2024年1月25日发(作者：杭州职高的数学试卷答案)
2.7．微分方程初步
2.7.1 概说
涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。
涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。
简单例子：
（1）放射性物质，在每一时刻t，衰变的速率-dmdtdmdt（由于是减少，因此<0，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。
标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。
-dm=km
dt（2）质量为m的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离y=y(t)应该满足牛顿第二定律F=ma，即
，即
mg=mdydt22
（3）质量为m的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t时刻下降距离y=y(t)满足
满足
dyd2y=mdt2
mg-kdt
O（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为t时刻的坐标x=x(t)满足微分方程
满足微分方程
，钢球在
(-kx)=mdxdt22
如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是
方程是
dxd2x=mdtdt2
总结：最简单的一阶微分方程是
最简单的一阶微分方程是
-kx-h
dxdt=f(t)
其中t是自变量，上述方程的一般解应该是
是自变量，上述方程的一般解应该是
x=òf(t)dt+C
最简单的n阶方程
阶方程
dxn
dn-1xdtn-1ndtn=f(t)
它等价于说是f(t)的原函数，即
的原函数，即
则再次积分，一直积分下去得到
则再次积分，一直积分下去得到
x=dn-1nxdtn-1=òf(t)dt+C
òòf(t)dtdt+C1tn-1(n-1)!n++Cnt+Cn
-1
2.7.2
一阶线性微分方程
考察下面的方程
考察下面的方程
dxdt+a(t)x=b(t)
方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。如果a(t)=0，则称为一阶线性常微分方程。
试着求解上述方程，方程两端都乘以eòeòa(t)dtdxdta(t)dt，得到
，得到
òa(t)dtx=b(t)eòa(t)dt+a(t)e
即为下面的形式
即为下面的形式
òa(t)dtdxdtæòa(t)dtdçèe+dtö÷ø=b(t)eòa(t)dtö÷øx=b(t)eòa(t)dte
即
æòa(t)dtdçèxedt
于是有
于是有
xeòa(t)dt=b(t)eòa(t)dtdt+C
那么有
那么有
-òx=eòa(t)dtæòa(t)dtçb(t)edt+Còèö÷
øa(t)dt这就是一阶线性微分方程的一般解。这个解法的关键部分是以eò乘以方程两端。
简单的例子
简单的例子
（1）质量为m的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t时刻下降距离y=y(t)满足
满足
dydtd2ydt2
由于速度v=dydtmg-k=m
，因此方程化为
，因此方程化为
dvdtkk+kmv=g
a(t)dtòmdtemtòee方程两边同时乘以==，则有
kemtdvdt+kmkkemtkv=gemt
即有
即有
tædçvemèdtö÷øk=gem
t得到
得到
v=e-ktmæmgktöme+C÷
çkèø即
v=e-ktm-ktæmgktömgmem+C÷=
+Ceçkkèø跳伞的初始速度为0，即t=0,v=0，则
，则
v=mgk+C=0
t=0所以
所以
C=-mgk
则跳伞速度为
则跳伞速度为
-ktömgæmv=ç1-e÷
kèø由于v=dydt，因此有
，因此有
