数学分析确界定理习题

2024年1月17日发(作者：武汉华一光谷期中数学试卷)

数学分析确界定理习题

1、用区间表示下列不等式的解：

(1) |1-x|-x≥0； (2) |x+1/x |≤6； (3) (x-a)(x-b)(x-c)>0 (a,b,c为常数，且a

(4) sinx≥根号2/2.

解：(1) 1-x≥x或1-x≤ - x；即x≤1/2 ；∴原不等式的解为：x∈(-∞,1/2].

(2) -6≤x+1/x≤6，且x≠0；

当x>0时，-6x≤x^2+1≤6x；解得3-2根号2≤x≤3+2根号2；

当x<0时，-6x≥x^2+1≥6x；解得-3-2根号2≤x≤ -3+2根号2；

原不等式的解为：x∈[3-2根号2, 3+2根号2]∪[-3-2根号2, -3+2根号2]

(3)当x>a时，x>c或xc或a

当x

∴原不等式的解为：x∈(a,b)∪(c,+∞).

(4)当-π

根据正弦函数的周期性，原不等式的解为：x∈[2k+π/4, 2k+3π/4]，k为整数。

2、设S为非空数集。试对下列概念给出定义：

(1)S无上界；(2)S无界.

解：(1)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使x0>M，则称数集S无上界；

(2)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使|x0|>M，则称数集S无界.

3、试证明数集S={y|y=2-x^2, x∈R}有上界而无下界.

证：对任意x∈R, y=2-x^2≤2，∴数集S有上界2.

而对任意的M>0，取x1=根号(M+3)，有y1=2-(M+3)= -M-1∈S，

且y1<-M，∴数集S无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：

(1) S={x|x^2<2}；(2) S={x|x=n!, n∈N+}；

(3) S={x|x为(0,1)内的无理数}；(4) S={x|x=1-1/2^n, n∈N}.

解：(1) sup S=根号2；inf S=-根号2.

验证：由x^2<2，得-根号2-根号2，

即根号2和-根号2分别是S的上下界.

又对任意ε>0，不妨设ε<2根号2，

于是存在x0=根号2-ε/2，x1=-根号2+ε/2，使x0,x1∈S，但x0>根号2-ε；x1<-根号2+ε，

∴sup S=根号2；inf S=-根号2.

(2) sup S=+∞，inf S=1.

验证：对任意x∈S，1≤x<+∞. 所以1是S的下界。

对任意自然数n，n!<+∞，∴sup S=+∞；

又对任意ε>0，有x1=1!=1∈S，而x1<1+ε，∴inf S=1.

(3) sup S=1；inf S=0；

验证：依题意，对任意x∈S，有x<1，且x>0，即1和0分别是S的上下界.

又对任意ε>0，取0<η<ε，使1-η为无理数，则1-η∈S，且1-η>1-ε,∴sup S=1；

又η为无理数，∴η∈S，且η<0+ε,∴inf S=0.

(4) sup S=1；inf S=1/2；

验证：对任意x∈S，有1/2≤x<1；即1和1/2分别是S的上下界.

又对任意ε>0，必存在自然数k，使xk=1-1/2^k∈S，且xk=1-1/2^k>1-ε，∴sup

S=1；

又x=1-1/2=1/2<1/2+ε，∴inf S=1/2.

5、设S为非空有下界数集。证明：inf S=ξ∈S<=>ξ=min S.

证：设ξ=min S，则对一切x∈S，有x≥ξ；

又对任意的ε>0，存在ξ∈S，使ξ<ξ+ε;∴inf S=ξ.

设inf S=ξ∈S，则对一切x∈S，有x≥ξ；∴ξ=min S.