费马大定理

2024年3月28日发(作者：荔湾区高考数学试卷真题)

费马大定理 - 费尔马大定理的由来

故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢

番图活动于公元250年前后。

1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方

程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能

分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，

不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜

这里的空白地方太小，写不下。”

费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发

表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔

马大定理。用数学语言来表达就是：形如x^n ＋y^n ＝z^n 的方程，当n大于2时没有正

整数解。

费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部

图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学

学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。

他酷爱数学，把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理。由于他思维敏捷，记忆力强，

又具备研究数学所必须的顽强精神，所以，获得了丰硕的成果，使他跻身于17世纪大数学

家之列。

艰难的探索

起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功。著名

数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整数

解。

因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，

只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费尔马大定理就完全证明

了。n＝4的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。

在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4以后， 1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了

n＝ 5的情形， 1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征

便开始了。

其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法，引入了自己发明的“理想

数”和“分圆数”的概念，指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时，才

有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。这样的数，在100以内，只有37、59、67三

个。他还具体证明了当 n＝ 37、59、67时，方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整数解的。这

就把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是成立的。库默尔“成批地”证明了定理的成

立，人们视之为一次重大突破。1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章。

这一“长征”式的证法，虽然不断地刷新着记录，如 1992年更进到n＝1000000，但这不等

于定理被证明。看来，需要另辟蹊径。

10万马克奖给谁

从费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费尔马大定理的人，布

鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果。1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候，

将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费尔马大定理的解答奖金。

哥庭根科学会宣布，奖金在100年内有效。哥庭根科学会不负责审查稿件。

10万马克在当时是一笔很大的财富，而费尔马大定理又是小学生都能听懂题意的问题。于

是，不仅专搞数学这一行的人，就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏

和一般市民，都在钻研这个问题。在很短时间内，各种刊物公布的证明就有上千个之多。

当时，德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定，到 1911

年初为止，共审查了111个“证明”，全都是错的。后来实在受不了沉重的审稿负担，于是

它宣布停止这一审查鉴定工作。但是，证明的浪潮仍汹涌澎湃，虽然两次世界大战后德国的

货币多次大幅度贬值，当初的10万马克折算成后来的马克已无多大价值。但是，热爱科学

的可贵精神，还在鼓励着很多人继续从事这一工作。

费马大定理 - 背景

17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就

是费马(1601——1665)。

这道题是这样的：当n>2时，x^n+y^n=z^n没有正整数解。在数

学上这称为“费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定

的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家

都曾研究过，即使用现代的电子计算机也只能证明：当n小于等

于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解

决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下了这个数学难题中少有的千古之

谜。

费马大定理 - 费马简介

费马（1601～1665）

Fermat，Pierre de

费马是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他

的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生

活在富裕舒适的环境中。

费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费

马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格，

出身穿袍贵族。多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。

费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，

对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业

后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。