2021考研数学二考试历年真题及答案详解

2024年3月30日发(作者：王朝霞数学试卷答案五下)

2021考研数学二考试历年真题及答案详解

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，

只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）

1.当x→0时，

A．

B．

C．

D．

低阶无穷小

等价无穷小

高阶无穷小

同阶但非等价无穷小

是x7的（）。

【答案】

C

【考点】

常用等价无穷小；

【解析】

因为当x→0时，

是x7的高阶无穷小，故选C项。

，所以

2.函数

A．

B．

C．

D．

连续且取极大值

连续且取极小值

可导且导数为0

可导且导数不为0

，在x＝0处（）。

【答案】

D

【考点】

连续和可导的定义；

【解析】

因为

故f（x）在x＝0处连续。因为

故f′（0）＝1/2，

故选D项。

3.有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，－3cm/s，当底

面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为

（）。

A．125πcm3/s，40πcm3/s

B．125πcm3/s，－40πcm3/s

C．－100πcm3/s，40πcm3/s

D．－100πcm3/s，－40πcm3/s

【答案】

C

【考点】

复合函数求导；

【解析】

由题意知，dr/dt＝2，dh/dt＝－3，有V＝πr2h，S＝2πrh＋2πr2，则

当r＝10，h

＝5时，dV/dt＝－100π，dS/dt＝40π，故选C项。

4.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（

A．（e，＋∞）

B．（0，e）

C．（0，1/e）

D．（1/e，＋∞）

）。

【答案】

A

【考点】

函数单调性及极值；

【解析】

函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得：在区

间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′

（x）＜0，f（x）单减。即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个

零点，则f（b/a）＝a·b/a－bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞

e，故选A项。

5.设函数f（x）＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1＋ax＋bx2，则（）。

A．a＝1，b＝－1/2

B．a＝1，b＝1/2

C．a＝0，b＝－1/2

D．a＝0，b＝1/2

【答案】

D

【考点】

麦克劳林公式；

【解析】

由函数知

f（

1

由麦克劳林公式知

0）＝sec0＝

代入上述数值得

与题给多项式相比较，得a＝0，b＝1/2，

故选D项。

6.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，

则df（1，1）＝（）。

A．dx＋dy

B．dx－dy

C．dy

D．－dy

【答案】

C

【考点】

多元函数可微；

【解析】

记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得

将

分别代入（1）（2）式有

联立可得f1′（1，1）＝

0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故

选C项。

7.设函数f（x）在区间[0，1]上连续，则（）。

A．

B．

C．

D．

【答案】

B

【考点】

定积分的定义；

【解析】

由定积分的定义知，将（0，1）分成n份，取中间点的函数值，则

故选B项。

8.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯

性指数和负惯性指数依次为（）。

A．2，0

B．1，1

C．2，1

D．1，2

【答案】

B

【考点】

二次型的特征值；

【解析】

f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2＝2x22＋2x1x2＋

2x2x3＋2x3x1

所以

故特征多项式为

令上式等于0，故特征值为－1，

3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，选B项。

9.设三阶矩阵A＝（α1，α2，α3），B＝（β1，β2，β3），若向量组α1，

α2，α3可以由向量组β1，β2，β3线性表出，则（

A．

B．

C．

D．

Ax＝0的解均为Bx＝0的解

ATx＝0的解均为BTx＝0的解

