2024年4月15日发(作者：肥城三中高考数学试卷)
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数学参数方程知识点总结
参数方程和函数很相像，它们都是由一些在指定的集的数，
称为参数或自变量，以打算因变量的结果。下面数学参数方程学
问点总结是我为大家收拾的，在这里跟大家共享一下。
数学参数方程学问点总结
参数方程定义
普通的，在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标
x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)
都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系
x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直
接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程。(注重：参数是联系
变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也
可以是没有实际意义的变数。
参数方程
圆的参数方程x=a+rcosy=b+rsin(a,b)为圆心坐标r为圆半径为
参数
椭圆的参数方程x=acosy=bsina为长半轴长b为短半轴长为参
数
双曲线的参数方程x=asec(正割)y=btana为实半轴长b为虚半
轴长为参数
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抛物线的参数方程x=2pt2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为
参数
直线的参数方程 x=x+tcosa y=y+tsina,x,y和a表示直线经过
(x,y)，且倾斜角为a,t为参数
参数方程的应用
普通在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x, y
都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)， 并且对于t的每一个允许
的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程
就叫做曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数，简
称参数。
圆的参数方程 x=a+r cos y=b+r sin (a,b)为圆心坐标 r为圆半
径 为参数
椭圆的参数方程 x=a cos y=b sin a为长半轴 长 b为短半轴长
为参数
双曲线的参数方程 x=a sec (正割) y=b tan a为实半轴长 b为
虚半轴长 为参数
抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t
为参数
直线的参数方程 x=x+tcosa y=y+tsina , x, y和a表示直线经过
(x,y),且倾斜角为a,t为参数.
更多总结
数学集合学问点总结
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集合是高中数学中的一个重要考点，相关的学问把握并不是
非常的难，下面数学集合学问点总结是我想跟大家共享的，欢迎
大家扫瞄。
数学集合学问点总结
一.学问归纳：
1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其
中每一个对象叫元素
注重：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是
通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互
异性(若a?A，b?A，则ab)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它
的元素;只要是它的元素就必需符号条件
2)集合的表示办法：常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集：若对xA都有xB，则A B(或A B);
2)真子集：A B且存在x0B但x0 A;记为A B(或 ，且 )
3)交集：AB={x| xA且xB}
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4)并集：AB={x| xA或xB}
5)补集：CUA={x| x A但xU}
注重：①? A，若A?，则? A ;
②若 ， ，则 ;
③若 且 ，则A=B(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，把握有关的术语和
符号，特殊要注重以下的符号：(1) 与 、?的区分;(2) 与 的区分;(3)
与 的区分。
4.有关子集的几个等价关系
①AB=A A B;②AB=B A B;③A B C uA C uB;
④ACuB = 空集 CuA B;⑤CuAB=I A B。
5.交、并集运算的性质
①AA=A，A? = ?，AB=BA;②AA=A，A? =A，AB=BA;
③Cu (AB)= CuACuB，Cu (AB)= CuACuB;
6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个
子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。
二.例题讲解：
已知集合M={x|x=m+ ,mZ},N={x|x= ,nZ},p={x|x= ,pZ}，则M,N,p满足
关系
A) M=N p B) M N=p C) M N p D) N p M
分析一：从推断元素的个性与区分入手。
解答一：对于集合M：{x|x= ,mZ};对于集合N：{x|x= ,nZ}
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对于集合p：{x|x= ,pZ}，因为3(n-1)+1和3p+1都表示被3除
余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=p，故选B。
分析二：容易列举集合中的元素。
解答二：M={， ，}，N={， , , ，}，p={， , ，}，这时不要
急于推断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= N， N，M N，又 = M，M N，
= p，N p 又 N，p N，故p=N，所以选B。
点评：因为思路二只是停歇在最初的归纳假设，没有从理论
上解决问题，因此倡导思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则( B )
A.M=N B.M N C.N M D.
解：
当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B
定义集合AB={x|xA且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则AB的子集
个数为
A)1 B)2 C)3 D)4
分析：确定集合AB子集的个数，首先要确定元素的个数，然
后再利用公式：集合A={a1，a2，an}有子集2n个来求解。
解答：∵AB={x|xA且x B}， AB={1,7}，有两个元素，故AB的
子集共有22个。选D。
变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若aM，则6?aM，那
么集合M的个数为
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A)5个 B)6个 C)7个 D)8个
变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必需含有元素a,b.
集合A可能是
{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所
以共有 个 .
已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且AB={1},AB={?2,1,3},
求实数p,q,r的值。
解答：∵AB={1} 1B 12?41+r=0,r=3.
B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵AB={?2,1,3},?2 B, ?2A
∵AB={1} 1A 方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且
AB={2},AB=B，求实数b,c,m的值.