mgæ-ktmkömgæm-mtdt=t+e+Ckçk÷øèy=vdt=òòkçè1-eö\'
÷ø跳伞的初始位移为0，即t=0,y=0，则
，则
ö==mgæm+çC\'÷0
kèkømkyt=0则
C\'=-
因此有
因此有
æ-köö=mgæç+mçmt-÷÷ye1÷
çtkkèøøè
自然界有一些量，它的减少正比于该量本身数值，这样的量x应该满足一下的微分方程
应该满足一下的微分方程
dxdt=-kx
即
dxdt+kx=0
解这微分方程得到
解这微分方程得到
-x=Cekt
设t=0时x的值为x0，则有C=x0，量x的变化规律为
的变化规律为
-x=x0ekt
2.7.3
变量分离型微分方程
先看一个简单的例子，考察一阶线性方程
先看一个简单的例子，考察一阶线性方程
dxdt=a(t)x
我们把这个方程改写为
我们把这个方程改写为
dxx=a(t)dt
如果x=x(t)是方程的解，那么它能使上式成为恒等式，两边求不定积分得
是方程的解，那么它能使上式成为恒等式，两边求不定积分得
因此得到
因此得到
ln|x|=òdxx=òa(t)dt+C\'
òa(t)dt+C\'
C\'
C\'x=±e×eòa(t)dt
令C=±e，则得到
，则得到
因此我们可以得到结论，方程
因此我们可以得到结论，方程
的一般解为
的一般解为
dxdt=a(t)x
x=Ceòa(t)dt
x=Ceòa(t)dt
（一般的变量分离型方程）
对于一般的变量分离型方程
对于一般的变量分离型方程
dxdt=f(t)g(x)
事实上，如果g(x)¹0，那么方程可以改写为
，那么方程可以改写为
dxg(x)
再对两边求不定积分得到
再对两边求不定积分得到
=f(t)dt
=ògdx(x)òf(t)dt+C
另外，如果有x0能使得g(x0)=0，那么常值函数xºx0也是原方程的解。
也是原方程的解。
（经过换元后得到变量分离型方程）
（1）考察方程
考察方程
dx
换元，引入新的未知数
换元，引入新的未知数
我们得到
我们得到
代入原方程得到
代入原方程得到
这又是一个变量分离型方程，我们有
这又是一个变量分离型方程，我们有
x=fæçö÷
dttèøxtu=
x=ut
dx=d(ut)=u+tdu
dtdtdtduu+tdudt=dtf(u)-ut=f(u)
duf(u)-uduf(u)-u=dttdtt
则有
则有
ò=ò+C
ò（2）考察方程
变换方程
变换方程
duf(u)-u=ln|t|+C
dxæax+btçf=dtègx+dtö÷
øæçadx=fçdtçgèx+öæxötb÷=÷gç÷
xètø+d÷tøxt=u
换元，令
换元，令
我们得到
我们得到
代入原方程，我们有
代入原方程，我们有
x=ut
dxdu=u+t
dtdt
u+tdu这是一个分离变量型的方程，得到
这是一个分离变量型的方程，得到
æau+bö÷
=fçdtgu+dèøduæau+bö÷-ufçègu+dø=dtt
两边取积分得到
两边取积分得到
ò则得到
则得到
duæau+bö÷-ufçègu+dø=òdtt+C
ò（3）考察方程
考察方程
duæau+böfçègu+d÷ø-u=ln|t|+C
dxæax+bt+löç÷
f=dtègx+dt+mø这个方程可以化成（2）中的形式，取x0和t0满足
满足
作如下变换
作如下变换
则有
则有
æx+t+ablfçègx+dt+mdxdt=d(x+x0)d(t+t0)=dxdtìax0+bt0+l=0
íxt0++=gdm0î0ìx=x+x0
ítt=+t0î
ææö+x)+b(t+t)+lö+bt+(ax+bt+l)ö(axax==0000÷÷÷fçfçøèg(x+x0)+d(t+t0)+møègx+dt+(gx0+dt0+m)øæx+ö
çab÷æöæö+++axbt0÷=çaxbt÷=çt÷fçff+++xgxdt0gxdtèøèøçg+d÷ètø作换元，令
作换元，令
xt=u
我们得到
我们得到
代入原方程，我们有
代入原方程，我们有
duæau+bödxdtx=ut
=u+tdudt
u+tdt=fçgu+d÷
