2024年3月13日发(作者：小学期末数学试卷江苏东海)

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秒杀高考数学题型之函数的零点

函数零点存在定理：若函数

yf(x)

在区间

a,b

上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)f(b)0

，那么函数

yf(x)

在区间

a,b

内存在零点，即存在

c

a,b

,

使得

f(c)0

。

深层理解：1.若

f(x)

在

a,b

上内单调，且

f(a)f(b)0

，则

f(x)

在

a,b

上有且只有一个零点

。

2.若

f(a)f(b)0

，则

f(x)

在

a,b

上不一定有零点。若

f(x)

在

a,b

上内单调，且

f(a)f(b)0

，

则

f(x)

在

a,b

上一定没有零点

。

【秒杀题型一】：函数零点所在区间确定（一般情况下只考查选择题）。

『秒杀策略』：一般情况下只需验证四个选项中给出区间两个端点函数值是否异号。

1.(高考题)函数

f

(

x

)

2

x

3

x

的零点所在的一个区间是 ( )

A.

2,1

B.

1,0

C.

0,1

D.

1,2

【解析】：

f(x)

单调递增，且

f(1)f(0)0

，选B。

x

2.(高考题)函数

f(x)

=

ex

2

的零点所在的一个区间是 ( )

A.

2,1

B.

1,0

C.

0,1

D.

1,2

【解析】：

f(x)

单调递增，且

f(0)f(1)0

，选C。

【秒杀题型二】：函数零点个数确定。

【题型1】：单一函数分析法。

『秒杀策略』：若

f(x)

在

a,b

上单调，且

f(a)f(b)0

，则

f(x)

有且只有一个零点，若

f(a)f(b)0

，

则

f(x)

没有零点，逆过来亦成立。

1.(高考题)函数

f

(

x

)

2

x

2

在区间

0,1

内的零点个数是 ( )

x3

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】：

f(x)

单调递增，且

f(0)f(1)0

，选B。

2.(高考题)函数

f(x)x()

x

的零点个数为 ( )

1

2

1

2

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A.0 B.1 C.2 D.3

1

【解析】：

f(x)

单调递增，且

f(0)f(1)0

，选B。亦可分解为

yx

与

y



两个函数，有一个

2

交点。

3.(高考题)已知

x

0

是函数

f(x)2

x

1

2

x

1

的一个零点，若

x

1

1,x

0

,x

2

x

0

,

，则 ( )

1x

A.

f(x

1

)0,f(x

2

)0

B.

f(x

1

)0,f(x

2

)0

C.

f(x

1

)0,f(x

2

)0

D.

f(x

1

)0,f(x

2

)0

【解析】：

f(x)

单调递增，且

f

(

x

0

)

0

，

f(x

1

)0,f(x

2

)0

，选B。

【题型2】：分解函数分析法。

『秒杀策略』：分解函数

yf(x)

(设

f(x)g(x)h(x)

)零点(个数)

函数

y

g(x)

与函数

yh(x)

交

点(个数)。

原测：分解后的两个函数都容易画出图象。

1.(高考题)函数

f(x)2

x

|log

0.5

x|1

的零点个数为 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

1



1

【解析】：可分解为



log

0.5

x

，而

y



与

y

log

0.5

x

有两个交点，选B。

2



2

【秒杀题型三】：已知函数零点个数确定参数范围。

『秒杀策略』：分解函数

yf(x)

(设

f(x)g(x)h(x)

）

g(x)h(x)

。

原测：参数含在简单的函数中。

xx

e

x

,x0

1.(2018年新课标全国卷I9)已知函数

f(x)

，

g(x)f(x)xa

，若

g(x)

存在2个零点，

lnx,x0

则

a

的取值范围是 ( )

A

.

1,0





B

.

0，

C

.

1,

D

.

1，

【解析】：

f(x)xa

，转化为

yf(x)

与

yxa

有两个交点，选C。


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