解：∵AB={2} 1B 22+m?2+6=0,m=-5
B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵AB=B
又 ∵AB={2} A={2} b=-(2+2)=4,c=22=4
b=-4,c=4,m=-5
已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)0},集合B满足：AB={x|x-2}，且AB={x|1
分析：先化简集合A，然后由AB和AB分离确定数轴上哪些
元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：A={x|-21}。由AB={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-,-2)B=ф。
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综合以上各式有B={x|-1x5}
变式1：若A={x|x3+2x2-8x0}，B={x|x2+ax+b0},已知AB={x|x-4}，
AB=,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注重用数形结
合的办法，作出数轴来解之。
变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若MN=N，求全部
满足条件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵MN=N, N M
①当 时，ax-1=0无解，a=0 ②
综①②得：所求集合为{-1，0， }
已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若pQ，求实数
a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在 有解，再利用
参数分别求解。
解答：(1)若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a-4,所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，普通要举行分类研究，但并
不是全部的问题都要研究，怎样可以避开研究是我们思量此类问
题的关键。
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中考数学圆学问点总结
在中考数学中， 圆是初中几何课程中很重要的内容之一。下
面是我推举给大家的中考数学圆学问点总结，希翼大家有所收获。
中考数学圆学问点总结
一、圆及圆的相关量的定义
1.平面上到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆上随意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧
称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。衔接圆上随意两点的线段叫
做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两
边分离与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫
做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内
切圆，其圆心称为内心。
5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点
为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，
这个唯一的公共点叫做切点。
6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之
外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫
外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距
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离叫做圆心距。
7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥
侧面绽开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
二、有关圆的字母表示办法
圆--∵ 半径r 弧--∵ 直径d
扇形弧长/圆锥母线l 周长C 面积S三、有关圆的基本性质与
定理(27个)
1.点p与圆O的位置关系(设p是一点，则pO是点到圆心的
距离)：
p在∵O外，pOr;p在∵O上，pO=r;p在∵O内，pO
2.圆是轴对称图形，其对称轴是随意一条过圆心的直线。圆
也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
的弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的弧。
4.在同圆或等圆中，假如2个圆心角，2个圆周角，2条弧，
2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分离相
等。
5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
7.不在同向来线上的3个点确定一个圆。
8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是
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三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切
圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。
9.直线AB与圆O的位置关系(设OpAB于p，则pO是AB到
圆心的距离)：
AB与∵O相离，pOr;AB与∵O相切，pO=r;AB与∵O相交，pO
10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端，并且垂直
于这条直径的直线，是这个圆的切线。
11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分离为R和r，且Rr，圆
心距为p)：
外离pR+r;外切p=R+r;相交R-r
三、有关圆的计算公式
1.圆的周长C=2r=d 2.圆的面积S=s=r 3.扇形弧长l=nr/180
4.扇形面积S=nr /360=rl/2 5.圆锥侧面积S=rl
四、圆的方程
1.圆的标准方程
在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标
准方程是
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
2.圆的普通方程
把圆的标准方程绽开,移项,合并同类项后,可得圆的普通方程
是
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
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和标准方程对照,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2
相关学问:圆的离心率e=0.在圆上随意一点的曲率半径都是r.
五、圆与直线的位置关系推断
链接:圆与直线的位置关系(一.5)
平面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系
推断普通办法是
研究如下2种状况:
(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],
代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程
f(x)=0.
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:
假如b^2-4ac0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交
假如b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切
假如b^2-4ac0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离
(2)假如B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直
于x轴)
将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1
当x=-C/Ax2时,直线与圆相离
当x1
当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切
圆的定理：
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1不在同向来线上的三点确定一个圆。
2垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两
条弧
推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4圆是定点的距离等于定长的点的集合
5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7同圆或等圆的半径相等
8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定
长为半径的圆
9定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦 相等，所对的弦的弦心距相等
10推论 在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条
弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组
量都相等
11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都
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等于它 的内对角
12①直线L和∵O相交 d
②直线L和∵O相切 d=r
③直线L和∵O相离 dr
13切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线
14切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
18圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角
19假如两个圆相切，那么切点一定在连心线上
20①两圆外离 dR+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-rr)
④两圆内切 d=R-r(Rr) ⑤两圆内含dr)
21定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
22定理 把圆分成n(n3):
∵依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
∵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形
是这个圆的外切正n边形
23定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两
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个圆是同心圆
24正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n
25定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等
的直角三角形
26正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
27正三角形面积3a/4 a表示边长
28假如在一个顶点周围有k个正n边形的角，因为这些角的
和应为 360，因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4
29弧长计算公式：L=n兀R/180
30扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2
31内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
32定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
33推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相
等的圆周角所对的弧也相等
34推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所
对的弦是直径
35弧长公式 l=ar a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式
s=1/2lr
学校数学学问点总结
学校数学学问点总结
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归一问题
在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标
准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
总量份数=1份数量
1份数量所占份数=所求几份的数量
另一总量(总量份数)=所求份数
先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1
买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱?