Bx＝0的解均为Ax＝0的解

BTx＝0的解均为ATx＝0的解

→→→→→

→→→→→→→

）。

【答案】

D

【考点】

向量组与齐次线性方程组的解；

【解析】

由题意得，存在矩阵P，使得BP＝A，则当BTx0＝0时，ATx0＝（BP）Tx0＝PTBTx0

＝0恒成立，故选D项。

10.已知矩阵，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，

）。使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取（

A．

B．

C．

D．

【答案】

C

【考点】

对角矩阵的求解；

【解析】

由增广矩阵得

又

则

则

故选C项。

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定

位置上）

1．

【答案】

1/ln3

【考点】

定积分的计算；

【解析】

。

2．设函数y＝y（x）由参数方程

【答案】

2/3

【考点】

参数方程的二阶导数；

【解析】

由参数方程的求导公式得

确定，则。

将t＝0代入得

。

3．设函数z＝z（x，y）由方程（x＋1）z＋ylnz－arctan（2xy）＝1确定，则

。

【答案】

1

【考点】

多元隐函数求导；

【解析】

方程两边对x求导得，当x＝0，y＝2

时，代入原方程得z＝1，再将x＝0，y＝2，z＝1代入上式，得∂z/∂x＝1。

4．已知函数

【答案】

，则f′（π/2）＝。

【考点】

积分函数的导数计算；

【解析】

交换积分次序有

从而

则求导得

将t＝π/2代入得

5．微分方程y

‴

－y＝0的通解为y＝。

【答案】

【考点】

微分方程的通解；

【解析】

由特征方程λ3－1＝0得λ1＝1，，故方程通解为

6．多项式

【答案】

－5

【考点】

行列式的计算；

【解析】

中x3项的系数为。

所以展开式中

含x3项的有－x3，－4x3，即x3项的系数为－5。

三、解答题（本题共6小题，共70分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1.（本题满分10分）

求极限。

【答案】

又因为

将上式代入得

【考点】

利用泰勒展开式求极限；

2.（本题满分12分）

已知，求f（x）的凹凸性及渐近线。

【答案】

将函数化为分段函数得

函数求导得

x＞0时

x≤0时

可得其拐点为x＝－1，x＝0。（注：

x＝2是其驻点，不是拐点）

所以

则函数凹区间

为（－∞，－1），（0，＋∞），凸区间为（－1，0）。

因为，故x＝－1是垂直渐近线。

又由于，

则斜渐近线是y＝x－1，y＝－x－1。

【考点】

函数的凹凸性及渐近线；

3.（本题满分12分）

f（x）满足，L为曲线y＝f（x）（4≤x≤9），L

的弧长为s，L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A。

【答案】

两边对x求导得

则

曲线的弧长

曲面的侧面积

【考点】

曲线和曲面积分；

4.（本题满分12分）

函数y＝y（x）的微分方程为xy′－6y＝－6，满足。

（1）求y（x）；

（2）P为曲线y＝y（x）上的一点，曲线y＝y（x）在点P的法线在y轴上的截

距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标。

【答案】

（1）方程化简为，所以

将

代入，C＝1/3，所以y（x）＝1＋x6/3。

（2）设P（x，y），则过P点的切线方程为Y－y＝2x5（X－x），法线方程为

。

令X＝0，且y＝1＋x6/3，则

＋∞）即可。

，为偶函数，仅考虑（0，

令，求得驻点为x＝1。

所以x∈（0，1），Iy′＜0，Iy＞Iy（1）＝11/6；x∈（1，＋∞），Iy′＞0，

Iy＞Iy（1）＝11/6。

所以P（±1，4/3）时，Iy最小，为11/6。

【考点】

微分方程的解，函数的极值；

5.（本题满分12分）

曲线（x2＋y2）2＝x2－y2（x≥0，y≥0）与x轴围成的区域为D，求。

【答案】

化作极坐标求解得

【考点】

二重积分的计算；

6.（本题满分12分）

设矩阵仅有2个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b

的值，并求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵。

【答案】

令

则b分情况

讨论。

（1）当b＝3时，由A相似于对角矩阵可知，二重根λ1＝λ2＝3至少对应存在

两个线性无关的特征向量，则由

得a＝－1，此时λ1＝λ2＝3所对应特征向量为

λ3＝1所对应特征向量为

则

（2）当b＝1时，由A相似对角化可知，二重根λ1＝λ

2＝1至少对应存在两个线性无关的特征向量，则由

得a＝1，此时λ1＝λ2＝1所对应特征向量为

λ3＝3所对应特征向量为

则

【考点】

相似对角化；