èøduæau+bö÷-ufçègu+dødu=æu+öab÷-ufçègu+døduæau+bö÷-ufçègu+dø=dtt
dtòòòt+C
=ln|t|+C
求解方程后只要将值还原为还原前的值。
求解方程后只要将值还原为还原前的值。
2.7.4
实变复值函数
对于代数方程式，我们已经有过这样的经验：即使是实系数的代数方程，为了弄清楚它的根的状况，最好到更广泛的复数范围内加以讨论。的根的状况，最好到更广泛的复数范围内加以讨论。在处理微分方程的某些问题时，最好到更广泛的复数范围内加以讨论。在处理微分方程的某些问题时，例如求在处理微分方程的某些问题时，例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是“实”的微分方程，所求的也是实解（实值函数解），但中间过程却需要在更广泛的复值函数范围内进行讨论。本节为这一讨论做准备。
这一讨论做准备。
（1）复数与平面向量，复数序列的极限
我们把形状如
我们把形状如
的数称为复数，这里i=
复数的加法和乘法定义如下：
复数的加法和乘法定义如下：
(u1+iv1)+(u2+iv2)=(u1+u2)+i(v1+v2)
(u1+iv1)-(u2+iv2)=(u1-u2)+i(v1-v2)
(u1+iv1)×(u2+iv2)=u1u2+iv2u1+iv1u2-v1v2=(u1u2-v1v2)+i(v2u1+v1u2)
u1+iv1u2+iv2=(u1+iv1)(u2-iv2)(u2+iv2)(u2-iv2)=(u1u2+v1v2)+i(v1u2-v2u1)u22+v2222w=u+iv
都是实数，分别称为实部和虚部，记为
-1是虚单位，而u,v都是实数，分别称为实部和虚部，记为
Rew=u,Imw=v
=u1u2+v1v2u22+v22+iv1u2-v2u1u22+v22
作除法时要求u2+iv2¹0，即u2+v2¹0。
复数w=u+iv可以解释为平面直角坐标系中坐标为(u,v)的点，这点的极坐标为(r,q)，
y(i)(u,v)rO其中
其中
22qx
r=u+v，cosq=ur，sinq=vr
我们把
我们把
w=r(cosq+isinq)
称为复数的极坐标表示，r和q分别称为复数的模和幅角，分别用符号|w|和Argw表示。采用这种表示来计算复数的乘方特别方便：
采用这种表示来计算复数的乘方特别方便：
证明：
证明：
当n=1时明显成立，假设当n=k时成立，有
时成立，有
w=r(coskq+isinkq)
kkw=r(cosnq+isinnq)
nn则当n=k+1时，有
时，有
wk+1=w×w=r(coskq+isinkq)×r(cosq+isinq)(coskq+isinkq)(cosq+isinq)kk=r=r=rk+1k+1k+1[(coskqcosq-sinkqsinq)+i(coskqsinq+sinkqcosq)][cos(k+1)q+isin(k+1)q]
所以对n=k+1也成立，故而有
也成立，故而有
w=r(cosnq+isinnq)
nn 复数w=u+iv还可以解释为长为|w|方位角为Argw的一个平面向量，多个复数之和就可以理解为多个平面向量之和。复数的模正好是向量的长度，它满足一下不等式：
可以理解为多个平面向量之和。复数的模正好是向量的长度，它满足一下不等式：
|w1+w2|£|w1|+|w2|
意味着三角形的两边之和大于第三边。也可以用代数方式证明这个不等式。化为代数表达，也就是证明：
也就是证明：
(u1+u2)+(v1+v2)£22u12+v12+u22+v22
这个采用逆向证明法很容易证明，不等式还可以推广到m个复数的情形，则
个复数的情形，则
|w+w++w|£|w|+|w|++|w|
mm1212定理1：复数序列wn=un+ivn收敛于C=A+iB的充分必要条件是序列un和序列vn分别收敛于A和B。
（实变复值函数）
设DÌR，EÌC，我们把从D到E的映射
的映射
w=f(t)
称为实变复值函数，设、函数w=f(t)相当于一对实函数
称为实变复值函数，设w=u+iv，f(t)=j(t)+iy(t)，相当于一对实函数
u=j(t)，v=y(t)
引入实变复值函数作为工具，是为了更方便地研究实函数。