解
(1)买1支铅笔多少钱?0.65=0.12(元)
(2)买16支铅笔需要多少钱?0.1216=1.92(元)
列成综合算式0.6516=0.1216=1.92(元)
答：需要1.92元。
例2
3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天
耕地多少公顷?
解
(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?9033=10(公顷)
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(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?1056=300(公顷)
列成综合算式903356=1030=300(公顷)
答：5台拖拉机6天耕地300公顷。
例3
5辆汽车4次可以运输100吨钢材，假如用同样的7辆汽车
运输105吨钢材，需要运几次?
解
(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?10054=5(吨)
(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?57=35(吨)
(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?10535=3(次)
列成综合算式105(100547)=3(次)
答：需要运3次。
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归总问题
解题时，经常先找出总数量，然后再按照其它条件算出所求
的问题，叫归总问题。所谓总数量是指货物的总价、几小时(几天)
的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
1份数量份数=总量
总量1份数量=份数
总量另一份数=另一每份数量
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先求出总数量，再按照题意得出所求的数量。
例1
服装厂本来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪办法后，每套
衣服用布2.8米。本来做791套衣服的布，现在可以做多少套?
解
(1)这批布总共有多少米?3.2791=2531.2(米)
(2)现在可以做多少套?2531.22.8=904(套)
列成综合算式3.27912.8=904(套)
答：现在可以做904套。
例2
小华天天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明天天
读36页书，几天可以读完《红岩》?
解
(1)《红岩》这本书总共多少页?2412=288(页)
(2)小明几天可以读完《红岩》?28836=8(天)
列成综合算式241236=8(天)
答：小明8天可以读完《红岩》。
例3
食堂运来一批蔬菜，原方案天天吃50千克，30天渐渐消费
完这批蔬菜。后来按照大家的看法，天天比原方案多吃10千克，
这批蔬菜可以吃多少天?
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解
(1)这批蔬菜共有多少千克?5030=1500(千克)
(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500(50+10)=25(天)
列成综合算式5030(50+10)=150060=25(天)
答：这批蔬菜可以吃25天。
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和差问题
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用
题叫和差问题。
大数=(和+差)2
小数=(和-差)2
容易的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。
例1
甲乙两班共有同学98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多
少人?
解
甲班人数=(98+6)2=52(人)
乙班人数=(98-6)2=46(人)
答：甲班有52人，乙班有46人。
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例2
长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形
的面积。
解
长=(18+2)2=10(厘米)
宽=(18-2)2=8(厘米)
长方形的面积=108=80(平方厘米)
答：长方形的面积为80平方厘米。
例3
有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重
30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
解
甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多
(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知
甲袋化肥分量=(22+2)2=12(千克)
丙袋化肥分量=(22-2)2=10(千克)
乙袋化肥分量=32-12=20(千克)
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重
10千克。
例4
甲乙两车本来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，
结果甲车比乙车还多3筐，两车本来各装苹果多少筐?
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解
从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，这
说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(142+3)，甲与乙的
和是97，因此甲车筐数=(97+142+3)2=64(筐)
乙车筐数=97-64=33(筐)
答：甲车本来装苹果64筐，乙车本来装苹果33筐。
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和倍问题
已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分
之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
总和(几倍+1)=较小的数
总和-较小的数=较大的数
较小的数几倍=较大的数
容易的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1
果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，
求杏树、桃树各多少棵?
解
(1)杏树有多少棵?248(3+1)=62(棵)
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(2)桃树有多少棵?623=186(棵)
答：杏树有62棵，桃树有186棵。
例2
东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4
倍，求两库各存粮多少吨?
解
(1)西库存粮数=480(1.4+1)=200(吨)
(2)东库存粮数=480-200=280(吨)
答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。
例3
甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若天天从甲站开往乙
站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2
倍?
解
天天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于
天天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1
倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就
相当于(2+1)倍，
那么，几天以后甲站的车辆数削减为
(52+32)(2+1)=28(辆)
所求天数为(52-28)(28-24)=6(天)
答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
21
Word文档
例4
甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多
6，求三数各是多少?
解
乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
由于乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的
2倍;
又由于丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3
倍;
这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，
甲数=(170+4-6)(1+2+3)=28
乙数=282-4=52
丙数=283+6=90
答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。
5
差倍问题
已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分
之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
两个数的差(几倍-1)=较小的数
较小的数几倍=较大的数
22
Word文档
容易的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1
果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。
求杏树、桃树各多少棵?
解
(1)杏树有多少棵?124(3-1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?623=186(棵)
答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
例2
爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，
求父子二人今年各是多少岁?
