00,a7=330.50.

答案: D

3. .已知|p|=22,|q|=3,p、q的夹角为，如下图所示，若AB

4=5p+2q,AC=p－3q，且D为BC的中点，则AD的长度为

CDB

AA.15

2

12 B.15

2 C.7 D.8

121225∴|AD|2=9p2+q2－3p·q=.

4415∴|AD|=.

2解析:

AD=(AB+AC)=3p－q,

答案: A

4．函数f(x)=b(1－大值10,则f(x)在

(－∞,0)上有

A.最大值10

最大值13

2)+sinx+3(a、b为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最12x B.最小值－5 C.最小值－4 D.2x12解析: 令F(x)=f(x)－3=b(1－)+sinx=b+sinx,

xx12122x112x则F(－x)=b+sin(－x)=bx－sinx=－F(x),

12x21∴F(x)为奇函数,F(x)在(0,+∞)上有最大值7.

∴F(x)在(－∞,0)上有最小值－7.

∴f(x)在(－∞,0)上有最小值－4.

答案: C

5.如果x5≠kx对一切x≥15均成立,则有

A.k≤0 B.k≤0或k>20

20C.k≤0或k>10

15D.0≤k<20

20解析: 令y=x5,y=kx,显然k≤0时成立,

y2x522kx－x+5=0(k>0), 由ykx由Δ=0,得k=20;

20y2x5,由20得x=10,而x≥15,

xy20∴当x=15时,k=∴k≤0或k>10.

1510.

15答案: C

6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析式:

①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－);④y=f(－x+1).

其中与图(b)所对应的函数解析式为

12A.①② B.②③ C.③④ D.①④

解析: ∵图形(a)、(b)关于y轴对称,

∴图(b)的函数解析式为y=－f(x).

∵f(x)=sinπx,

∴①y=f(2－x)=sinπ(2－x)=sin(2π－πx)=－sinπx=－f(x)成立.

②y=f(x+1)=sinπ(x+1)=sin(π+πx)=－sinπx=－f(x).

11③y=f(x－)=sinπ(x－)=sin(πx－)=－cosπx≠－f(x).

22

④y=f(－x+1)=sinπ(－x+1)=sin(π－πx)=sinπx=f(x).

故函数解析式①②满足图(b).

答案: A

7.2003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学生公寓,2004年9月1日投入使用,同时向每位学生收取一年住宿费a元用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,则a的值约为(提供:1.0515≈2.08)

A.412 B.482 C.500 D.512

解析: 500(1+5%)15=0.1a(1+1.05+1.052+…+1.0514),

2501.0515a=≈482(元).

151.051答案: B

x2y28. 已知F1、F2分别是双曲线2－2=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任ab|PF2|2一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为

|PF1|

A.(1,3] B.(0,3]

D.(1,+∞)

解析: ∵|PF2|－|PF1|=2a,

C.(1,2]

|PF2|2(|PF1|2a)24a24a2∴==|PF1|++4a≥2|PF1|+4a=8a,

|PF1||PF1||PF1||PF1|其中|PF1|=2a时等号成立.

又设P(x,y)(x≤－a),则由第二定义,得

a2|PF1|=(－x－)e=－ex－a≥c－a,

cc即2a≥c－a,∴e=≤3,又∵e>1,∴1

a答案: A

9.设函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4),则f′(x)=0有

A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内三个根

B.四个实根分别为xi=i(i=1,2,3,4)

C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根

D.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3)内三个根

解析: f(x)=0有四根xi=i(i=1,2,3,4).故在区间(1,2),(2,3),(3,4)必存在极值点,使f′(x)=0,故选A.

答案: A

10.如下图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧大致为

的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象

解析: 连结OP,设∠AOP为θ角,

d则=OP·sin=sin,

222即d=2sin答案: C

(0≤θ≤2π).

2普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷

数 学

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）

11. 氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一.某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有___________种.

解析: 从7种不同的氨基酸中选3种，有C37种选法，这3种氨基酸的不同位置有2种，即C37·2=70.

答案: 70

x2y12,2xy10,12.设不等式组所围成的平面区域的面积为S,当6≤S≤220xa,y0时,a的取值范围是___________.