引入实变复值函数作为工具，是为了更方便地研究实函数。
定理1：设实变复值函数f(t)=j(t)+iy(t)在U(t0,h)有定义，而C=A+iB，则limf(t)=C的充分必要条件是
的充分必要条件是
t®t0
limj(t)=u，limy(t)=v
t®t0t®t0U定理2：设实变复值函数f(t)=j(t)+iy(t)在(t0,h)有定义，则f(t)在t0点连续的充分必要条件是：j(t)和y(t)在t0点连续。
点连续。
Ufttit定理3：设实变复值函数()=j()+y()在(t0,h)有定义，则f(t)在t0点可导的充分必要条件是：j(t)和y(t)在t0点可导。且
点可导。且
f\'(t0)=j\'(t0)+iy\'(t0)
实函数的复合函数求导法则同样适用于实变复值函数的复合函数求导。
实函数的复合函数求导法则同样适用于实变复值函数的复合函数求导。
定理4：为使实变复值函数F(t)=F(t)+iY(t)是实变复值函数f(t)=j(t)+iy(t)的原函数，必须而且只许F(t)和Y(t)分别是j(t)和y(t)的原函数。记为
的原函数。记为
òòf(t)dt=F(t)+C
f(t)dt=j(t)dt+iy(t)dt=F(t)+iY(t)+C
òò其中C可以是复数。
可以是复数。
（欧拉Euler公式）
在推导过程中，会用到下面几个常见的极限
在推导过程中，会用到下面几个常见的极限
1
a®0lim(1+a)a=e，limln(1+b)b®0b=1，limarctangg®0g=1
anùéææönöê+aaú=+a=ç÷÷ea；
limç1当a¹0时，lim1nnêúèøøûëèæ+aön=+n==0a0ç÷=当时，lim1lim(10)1e；
nøè因此有
因此有
æ+aön=ÎaeaR
limç1,÷nøè定义：对于c=a+ibÎC，我们规定
，我们规定
cec=æ+cön÷
limç1nøè下面来求解e。
æ+cö÷写成极坐标的形式 将复数ç1写成极坐标的形式
nøè
其中
其中
=æ+cö=æ+a+ibö=éæ+aö+bù=+÷ç1÷êç1÷iúr(cosqisinq)
wç1nøènøëènønûè
r=bæ+aö2+æbö2ç1÷ç÷，q=arctann
anøèènø1+n那么有
那么有
æ+cön==é+ùnnç1÷ër(cosqisinq)û
wnøè由前面的知识可得
由前面的知识可得
wn=érnq+inqq+iqùn=rncossincossin()()
ëû因此有
因此有
æ+cön=+nç1÷r(cosnqisinnq)
nøèæ+cön=énù=+×+n÷elimç1limër(cosnqisinnq)ûlimrlim(cosnqisinnq)nø
è=+ùn×élimrëcos(limnq)isin(limnq)ûc=下面分别求出各部分的极限：
下面分别求出各部分的极限：
nnéùê=++æöæöç1a÷çb÷úrnnøènøúêèëûn222éæöù2=ê1+ç2a+a+b÷ú
2nnèøûë22éæ2aa2+b2öùlnr=lnê1+ç+÷ú
2nn2ëèøûn因此有（可用其同阶的无穷小替代）因此有（可用其同阶的无穷小替代）
lim(lnrn)则有
则有
éæ2aa2+b2=limlnê1+ç+2nn2ëènnlnrnöù22næ2aa+bö+÷ú=limç÷=a
2n2nøûèølimr=lime=elimlnrna=e
而
bæçnlimnq=limçnarctanç1+anèböæ÷çnlimn=÷ç÷ç1+anøèö÷÷=b
÷ø因此得到
因此得到
ec=æ+cön=×é+ù=a+n÷limç1limrëcos(limnq)isin(limnq)ûe(cosbisinb)
nøè即
ec=ea(cosb+isinb)，其中c=a+ib
或者
或者
eiba+ib=ea(cosb+isinb)
（1）如果a=0，那么有e=cosb+isinb
bb-b（2）令分别为和
，我们得到
，我们得到
--ib+ibib-ibeeeecosb=,sinb=
22（3）推广到复数的指数运算