解
(1)儿子年龄=27(4-1)=9(岁)
(2)爸爸年龄=94=36(岁)
答：父子二人今年的年龄分离是36岁和9岁。
例3
商场改革经营管理方法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多
12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利
各是多少万元?
解
假如把上月盈利作为1倍量，则(30-12)万元就相当于上月盈
23
Word文档
利的(2-1)倍，因此
上月盈利=(30-12)(2-1)=18(万元)
本月盈利=18+30=48(万元)
答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4
粮库有94吨小麦和138吨玉米，假如天天运出小麦和玉米各
是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?
解
因为天天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差
等于本来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则
几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，
因此
剩下的小麦数量=(138-94)(3-1)=22(吨)
运出的小麦数量=94-22=72(吨)
运粮的天数=729=8(天)
答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6
倍比问题
有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解
题时先求出这个倍数，再用倍比的办法算出要求的数，这类应用
题叫做倍比问题。
24
Word文档
总量一个数量=倍数
另一个数量倍数=另一总量
先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1
100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，
可以榨油多少?
解
(1)3700千克是100千克的多少倍?3700100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?4037=1480(千克)
列成综合算式40(3700100)=1480(千克)
答：可以榨油1480千克。
例2
今年植树节这天，某学校300名师生共植树400棵，照这样
计算，全县48000名师生共植树多少棵?
解
(1)48000名是300名的多少倍?48000300=160(倍)
(2)共植树多少棵?400160=64000(棵)
列成综合算式400(48000300)=64000(棵)
答：全县48000名师生共植树64000棵。
例3
25
Word文档
凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111
元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果
园共收入多少元?
解
(1)800亩是4亩的几倍?8004=200(倍)
(2)800亩收入多少元?11111200=2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍?16000800=20(倍)
(4)16000亩收入多少元?222220220=44444000(元)
答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园
共收入44444000元。
7
相遇问题
两个运动的物体同时由两地动身相向而行，在途中相遇。这
类应用题叫做相遇问题。
相遇时光=总路程(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)相遇时光
容易的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1
南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船
26
Word文档
相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每
小时行21千米，经过几小时两船相遇?
解
392(28+21)=8(小时)
答：经过8小时两船相遇。
例2
小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟
跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时动身，反向而
跑，那么，二人从动身到其次次相遇需多长时光?
解
其次次相遇可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为4002
相遇时光=(4002)(5+3)=100(秒)
答：二人从动身到其次次相遇需100秒时光。
例3
甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，
乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
解
两人在距中点3千米处相遇是正确理解本题题意的关键。从
题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3
千米，就是说甲比乙多走的路程是(32)千米，因此，
相遇时光=(32)(15-13)=3(小时)
27
Word文档
两地距离=(15+13)3=84(千米)
答：两地距离是84千米。
8
追及问题
两个运动物体在不同地点同时动身(或者在同一地点而不是
同时动身，或者在不同地点又不是同时动身)作同向运动，在后面
的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时光
之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
追准时间=追及路程(迅速-慢速)
追及路程=(迅速-慢速)追准时间
容易的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1
好马天天走120千米，劣马天天走75千米，劣马先走12天，
好马几天能追上劣马?
解
(1)劣马先走12天能走多少千米?7512=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?900(120-75)=20(天)
列成综合算式7512(120-75)=90045=20(天)
答：好马20天能追上劣马。
28
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例2
小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，
他们从同一地点同时动身，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑
了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小
亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追准时间，即小明跑
500米所用的时光。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用
[40(500200)]秒，所以小亮的速度是
(500-200)[40(500200)]
=300100=3(米)
答：小亮的速度是每秒3米。
例3
我人民解放军追击一股逃跑的敌人，敌人在下午16点开头从
甲地以每小时10千米的速度逃窜，解放军在晚上22点接到命令，
以每小时30千米的速度开头从乙地追击。已知甲乙两地相距60
千米，问解放军几个小时可以追上敌人?
解
敌人逃窜时光与解放军追击时光的时差是(22-16)小时，这段
时光敌人逃窜的路程是[10(22-6)]千米，甲乙两地相距60千米。由
此推知
追准时间=[10(22-6)+60](30-10)
29
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=22022=11(小时)
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4
一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时
从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米
处相遇，求甲乙两站的距离。
解
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知
客车落后于货车(162)千米，客车追上货车的时光就是前面所说的
相遇时光，
这个时光为162(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)4=352(千米)
列成综合算式(48+40)[162(48-40)]
=884
=352(千米)
答：甲乙两站的距离是352千米。
9
植树问题
按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已
知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
30
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线形植树棵数=距离棵距+1
环形植树棵数=距离棵距
方形植树棵数=距离棵距-4
三角形植树棵数=距离棵距-3
面积植树棵数=面积(棵距行距)
先弄清晰植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1
一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要
栽多少棵垂柳?
