2016北京高考真题数学(文)含答案

2024年3月27日发(作者：职高对口高考2020的数学试卷)

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2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）已知集合

A

＝{

x

|2＜

x

＜4}，

B

＝{

x

|

x

＜3或

x

＞5}，则

A

∩

B

＝（ ）

A．{

x

|2＜

x

＜5} B．{

x

|

x

＜4或

x

＞5} C．{

x

|2＜

x

＜3} D．{

x

|

x

＜2或

x

＞5}

2．（5分）复数＝（ ）

A．

i

B．1+

i

C．﹣

i

D．1﹣

i

3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出

s

的值为（ ）

A．8 B．9 C．27 D．36

4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ）

A．

y

＝ B．

y

＝cos

x

C．

y

＝

ln

（

x

+1） D．

y

＝2

﹣

x

5．（5分）圆（

x

+1）

2

+

y

2

＝2的圆心到直线

y

＝

x

+3的距离为（ ）

A．1 B．2 C． D．2

6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）

A． B． C． D．

7．（5分）已知

A

（2，5），

B

（4，1）．若点

P

（

x

，

y

）在线段

AB

上，则2

x

﹣

y

的最大值为（

1 / 15

）

A．﹣1 B．3 C．7 D．8

8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预

赛成绩，其中有三个数据模糊．

学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60

30秒跳绳（单位：次） 63

a

75 60 63 72 70

a

﹣1

b

65

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ）

A．2号学生进入30秒跳绳决赛

B．5号学生进入30秒跳绳决赛

C．8号学生进入30秒跳绳决赛

D．9号学生进入30秒跳绳决赛

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）已知向量＝（1，

10．（5分）函数

f

（

x

）＝

），＝（，1），则与夹角的大小为 ．

（

x

≥2）的最大值为 ．

11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．

12．（5分）已知双曲线﹣＝1（

a

＞0，

b

＞0）的一条渐近线为2

x

+

y

＝0，一个焦点为（，0），则

a

＝ ，

b

＝ ．

13．（5分）在△

ABC

中，∠

A

＝，

a

＝

c

，则＝ ．

2 / 15

14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天

售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有 种；

②这三天售出的商品最少有 种．

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）已知{

a

n

}是等差数列，{

b

n

}是等比数列，且

b

2

＝3，

b

3

＝9，

a

1

＝

b

1

，

a

14

＝

b

4

．

（1）求{

a

n

}的通项公式；

（2）设c

n

＝

a

n

+

b

n

，求数列{c

n

}的前

n

项和．

16．（13分）已知函数

f

（

x

）＝2sinω

x

cosω

x

+cos2ω

x

（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求

f

（

x

）的单调递增区间．

17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过

w

立方米的部分按4元/立方米收费，超出

w

立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得

到如图频率分布直方图：

（1）如果

w

为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，

w

至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当

w

＝3时，估计该市居民该月的人均水费．

3 / 15

18．（14分）如图，在四棱锥

P

﹣

ABCD

中，

PC

⊥平面

ABCD

，

AB

∥

DC

，

DC

⊥

AC

．

（1）求证：

DC

⊥平面

PAC

；（2）求证：平面

PAB

⊥平面

PAC

；

（3）设点

E

为

AB

的中点，在棱

PB

上是否存在点

F

，使得

PA

∥平面

CEF

？说明理由．

19．（14分）已知椭圆

C

：+＝1过点

A

（2，0），

B

（0，1）两点．

（1）求椭圆

C

的方程及离心率；

（2）设

P

为第三象限内一点且在椭圆

C

上，直线

PA

与

y

轴交于点

M

，直线

PB

与

x

轴交于点

N

，求证：四边形

ABNM

的面积为定值．

20．（13分）设函数

f

（

x

）＝

x

+

ax

+

bx

+

c

．

（1）求曲线

y

＝

f

（

x

）在点（0，

f

（0））处的切线方程；

（2）设

a

＝

b

＝4，若函数

f

（

x

）有三个不同零点，求

c

的取值范围；

（3）求证：

a

﹣3

b

＞0是

f

（

x

）有三个不同零点的必要而不充分条件．

2

32

4 / 15

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．【分析】由已知条件利用交集的定义能求出

A

∩

B

．

【解答】解：∵集合

A

＝{

x

|2＜

x

＜4}，

B

＝{

x

|

x

＜3或

x

＞5}，

∴

A

∩

B

＝{

x

|2＜

x

＜3}．

故选：

C

．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．

2．【分析】将分子分线同乘2+

i

，整理可得答案．

【解答】解：＝＝＝

i

，

故选：

A

．

【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．

3．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量

S

的值，模拟程序的运行过

程，可得答案．

【解答】解：当

k

＝0时，满足进行循环的条件，故

S

＝0，

k

＝1，

当

k

＝1时，满足进行循环的条件，故

S

＝1，

k

＝2，

当

k

＝2时，满足进行循环的条件，故

S

＝9，

k

＝3，

当

k

＝3时，不满足进行循环的条件，

故输出的

S

值为9，

故选：

B

．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．

4．【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，

1）上的单调性，从而找出正确选项．

【解答】解：

A

．

x

增大时，﹣

x

减小，1﹣

x

减小，∴增大；

5 / 15

∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；

B

．

y

＝cos

x

在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；

C

．

x

增大时，

x

+1增大，

ln

（

x

+1）增大，∴

y

＝

ln

（

x

+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；

D

.；

∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．

故选：

D

．

【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式

的运算．

5．【分析】先求出圆（

x

+1）+

y

＝2的圆心，再利用点到到直线

y

＝

x

+3的距离公式求解．

【解答】解：∵圆（

x

+1）+

y

＝2的圆心为（﹣1，0），

∴圆（

x

+1）+

y

＝2的圆心到直线

y

＝

x

+3的距离为：

22

22

22

d

＝＝．

故选：

C

．

【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性

质的合理运用．

6．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个

数，同此能求出甲被选中的概率．

【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，

基本事件总数

n

＝＝10，

甲被选中包含的基本事件的个数

m

＝＝4，

∴甲被选中的概率

p

＝＝＝．

故选：

B

．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

7．【分析】平行直线

z

＝2

x

﹣

y

，判断取得最值的位置，求解即可．

6 / 15

【解答】解：如图

A

（2，5），

B

（4，1）．若点

P

（

x

，

y

）在线段

AB

上，

令

z

＝2

x

﹣

y

，则平行

y

＝2

x

﹣

z

当直线经过

B

时截距最小，

Z

取得最大值，

可得2

x

﹣

y

的最大值为：2×4﹣1＝7．

故选：

C

．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．

8．【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的

有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．

【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，

故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，

又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，

则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，

剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，

a

，60，63，

a

﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，

故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，

故选：

B

．

【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．

【解答】解：∵向量＝（1，

∴与夹角θ满足：

7 / 15

），＝（，1），

cosθ＝＝＝，

又∵θ∈[0，π]，

∴θ＝，

故答案为：．

【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．

10．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函

数，从而

x

＝2时

f

（

x

）取最大值，并可求出该最大值．

【解答】解：；

∴

f

（

x

）在[2，+∞）上单调递减；

∴

x

＝2时，

f

（

x

）取最大值2．

故答案为：2．

【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值

的方法．

11．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，

棱柱的底面面积

S

＝×（1+2）×1＝，

棱柱的高为1，

故棱柱的体积

V

＝，

故答案为：

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关

键．

12．【分析】由双曲的一条渐近线为2

x

+

y

＝0，一个焦点为（

8 / 15

，0），列出方程组，由此能出

a

，

b

．