解析: 作出不等式组表示的可行域.

x2y12由2xy10x2,即A(2,5).

y5,该不等式组所表示的可行域是:直线x+2y=12的下方;直线2x－y+1=0的下方;y轴的右边,直线x=a的左边;x轴上方的区域.先从特例探求,考查梯形OBAC的面积.

y62x-+y1=0A(2,5)aE(a,6- )21C12x1OBa,0)(2,0)D(--2x+2-y12=0

S=(1+5)·2=6,满足S的下界.

∴a=2是最小值;

要使S取最大值22,则S梯形ABDE=16.

∴S梯形ABDE=［5+(6－12a)］(a－2)=16.

212当a>2时,6－a>0,解得a=6,

2∴amax=6,故a∈［2,6］.

答案: ［2,6］

13.△A′B′C′是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形ABC的直观图,设

△A′B′C′的面积为S′,△ABC的面积为S,则112aaS22=2. 解析: =2124Sa2S=_______.

S答案:

2

4m的轨迹方程是_______.

2mmm=(x)2(x)2=2mx,∴y2=2mx(y≥0).

22214.设x1、x2∈R,定义运算:x1x2=(x1+x2)2－(x1－x2)2,若x≥0,常数m>0,则动点P(x)=x解析: y=x答案: y2=2mx(y≥0)

15. 记min{a,b}为a、b两数的最小值,当正数x、y变化时,t=min{x,也在变化,则t的最大值为___________.

解析: 若x≤y,

x2y2y }x2y2则t=x,t2=x2≤x·故t≤若xy1y≤=.

2xy2x2y222,当且仅当x=y=时取“＝”；

22y≤x,

x2y2yyxy122,t=()≤≤.

2x2y2x2y2x2y2则t=22，当且仅当x=y=时取“＝”.

2222综上可知,当x=y=时,t取最大值为.

22故t≤答案:

2

220052004(x1)1,(x1)16.设x、y∈R,且满足则x+y=___________.

20052004(y1)1,(y1)解析: 由(y－1)2005+2004(y－1)=1,

变形得(1－y)2005+2004(1－y)=－1,

得知x－1=1－yx+y=2.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分12分)

二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k点出现的概率是Pk(k=1,2,3,4,5,6).在这种情况下,

(1)求二人平局的概率P.

(2)证明P≥;并证明如果P=,则Pk=(k=1,2,3,4,5,6).

(1)解:P=P12+P22+…+P62.

(2)证明:∵P1+P2+…+P6=1,

16161616 4分

116611=P12+P22+…+P62－ (P1+P2+…+P6)+

361=P－≥0,

6111∴P≥,当P=时,P1=P2=…=P6=.

666(P1－)2+(P2－)2+…+(P6－)2

12分

12分

18.(本小题满分14分)

在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱是底面边长的2倍,P是侧棱CC1上的一点.

D1A1B1C1PDABC

(1)求证:不论P在侧棱CC1上何位置,总有BD⊥AP;

(2)若CC1=3C1P,求平面AB1P与平面ABCD所成的二面角的正切值;

(3)当P点在侧棱CC1上何处时,AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线?

(1)证明:∵AP在底面ABCD内的射影为AC,在正方形ABCD中AC⊥BD,∴AP⊥BD.

3分 (2)解:延长B1P与BC的延长线交于点M,连结AM,过B作BN⊥AM于点N,连结B1N,则∠B1NB即为所求二面角的平面角,设AB=a,则BM=3a,

∴BN=3a.

10∴tan∠B1NB=2a210=.

3310a 8分

(3)解:设AB=a,C1P=x,要使AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线,则∠PAB1=

∠PAC,

∴cos∠PAB1=cos∠PAC,

即解得x=2a(2ax)2a22=5a2(2ax)22a2(x2a2)25a(2ax)2a22,

510a,

2510.

2∴P到C1的距离是底面边长的分

1219.(本小题满分12分)

如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为aij(i≥j,i、j∈N*).

1

411,

24333,,

4816……

(1)试写出aij关于i、j的表达式,并求a83;

(2)设这个数阵共有n行,求数阵表中的所有数之和.

解:(1)由条件易知

第i行的第1个数为

ai1=+(i－1)=,

第i行的第j个数为aij=()j－1,

∴a83=×()2=.

分

(2)设数阵中第n行的所有数之和为An,

841212i4121414i4 6则An=(1++1n41211+…+)

222n11nnn1n=·2=－×n.

1242212设所求数之和为P,则P=(1+2+…+n)－ (1·2－1+2·2－2+…+n·2－n).