解
1362+1=68+1=69(棵)
答：一共要栽69棵垂柳。
例2
一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，
一共能栽多少棵白杨树?
解
4004=100(棵)
答：一共能栽100棵白杨树。
例3
一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照
明灯，一共可以安装多少个照明灯?
31
Word文档
解
22048-4=110-4=106(个)
答：一共可以安装106个照明灯。
例4
给一个面积为96平方米的住所铺设地板砖，所用地板砖的长
和宽分离是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖?
解
96(0.60.4)=960.24=400(块)
答：至少需要400块地板砖。
例5
一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50
米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏
路灯?
解
(1)桥的一边有多少个电杆?50050+1=11(个)
(2)桥的两边有多少个电杆?112=22(个)
(3)大桥两边可安装多少盏路灯?222=44(盏)
答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。
10
年龄问题
这类问题是按照题目的内容而得名，它的主要特点是两人的
32
Word文档
年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在
发生变化。
年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其
与差倍问题的解题思路是全都的，要紧紧抓住年龄差不变这个特
点。
可以利用差倍问题的解题思路和办法。
例1
爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几
倍?明年呢?
解
355=7(倍)
(35+1)(5+1)=6(倍)
答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，
明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
例2
母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的
4倍?
解
(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁)
(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30(4-1)-7=3(年)
33
Word文档
列成综合算式(37-7)(4-1)-7=3(年)
答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
例3
甲对乙说：当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁。
乙对甲说：当我的岁数未来是你现在的岁数时，你将61岁。求甲
乙现在的岁数各是多少?
解
这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、未来某一年。列
表分析：
过去某一年 今年 未来某一年
甲 □岁 ∵岁 61岁
乙 4岁 □岁 ∵岁
表中两个□表示同一个数，两个∵表示同一个数。
由于两个人的年龄差总相等：□-4=∵-□=61-∵，也就是4，□，∵，
61成等差数列，所以，61应当比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为(61-4)3=19(岁)
甲今年的岁数为∵=61-19=42(岁)
乙今年的岁数为□=42-19=23(岁)
答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
11
行船问题
34
Word文档
行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船
速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航
行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速
之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
(顺水速度+逆水速度)2=船速
(顺水速度-逆水速度)2=水速
顺水速=船速2-逆水速=逆水速+水速2
逆水速=船速2-顺水速=顺水速-水速2
大多数状况可以直接利用数量关系的公式。
例1
一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千
米，这只船逆水行这段路程需用几小时?
解
由条件知，顺水速=船速+水速=3208，而水速为每小时15千
米，所以，船速为每小时3208-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时光为32022=32(小时)
答：这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2
甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆
35
Word文档
水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时光?
解
由题意得甲船速+水速=36010=36
甲船速-水速=36018=20
可见(36-20)相当于水速的2倍，
所以，水速为每小时(36-20)2=8(千米)
又由于，乙船速-水速=36015，
所以，乙船速为36015+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以，乙船顺水航行360千米需要
36040=9(小时)
答：乙船返回原地需要9小时。
12
列车问题
这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注重列车车身的
长度。
火车过桥：过桥时光=(车长+桥长)车速
火车追及：追准时间=(甲车长+乙车长+距离)
(甲车速-乙车速)
火车相遇：相遇时光=(甲车长+乙车长+距离)
36
Word文档
(甲车速+乙车速)
大多数状况可以直接利用数量关系的公式。
例1
一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大
桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少
米?
解
火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
(1)火车3分钟行多少米?9003=2700(米)
(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)
列成综合算式9003-2400=300(米)
答：这列火车长300米。
例2
一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了
2分5秒钟时光，求大桥的长度是多少米?
解
火车过桥所用的时光是2分5秒=125秒，所走的路程是(8125)
米，这段路程就是(200米+桥长)，所以，桥长为
8125-200=800(米)
答：大桥的长度是800米。
例3
37
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一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140
米的快车以每秒22米的速度在后面追逐，求快车从追上到追过慢
车需要多长时光?
解
从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢
车每秒多行(22-17)米，因此，所求的时光为
(225+140)(22-17)=73(秒)
答：需要73秒。
例4
一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工
人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要
多少时光?
解
假如把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇
问题。
150(22+3)=6(秒)
答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
13
时钟问题
就是讨论钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针
垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题
38
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相类比。
分针的速度是时针的12倍，
二者的速度差为11/12。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
变通为追及问题后可以直接利用公式。
例1
从时针指向4点开头，再经过多少分钟时针正巧与分针重合?
解
钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格;
时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针
多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距
20格。所以
分针追上时针的时光为20(1-1/12)22(分)
答：再经过22分钟时针正巧与分针重合。
例2
四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角?
