2024年4月8日发(作者：堂堂练九下数学试卷)
纳维-斯托克斯存在性与光滑性
纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维－斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是
美国克雷数学研究所在2000年提出的7个千禧年大奖难题中的一个问题。
纳维－斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体）的运动。纳维
－斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维－斯托克斯方程解的理论研究仍
然不足，尤其纳维－斯托克斯方程的解常会包括紊流。虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊
流仍是未解决的物理学问题之一。
许多纳维－斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。例如数学家就尚未证明在三维坐标，特定
的初始条件下，纳维－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这様的解存在时，其动能
有其上下界，这就是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性”问题。
由于了解纳维－斯托克斯方程被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所在
2000年5月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关资讯的人，而不是给第一个创建紊流
理论的人。基于上述的想法，克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题：
证明或反证以下的叙述
：
在三维的空间及时间下，给定一起始的速度场，存在一矢量的速度场及标量的压强场，为纳维－斯托克斯
方程的解，其中速度场及压强场需满足光滑及全局定义的特性。
目录
1 纳维－斯托克斯方程
2 二种条件：无边界及周期性的空间
3 在整个空间下问题的说明
o
3.1 假设及无穷远处特性
o
3.2 在整个空间中的千禧年大奖难题描述
4 周期性问题的说明
o
4.1 假设
o
4.2 周期性的千禧年大奖难题描述
5 部分结果
6 脚注
7 参考资料
8 外部链接
1
纳维－斯托克斯方程
以数学的观点来看，纳维－斯托克斯方程是一个针对任意维度矢量场的非线性偏微分方程。
在物理及工程的观点看，纳维－斯托克斯方程是一个用连续介质力学描述液体或非稀疏气体运动
的方程组。此方程是以牛顿第二运动定律为基础，考虑一黏滞性牛顿流体的所有受力，包括压强、黏
滞力及外界的体积力。
由于克雷数学研究所提出的问题是以三维空间下，不可压缩的匀质流体为准，以下也只考虑此条
件下的纳维－斯托克斯方程。
令为描述流体速度的三维矢量场，且为流体压强
[note 1]
。纳维－斯托克斯方程为：
其中
为动黏滞度
为外力
为梯度运算子
为拉普拉斯算子，也可写为
上述方程是矢量方程，可以分解为三个标量的方程，将速度及外力分解为三个坐标下的分量：
则纳维－斯托克斯方程可写成以下的形式，：
其中的未知数有速度及压强。由于只考虑三维空间，因此有三个方程及四个未知数，
分别是速度的三个分量及压强，还需要一个方程才能解出所有的未知数。这个新增的方程是描述流体
不可压缩性的连续性方程：
由于最后一个方程，纳维－斯托克斯方程解的速度会是无散度的矢量函数。对于在均匀介质中的无散
度流，其密度及动黏滞度为定值。
2
二种条件：无边界及周期性的空间
克雷数学研究所提出的纳维-斯托克斯问题，有二种不同的条件。原始问题是在整个空间中，
需要有关初始条件及解随位置变化的额外资讯。为了不要考虑初始条件及解在无穷远处的特性，纳维-
斯托克斯方程也可以设定在一个周期性的空间中，因此不需考虑方程在整个空间
一个3维环面下的特性。以下会分别处理这二种条件下的问题。
，只需考虑方程在
3
在整个空间下问题的说明
3.1
假设及无穷远处特性
初始条件假设是光滑及无散度的函数，使得对于每一个多重指标及
（此常数会依及
K
而变化）使得
，存在一常数
对于所有
外力假设也是一个光滑函数，满足一个非常类似的不等式（此时多重指标也包括时间的导数）：
for all
考虑其实际的物理意义，此条件下的解需是光滑函数，当
以下的假设：
时不会快速增加。更精准地说，有
1.
2.存在一常数 使得 对于所有的
条件1表示此函数为光滑、全局定义的函数，条件2表示此解的动能在全局中有上下界。
3.2
在整个空间中的千禧年大奖难题描述
(A) 在空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性
令。对于所有符合上述假设的初始条件
及压强
，纳维-斯托克斯方程存在一光滑及全局
定义的解，就是存在一速度矢量满足上述的条件1及2。
(B) 下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证
存在一初始条件及外力使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件1及2。
4
周期性问题的说明
4.1
假设
此处的函数需满足对于位置变量的周期性，其周期为1。更精准地说，令为
j
方向的单位矢量：
则对位置变量有周期性也就表示对于任何的，以下的式子均成立：
因此方程不是在整个空间，而是在一商空间 ，也就是一个3维环面：
有上述的说明后，可以说明需要的假设。初始条件
一个光滑函数。满足以下的条件：
3.
假设是一个光滑及无散度的函数，外力也是
4. 存在一常数使得对于所有
和之前的条件类似，条件3表示函数是光滑及全局定义，条件4表示此解的动能在全局中有上下界。
4.2
周期性的千禧年大奖难题描述
(C)空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性
令，对于任何满足上述假设的初始条件
及压强
，纳维-斯托克斯方程存在一光滑及全局
定义的解，就是存在一速度矢量满足上述的条件3及条件4。
(D)下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证
存在一初始条件及外力使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件3及条件4。
5
部分结果
1.二维空间下的纳维-斯托克斯问题已在1960年代得证：存在光滑及全局定义解的解。
2.在初速
3.若给定一初速
相当小时此问题也已得证：存在光滑及全局定义解的解。
，且存在一有限、依而变动的时间
T
，使得在的范围内，
纳维-斯托克斯方程有平滑的解，还无法确定在时间超过
T
后，是否仍存在平滑的解。
4.数学家让·勒雷在1934年时证明了所谓纳维-斯托克斯问题弱解的存在，此解在平均值上满足
纳维-斯托克斯问题，但无法在每一点上满足。
6
脚注
1.更精准地说，是流体压强除以流体密度后的商，对于不可压缩的匀质流体，密度为一定值。
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方程,存在,条件,问题,满足
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