2016年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

2024年3月27日发(作者：辽宁往年会考数学试卷真题)

2016年北京市高考数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，集合B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）

A．{0，1}

B．{0，1，2}

C．{﹣1，0，1}

D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）

A．0

B．3

C．4

D．5

3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（

A．1

B．2

C．3

D．4

4．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）

A．﹣＞0

B．sinx﹣siny＞0

C．（）

x

﹣（）

y

＜0

D．lnx+lny＞0

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

）

1

A．

B．

C．

）图象上的点P（

D．1

，t）向左平移s（s＞0）7．（5分）将函数y=sin（2x﹣

个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）

A．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为

B．t=

D．t=

，s的最小值为

，s的最小值为

8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空

盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红

球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有

球都被放入盒中，则（ ）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则

a= ．

10．（5分）在（1﹣2x）

6

的展开式中，x

2

的系数为 ．（用数字作答）

11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣

两点，则|AB|= ．

12．（5分）已知{a

n

}为等差数列，S

n

为其前n项和．若a

1

=6，a

3

+a

5

=0，则S

6

= ．

13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，

ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

2

OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则

a= ．

14．（5分）设函数f（x）=．

①若a=0，则f（x）的最大值为 ；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）在△ABC中，a

2

+c

2

=b

2

+

（Ⅰ）求∠B的大小；

（Ⅱ）求

16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通

过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

A班

B班

C班

6 6.5 7 7.5 8

6 7 8 9 10 11 12

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5

cosA+cosC的最大值．

ac．

（Ⅰ）试估计C班的学生人数；

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，

C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时

间比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，

9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数

记为μ

1

，表格中数据的平均数记为μ

0

，试判断μ

0

和μ

1

的大小．（结论不要求

证明）

3

17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，

AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=

（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若

．

不存在，说明理由．

18．（13分）设函数f（x）=xe

a

﹣

x

+bx，曲线

方程为y=（e﹣1）x+4，

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

4

y=f（x）在点（2，f（2））处的切线

19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B

（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求

证：|AN|•|BM|为定值．

20．（13分）设数列A：a

1

，a

2

，…，a

N

（N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的

每个正整数k都有a

k

＜a

n

，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数

列A的所有“G时刻”组成的集合．

（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；

（Ⅱ）证明：若数列A中存在a

n

使得a

n

＞a

1

，则G（A）≠∅；

（Ⅲ）证明：若数列A满足a

n

﹣a

n

﹣

1

≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个

数不小于a

N

﹣a

1

．

5

2016年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，集合B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）

A．{0，1}

2}

B．{0，1，2}

C．{﹣1，0，1}

D．{﹣1，0，1，

【考点】1E：交集及其运算．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合．

【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．

【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，

B={﹣1，0，1，2，3}，

∴A∩B={﹣1，0，1}．

故选：C．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的

合理运用．

2．（5分）若x，y满足

A．0

，则2x+y的最大值为（ ）

C．4

D．5

B．3

【考点】7C：简单线性规划．

【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思

想．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，

利用数形结合即可求z的取值范围．

6

【解答】解：作出不等式组

设z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得，即A（1，2），

代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．

即目标函数z=2x+y的最大值为4．

故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结

合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（ ）

7

A．1

B．2

C．3

D．4

【考点】EF：程序框图．

【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变

量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：输入的a值为1，则b=1，

第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；

第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；

第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，

故输出的k值为2，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可

采用模拟程序法进行解答．

4．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

8

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；91：向量的概念与向量的模．

【专题】35：转化思想；5A：平面向量及应用；5R：矩阵和变换．

【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．

【解答】解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；

若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；

故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“||=||”与

“|+|=|﹣|”表示的几何意义，是解答的关键．

5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）

A．﹣＞0

C．（）

x

﹣（）

y

＜0

B．sinx﹣siny＞0

D．lnx+lny＞0

【考点】71：不等关系与不等式．

【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；5T：不等式．

【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：

＜

，sinx与siny的大小关系不确定，

，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．

，sinx与siny的大小关系不确定，【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则

＜

故选：C．

，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．

【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题．

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

9

A．

B．

C．

D．1

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进

而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，

棱锥的底面面积S=×1×1=，

高为1，

故棱锥的体积V=

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，

判断几何体的形状是解答的关键．

7．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）

=，

个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）

A．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为

B．t=

D．t=

，s的最小值为

，s的最小值为

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

10

【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．

【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．

代入得：t=sin=，

【解答】解：将x=

将函数y=sin（2x﹣

得到P′（

）图象上的点P向左平移s个单位，

﹣s，）点，

若P′位于函数y=sin2x的图象上，

则sin（

则2s=

则s=

﹣2s）=cos2s=，

+2kπ，k∈Z，

+kπ，k∈Z，

，

由s＞0得：当k=0时，s的最小值为

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，

难度中档．

8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空

盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红

球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有

球都被放入盒中，则（ ）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

【考点】F5：演绎推理．

【专题】5M：推理和证明．

【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前

提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析．

11

【解答】解：取两个球共有4种情况：

①红+红，则乙盒中红球数加1个；

②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；

③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；

④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．

设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，

黑球y个，x+y=a．

则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；

丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；

黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j

由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．

故选：B．

【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻

辑思维能力有一定要求，中档题

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则

a= ﹣1 ．

【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．

【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则a+1=0，解得答案．

【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，

若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，

则a+1=0，

解得：a=﹣1，

故答案为：﹣1

【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于

基础题．

12

10．（5分）在（1﹣2x）

6

的展开式中，x

2

的系数为 60 ．（用数字作答）

【考点】DA：二项式定理．

【专题】34：方程思想；35：转化思想；5P：二项式定理．

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．

【解答】解：（1﹣2x）

6

的展开式中，通项公式T

r

+

1

=

令r=2，则x

2

的系数=

故答案为：60．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础

题．

11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣

两点，则|AB|= 2 ．

（﹣2x）

r

=（﹣2）

r

x

r

，

=60．

ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．

【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得

|AB|．

【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0．

圆ρ=2cosθ化为ρ

2

=2ρcosθ，∴x

2

+y

2

=2x，配方为（x﹣1）

2

+y

2

=1，可得圆心C（1，

0），半径r=1．

则圆心C在直线上，∴|AB|=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能

力，属于基础题．

12．（5分）已知{a

n

}为等差数列，S

n

为其前n项和．若a

1

=6，a

3

+a

5

=0，则S

6

=

6 ．

13