解
钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候
相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种状况)。四点整的时
候，分针在时针后(54)格，假如分针在时针后与它成直角，那么分
39
Word文档
针就要比时针多走(54-15)格，假如分针在时针前与它成直角，那
么分针就要比时针多走(54+15)格。再按照1分钟分针比时针多走
(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时光。
(54-15)(1-1/12)6(分)
(54+15)(1-1/12)38(分)
答：4点06分及4点38分时两针成直角。
例3
六点与七点之间什么时候时针与分针重合?
解
六点整的时候，分针在时针后(56)格，分针要与时针重合，就
得追上时针。这实际上是一个追及问题。
(56)(1-1/12)33(分)
答：6点33分的时候分针与时针重合。
14
盈亏问题
按照一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有
余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或
物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
普通地说，在两次分配中，假如一次盈，一次亏，则有：
参与分配总人数=(盈+亏)分配差
40
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假如两次都盈或都亏，则有：
参与分配总人数=(大盈-小盈)分配差
参与分配总人数=(大亏-小亏)分配差
大多数状况可以直接利用数量关系的公式。
例1
给幼儿园小伴侣分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4
个就少1个。问有多少小伴侣?有多少个苹果?
解
根据参与分配的总人数=(盈+亏)分配差的数量关系：
(1)有小伴侣多少人?(11+1)(4-3)=12(人)
(2)有多少个苹果?312+11=47(个)
答：有小伴侣12人，有47个苹果。
例2
修一条马路，假如天天修260米，修彻低长就得延伸8天;假
如天天修300米，修彻低长仍得延伸4天。这条路全长多少米?
解
题中原定完成任务的天数，就相当于参与分配的总人数，根
据参与分配的总人数=(大亏-小亏)分配差的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
(2608-3004)(300-260)=22(天)
这条路全长为300(22+4)=7800(米)
41
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答：这条路全长7800米。
例3
小学组织踏青，假如每辆车坐40人，就余下30人;假如每辆
车坐45人，就刚好坐完。问有多少车?多少人?
解
本题中的车辆数就相当于参与分配的总人数，于是就有
(1)有多少车?(30-0)(45-40)=6(辆)
(2)有多少人?406+30=270(人)
答：有6辆车，有270人。
15
工程问题
工程问题主要讨论工作量、工作效率和工作时光三者之间的
关系。这类问题在已知条件中，经常不给出工作量的详细数量，
只提出一项工程、一块土地、一条水渠、一件工作等，在解题时，
经常用单位1表示工作总量。
解答工程问题的关键是把工作总量看作1，这样，工作效率
就是工作时光的倒数(它表示单位时光内完成工作总量的几分之
几)，进而就可以按照工作量、工作效率、工作时光三者之间的关
系列出算式。
工作量=工作效率工作时光
42
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工作时光=工作量工作效率
工作时光=总工作量(甲工作效率+乙工作效率)
变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1
一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15
天完成，现在两队合作，需要几天完成?
解
题中的一项工程是工作总量，因为没有给出这项工程的详细
数量，因此，把此项工程看作单位1。因为甲队独做需10天完成，
那么天天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成，天天完
成这项工程的1/15;两队合做，天天可以完成这项工程的
(1/10+1/15)。
由此可以列出算式：1(1/10+1/15)=11/6=6(天)
答：两队合做需要6天完成。
例2
一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两
人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?
解一
设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，
甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。
由于二人合做需要[1(1/6+1/8)]小时，这个时光内，甲比乙多做24
43
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个零件，所以
(1)每小时甲比乙多做多少零件?
24[1(1/6+1/8)]=7(个)
(2)这批零件共有多少个?
7(1/6-1/8)=168(个)
答：这批零件共有168个。
解二
上面这道题还可以用另一种办法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∵1/8=4∵3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7
所以，这批零件共有241/7=168(个)
例3
一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独
做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还
需几小时才干完成?
解
必需先求出各人每小时的工作效率。假如能把效率用整数表
示，就会给计算带来便利，因此，我们设总工作量为12、10、和
15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率
分离是
6012=56010=66015=4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
44
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(60-52)(6+4)=5(小时)
答：还需要5小时才干完成。
例4
一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同
样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才干注满水
池;当打开2个进水管时，需要15小时才干注满水池;现在要用2
小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?
解：
注(排)水问题是一类特别的工程问题。往水池注水或从水池排
水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时光内水的流量
就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量
之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及
总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由
条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5
小时注水量为(145)，2个进水管15小时注水量为(1215)，从而可
知
每小时的排水量为(1215-145)(15-5)=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为145-15=15
又由于在2小时内，每个进水管的注水量为12，
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所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管?(15+12)(12)
=8.59(个)
答：至少需要9个进水管。
16
正反比例问题
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如
这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两
种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例
应用题是正比例意义和解比例等学问的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如
这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例
的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意
义和解比例等学问的综合运用。
推断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型
应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
解决这类问题的重要办法是：把分率(倍数)转化为比，应用比
和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
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例1
修一条马路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的
变成未修的1/2，求这条马路总长是多少米?