）推广到复数的指数运算
证：
证：
e1×eacc2e×ec1c2=e+c1c2
=ea1+ib1×ea2+ib2a=e1(cosb1+isinb1)×e2(cosb2+isinb2)=e=e=ea1+a2a1+a2[(cosb1cosb2-sinb1sinb2)+i(sinb1cosb2+cosb1sinb2)]
[cos(b1+b2)+isin(b1+b2)]=ec1+c2(a1+a2)+i(b1+b2)（4）令a=0，b=±p2，则得到
，则得到
±pi2
令a=0，b=±p，则得到
，则得到
e=cosp2±isinp2=±i
令a=0，b=2kp，则得到
，则得到
特别的k=1，有
，有
ee±p=cosp±isinp=-1
iik2p=cos2kp+isin2kp=1
ei2p=1
它将数学中最重要的五个数字1,2,p,e,i联系在一起。
联系在一起。
利用欧拉公式，我们将复数的极坐标形式w=r(cosq+isinq)写成
写成
q
w=rei
这里r为复数的模，q为幅角，
为幅角，
eiq=cosq+isinq
是一个模为1的复数，它表示与极轴夹角为q的一个单位向量。
的一个单位向量。
|eiq|=1
再看复数
再看复数
ö
ieiq=i(cosq+isinq)=-sinq+icosq=æcosçp+q÷+æisinçp+è2øè2因为
因为
iqipqie2iqi(p2+)=e×e=e
ii所以ieq是与eq垂直的一个单位向量。如下图所示。
垂直的一个单位向量。如下图所示。
ieiqeiqO
（应用欧拉公式讨论实变复值函数）
考察实变复值函数
考察实变复值函数
f(t)=elt=e(a+ib)t，
这里tÎR，l=a+ibÎC(a,bÎR)，根据欧拉公式有
，根据欧拉公式有
ö+÷=ei(p2q)øq
f(t)=el=et(a+i)tba=et+itba=e(cosbt+isinbt)
t那么求导数得到
那么求导数得到
tf\'(t)=(el)\'at=(e(cosbt+isinbt))\'taa=ae(cosbt+isinbt)+e(cosbt+isinbt)\'aa=ae(cosbt+isinbt)+e(-bsinbt+ibcosbt)tttt=aeat+ibt+beatpécosæpùööêç+÷+sinæç+÷úibtbtè2øè2øûë×eip2
=ae=ae=aeat+ibtat+ibtat+ibt+be+beat+i(p2+bt)at+ibtat+ibt+ibe=(a+ib)eltat+ibt=le因此得到，对于l=a+ibÎC，下面的求导公式也成立。
，下面的求导公式也成立。
(e
ltlt)\'=le
1el+C
tlt因此得到关于原函数不定积分的相应公式。
因此得到关于原函数不定积分的相应公式。
òedt=l（1）例如，已知a,bÎR，试求下面的不定积分。
，试求下面的不定积分。
òeatatatcosbtdt，esinbtdt
ò令l=a+ib，则所求的不定积分恰好为下式的实部和虚部
，则所求的不定积分恰好为下式的实部和虚部
eat(cosat+isinbt)dt=ò===1òeltdttlel+C1aibte(+)+A+iBta+iba-iba+b22eat(cosbt+isinbt)+A+iBat
=eata-ib+++ibt2()(cossinbt)AiB2a+b(acosbt+bsinbt)+i(asinbt-bcosbt)=eat+A+iB22a+b=æatacosbt+bsinbt+ö+æatasinbt-bcosbt+öçeA÷içeB÷2222a+ba+bèøèø
由于对于实变复值函数f(t)=j(t)+iy(t)
ò因此有
因此有
f(t)dt=j(t)dt+iy(t)dt=F(t)+iY(t)+C
òòacosbt+bsinbta+basinbt-bcosbta+b2222òòecosbtdt=F(t)=eatat+A
+B
eatsinbtdt=Y(t)=eat其中A，B为任意实数。
为任意实数。
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