1122设S=1·2－1+2·2－2+3·2－3+…+n·2－n,

则S2=1·2－2+2·2－3+3·2－4+…+n·2－(n+1)

1(11=22n)－n·2－(n+1)

112=1－12n－n2n1,

则P=n(n1)4－(1－1n2n－2n1),

=n(n1)4+1n2n+2n1－1

=n2n44+n22n1.

12分

20.(本小题满分16分)

已知集合A={(x,y)|y≥|x－a|},B={(x,y)|y≤－a|x|+2a}(a≥0).

(1)证明A∩B≠;

(2)当0≤a≤4时,求由A∩B中点组成图形面积的最大值.

(1)证明:显然(0,a)∈A.

当x=0时,y=－a|x|+2a=2a,

∴(0,2a)∈B.∴A∩B≠.

分

yyEEFFGDHOxDOGQx

(2)解:如左上图,当2≤a≤4时,A∩B中点组成如图所示△EFD,

易得E(0,2a)、F(－a1a,a22a1a)、D(aa1,a22aa1)、G(0,a).

∴S△EFD=S△EFG+S△FGD

=1aa1a2·a1+2a·a1

12分 4 a3=2.

a1当0

a22aa3a2aa2易得E(0,2a)、F(－,)、G(a,0)、H(,)、D(－2,0)、a1a1a1a1Q(2,0),

而S四边形EFGH=S△DEQ－S△DFG－S△GHQ

a22a2aa2111=×4×2a－(a+2)·－ (2－a)·

a1a12224a2a3=.

a1当a=0时,A∩B={(0,0)}.

显然适合上式,

4a2a3,0a2,a1∴S=3

a,2a4.a21 8分

4a2a3当0≤a<2时,S=,

a1(8a3a2)(a1)4a2a3∴S′=

2(a1)2a3a28a2a(4a2)a20. ==(a1)2(a1)24a2a38∴S=在［0,2)上是增函数.∴0≤S<.

a13a3当a≥2时,S=2,

a13a2(a21)a32aa43a2a2(a23)∴S′==2=2>0,

(a21)2(a1)2(a1)2a3864∴S=2在［2,4］上是增函数.∴≤S≤.

315a1综上所述,当a=4时,A∩B中点组成图形面积取得最大值 12分

21.(本小题满分16分)

64.

15

x2x22(理)已知椭圆C1:+y=1的左、右顶点分别是A、B,点P是双曲线C2:－44y2=1在第一象限部分上的一点,连结AP交椭圆C1于点C,连结PB并延长交椭圆C1于点D.

(1)若直线PA与PB的斜率分别为k1、k2,求证:k1·k2是定值; (2)若△ACD与△PCD的面积相等,求直线CD的倾斜角;

(3)直线CD的倾斜角是否会随着点P的不同而改变?并说明理由.

(1)证明:设P点的坐标为(x0,y0),则x20－4y20=4.

由A(－2,0)得k1=y0x,

02由B(2,0)得ky2=0x2,

022∴kkyy0112=0x2=y2=为定值.

04404(2)解:∵△ACD与△PCD面积相等,

∴C为AP中点.

设P(xx0,y0)(y0>0),则C(02y02,2).

x204y204,①∴

(x02)224(y02)21.②②×16+①得x20－2x0－8=0,即x0=4或x0=－2.

易知x0=－2不舍题意,∴x0=4.

∴P(4,

3)、C(1,32).

直线PB方程为y=32(x－2).

3由y(x2),解得D(1,32－).

x24y24,2∴直线CD的倾斜角为.

分

(3)解:设直线PA、PB斜率分别为k1、k2,

直线PA、PB的方程分别为PA:y=k1(x+2)和PB:y=k2(x－2).

由yk1(x2),222224,得(1+4k1)x+16k1x+(16k1－4)=0.

x4y2此方程两根分别为A、C横坐标,

16k2所以xC－2=－114k2.

14分

8① 由yk2(x2),x4y4,22得

(1+4k22)x2－16k22x+(16k22－4)=0.

10分

此方程两根分别为B、D横坐标,

16k2所以xD+2=.

214k222

2 ②

16k216k1②－①得xD－xC=+－4

2214k214k112)216k14k1=+－4

1214k1214()4k116(16k1=2+－4=0.

24k1114k142

∴xC=xD.∴直线CD的倾斜角不会随着点P的运动而改变.

14分