解
由条件知，马路总长不变。
原已修长度∵总长度=1∵(1+3)=1∵4=3∵12
现已修长度∵总长度=1∵(1+2)=1∵3=4∵12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)
份，从而知马路总长为300(4-3)12=3600(米)
答：这条马路总长3600米。
例2
张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以
做几道应用题?
解
做题效率一定，做题数量与做题时光成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∵4=91∵X
28X=914X=91428X=13
答：91分钟可以做13道应用题。
例3
孙亮看《十万个为什么》这本书，天天看24页，15天看完，
假如天天看36页，几天就可以看完?
解
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书的页数一定，天天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完，就有24∵36=X∵15
36X=2415X=10
答：10天就可以看完。
17
按比例分配问题
所谓按比例分配，就是把一个数根据一定的比分成若干份。
这类题的已知条件普通有两种形式：一是用比或连比的形式反映
各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
从条件看，已知总量和几个部重量的比;从问题看，求几个部
重量各是多少。总份数=比的前后项之和
先把各部重量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后
项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分
母，比的前后项分离作分子)，再根据求一个数的几分之几是多少
的计算办法，分离求出各部重量的值。
例1
小学把植树560棵的任务按人数分配给五班级三个班，已知
一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?
解
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总份数为47+48+45=140
一班植树56047/140=188(棵)
二班植树56048/140=192(棵)
三班植树56045/140=180(棵)
答：一、二、三班分离植树188棵、192棵、180棵。
例2
用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是
3∵4∵5。三条边的长各是多少厘米?
解
3+4+5=12603/12=15(厘米)
604/12=20(厘米)
605/12=25(厘米)
答：三角形三条边的长分离是15厘米、20厘米、25厘米。
例3
先前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，
大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，
并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
解
假如用总数乘以分率的办法解答，明显得不到符合题意的整
数解。假如用按比例分配的办法解，则很简单得到
1/2∵1/3∵1/9=9∵6∵2
9+6+2=17179/17=9
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176/17=6172/17=2
答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2
只羊。
例4
某工厂第一、二、三车间人数之比为8∵12∵21，第一车间比
其次车间少80人，三个车间共多少人?
解
80(12-8)(8+12+21)=820(人)
答：三个车间一共820人。
18
百分数问题
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是
一种特别的分数。分数经常可以通分、约分，而百分数则无需;分
数既可以表示率，也可以表示量，而百分数只能表示率;分数的分
子、分母必需是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一
个特地的记号%。
在实际中和常用到百分点这个概念，一个百分点就是1%，两
个百分点就是2%。
把握百分数、标准量比较量三者之间的数量关系：
百分数=比较量标准量
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标准量=比较量百分数
普通有三种基本类型：
(1)求一个数是另一个数的百分之几;
(2)已知一个数，求它的百分之几是多少;
(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
例1
仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的
与剩下的各占原分量的百分之几?
解
(1)用去的占720(720+6480)=10%
(2)剩下的占6480(720+6480)=90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2
红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比
女职工少百分之几?
解
本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比
较量所以(525-420)525=0.2=20%
或者1-420525=0.2=20%
答：男职工人数比女职工少20%。
例3
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红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职
工人数多百分之几?
解
本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为
比较量，因此
(525-420)420=0.25=25%
或者525420-1=0.25=25%
答：女职工人数比男职工多25%。
例4
红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工
各占全厂职工总数的百分之几?
解
(1)男职工占420(420+525)=0.444=44.4%
(2)女职工占525(420+525)=0.556=55.6%
答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。
19
牛吃草问题
牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫牛顿问题。这
类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
草总量=原有草量+草天天生长量天数
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解这类题的关键是求出草天天的生长量。
例1
一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把
草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?
解
草是匀称生长的，所以，草总量=原有草量+草天天生长量天
数。求多少头牛5天可以把草吃完，就是说5天内的草总量要5
天吃完的话，得有多少头牛?设每头牛天天吃草量为1，按以下步
骤解答：
(1)求草天天的生长量
由于，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，
即(11020);另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天
内的生长量，所以
11020=原有草量+20天内生长量
同理11510=原有草量+10天内生长量
由此可知(20-10)天内草的生长量为
11020-11510=50
因此，草天天的生长量为50(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天内总草量-10内生长量=11510-510=100
(3)求5天内草总量
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5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+55=125
(4)求多少头牛5天吃完草
由于每头牛天天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数1255=25(头)
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例2
一只船有一个漏洞，水以匀称速度进入船内，发觉漏洞时已
经进了一些水。假如有12个人淘水，3小时可以淘完;假如惟独5
人淘
水，要10小时才干淘完。求17人几小时可以淘完?
解
这是一道变相的牛吃草问题。与上题不同的是，最后一问给
出了人数(相当于牛数)，求时光。设每人每小时淘水量为1，按以
下步骤计算：
(1)求每小时进水量
由于，3小时内的总水量=1123=原有水量+3小时进水量
10小时内的总水量=1510=原有水量+10小时进水量
所以，(10-3)小时内的进水量为1510-1123=14
因此，每小时的进水量为14(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1123-3小时进水量=36-23=30
(3)求17人几小时淘完
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17人每小时淘水量为17，由于每小时漏进水为2，所以实际
上船中每小时削减的水量为(17-2)，所以17人淘完水的时光是
30(17-2)=2(小时)
答：17人2小时可以淘完水。
20
鸡兔同笼问题
这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少
只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已
知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做
其次鸡兔同笼问题。
第一鸡兔同笼问题：
假设一致是鸡，则有
兔数=(实际脚数-2鸡兔总数)(4-2)
假设一致是兔，则有
鸡数=(4鸡兔总数-实际脚数)(4-2)
其次鸡兔同笼问题：
假设一致是鸡，则有
兔数=(2鸡兔总数-鸡与兔脚之差)(4+2)
假设一致是兔，则有
鸡数=(4鸡兔总数+鸡与兔脚之差)(4+2)
55
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解答此类题目普通都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以
假设都是兔。假如先假设都是鸡，然后以兔换鸡;假如先假设都是
兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置
换，使问题得到解决。
例1
长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数
共有九十四。请你认真算一算，多少兔子多少鸡?
解
假设35只全为兔，则
鸡数=(435-94)(4-2)=23(只)
兔数=35-23=12(只)
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数=(94-235)(4-2)=12(只)
鸡数=35-12=23(只)
答：有鸡23只，有兔12只。
例2
2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共
16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩?
解
此题实际上是改头换面的鸡兔同笼问题。每亩菠菜施肥(12)
千克与每只鸡有两个脚相对应，每亩白菜施肥(35)千克与每只兔有
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4只脚相对应，16亩与鸡兔总数相对应，9千克与鸡兔总脚数相
对应。假设16亩一致是菠菜，则有
白菜亩数=(9-1216)(35-12)=10(亩)
答：白菜地有10亩。
例3
李教师用69元给小学买作业本和日记本共45本，作业本每
本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?
解
此题可以变通为鸡兔同笼问题。假设45本一致是日记本，则
有
作业本数=(69-0.7045)(3.20-0.70)=15(本)
日记本数=45-15=30(本)
答：作业本有15本，日记本有30本。
例4
(其次鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80
只，问鸡与兔各多少只?
解
假设100只一致是鸡，则有
兔数=(2100-80)(4+2)=20(只)
鸡数=100-20=80(只)
答：有鸡80只，有兔20只。
例5
57
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有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3
人吃1个馍，问大小和尚各多少人?
解
假设全为大和尚，则共吃馍(3100)个，比实际多吃(3100-100)
个，这是由于把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总
数100不变的状况下，以小换大，一个小和尚换掉一个大和尚可
削减馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚
(3100-100)(3-1/3)=75(人)
共有大和尚100-75=25(人)
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
21
方阵问题
将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，按照已知条
件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
(1)方阵每边人数与四面人数的关系：
四面人数=(每边人数-1)4
每边人数=四面人数4+1
(2)方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数=每边人数每边人数
空心方阵：总人数=(外边人数)?-(内边人数)?
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内边人数=外边人数-层数2
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数=(每边人数-层数)层数4
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数
自乘;空心方阵的变化较多，其解答办法应按照详细状况确定。
例1
在育才学校的运动会上，举行体操表演的学生排成方阵，每
行22人，参与体操表演的学生一共有多少人?
解
2222=484(人)
答：参与体操表演的学生一共有484人。
例2
有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解
10-(10-32)?
=84(人)
答：全方阵84人。
例3
有一队同学，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内
层人数是28人，这队同学共多少人?
解
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(1)中空方阵外层每边人数=524+1=14(人)
(2)中空方阵内层每边人数=284-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=1414-66=160(人)
答：这队同学共160人。
例4
一堆棋子，罗列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个
方向各增强一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个?
解
(1)纵横方向各增强一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增强一层后正方形每边棋子数=(13+1)2=7(只)
(3)原有棋子数=77-9=40(只)
答：棋子有40只。
例5
有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前
一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?
解
第一种办法：1+2+3+4+5=15(棵)
其次种办法：(5+1)52=15(棵)
答：这个三角形树林一共有15棵树。
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问题,小时,集合,时光,关系
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