2009年江苏省高考数学试卷及详解

2024年4月13日发(作者：海南高考数学试卷打印)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

1

n

1

n

参考公式：样本数据

x

1

,x

2

,Lx

n

的方差

s



x

i

x

，其中

x



x

i

.

n

i1

n

i1

2



2

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置

上．

1．若复数

z

1

429i,z

2

69i

其中

i

是虚数单位，则复数

(z

1

z

2

)i

的实部

为 ．

2．已知向量

a

和向量

b

的夹角为

30

，

|a|2,|b|3

，则向量

a

和向量

b

的数量积

o

ab

= ．

3．函数

f(x)x15x33x6

的单调减区间为 ．

4．函数

yAsin(



x



)

（

A,



,



为常数，

A0,



0

）在闭区间







,0



上的图象如

图所示，则



= ．

32

5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，若从

中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0．3m的概率为 ．

6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10

次，投中的次数如下表：

学生

甲班

乙班

1号

6

6

2号

7

7

2

3号

7

6

4号

8

7

5号

7

9

则以上两组数据的方差中较小的一个为

s

= ．

7．右图是一个算法的流程图，最后输出的

W

．

1

8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空

间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ．

9．在平面直角坐标系

xoy

中，点P在曲线

C:yx10x3

上，且在第二象限内，已知

3

曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ．

10．已知

a

51

x

，函数

f(x)a

，若实数

m

、

n

满足

f(m)f(n)

，则

m

、

n

的大

2

小关系为 ．

11．已知集合

A



x|log

2

x2



,B(,a)

，若

AB

则实数

a

的取值范围是

(c,)

，

其中

c

=

12．设



和



为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若



内的两条相交直线分别平行于



内的两条直线，则



平行于



；

（2）若



外一条直线

l

与



内的一条直线平行，则

l

和



平行；

（3）设



和



相交于直线

l

，若



内有一条直线垂直于

l

，则



和



垂直；

（4）直线

l

与



垂直的充分必要条件是

l

与



内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的

序号 （写出所有真命题的序号）

x

2

y

2

13．如图，在平面直角坐标系

xoy

中，

A

1

,A

2

,B

1

,B

2

为椭圆

2



2

1(ab0)

的四个

ab

顶点，F为其右焦点，直线

A

1

B

2

与直线

B

1

F

相交于点T，线段

OT

与椭圆的交点

M

恰为线

段

OT

的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．

2

14．设



a

n



是公比为

q

的等比数列，

q1

，令

b

n

a

n

1(n,2,)

，若数列



b

n



有连续

四项在集合



53,23,19,37,82



中，则

6q

= ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明或演算步骤．

15．（本小题满分14分）设向量

a(4cos,sin),b(sin,4cos),c(cos,4sin)

（1）若

a

与

b2c

垂直，求

tan()

的值；（2）求

bc

的最大值;

（3）若

tantan16

，求证：

a

∥

b

16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，E、F分别是

A

1

B

、

A

1

C

的

中点，点D在

B

1

C

1

上，

A

1

DB

1

C

．求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）平面

A

1

FD



平面

BB

1

C

1

C

．．

17．（本小题满分14分）设



a

n



是公差不为零的等差数列，

S

n

为其前n项和，满足

a

2

a

3

a

4

a

5

,S

7

7

．（1）求数列



a

n



的通项公式及前n项和

S

n

；（2）试求所

2222

有的正整数m，使得

a

m

a

m1

为数列



a

n



中的项．

a

m2

3

18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系

xoy

中，已知圆

C

1

:(x3)(y1)4

和圆

22

C

2

:(x4)

2

(y5)

2

4

．

（1）若直线l过点

A(4,0)

，且被圆

C

1

截得的弦长为

23

，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线

l

1

和

l

2

，它们分别

与圆

C

1

和圆

C

2

相交，且直线

l

1

被圆

C

1

截得的弦长与直线

l

2

被圆

C

2

截得的弦长相等，试求

所有满足条件的点P的坐标．

19．(本小题满分16分)

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m

元，则他的满意度为

n

m

；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如

na

ma

果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为

h

1

和

h

2

，则他对这两种交易的综合满意度

为

h

1

h

2

．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两

种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为

m

A

元和

m

B

元，甲买进

A与卖出B的综合满意度为

h

甲

，乙卖出A与买进B的综合满意度为

h

乙

m

B

的表达式；(1)求

h

甲

和

h

乙

关于

m

A

、当

m

A



33

h

甲

=

h

乙

；求证： (2)设

m

A

m

B

，

m

B

时，

55

m

B

分别为多少时，当

m

A

、甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)

记(2)中最大的综合满意度为

h

0

，试问能否适当选取

m

A

、

m

B

的值，使得

h

甲

h

0

和

h

乙

h

0

同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．

20．(本小题满分16分)设a为实数，函数

f(x)2x(xa)xa

．

(1)若

f(0)1

，求a的取值范围；(2)求

f(x)

的最小值；

(3)设函数

h(x)f(x),x(a,)

，直接写出(不需给出演算步骤)不等式

h(x)1

的解集．

4

2

数学Ⅱ

参考公式：

123Ln

2222

n(n1)(2n1)

.

6

21．[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答

．．．．．．．

题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

．．．．．．

A．选修4 - 1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD．求证：AB∥CD．

B． 选修4 - 2：矩阵与变换，求矩阵

A



C． 选修4 - 4：坐标系与参数方程



32



的逆矩阵．





21



1



xt





t

已知曲线C的参数方程为



．求曲线C的普通方程．

,

（

t

为参数，

t0

）



y3(t

1

)



t



D． 选修4 - 5：不等式选讲 ：设

a

≥

b

＞0,求证：

3a2b

≥

3ab2ab

．

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答

．．．．．．．

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本题满分10分）在平面直角坐标系

xoy

中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，

2），其焦点F在

x

轴上．（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（3）设过点

M(m,0)(m0)

的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，

记D和E两点间的距离为

f(m)

，求

f(m)

关于

m

的表达式．

23．（本题满分10分）对于正整数

n

≥2，用

T

n

表示关于

x

的一元二次方程

x2axb0

有实数根的有序数组

(a,b)

的组数，其中

a,b



1,2,L,n



（

a

和

b

可以相等）；对于随机选

取的

a,b



1,2,L,n



（

a

和

b

可以相等），记

P

n

为关于x的一元二次方程

x2axb0

2

2

3322

5

有实数根的概率．（1）求

T

n

2

和

P

n

2

；（2）求证：对任意正整数n≥2，有

P

n

1

1

．

n

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

答案及解读

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置

上．

1． -20【解析】 本题考查了复数的基本运算,属基础概念题．由

z

1

429i,z

2

69i

,

可得

(z

1

z

2

)i(220i)i202i

, 则复数

(z

1

z

2

)i

的实部为-20．

2． 3【解析】 本题考查了复数的数量积公式及其简单应用．由向量

a

和向量

b

的夹角为

30

，



|a|2,|b|3

，可得

ab23cos30



3

．

3．

(1,11)

【解析】 本题考查了导数法求函数的单调区间问题． 由

f(x)x

3

15x

2

33x6

,

可得

f



(x)3x30x333(x10x11)

, 令

f



(x)0

可解得

1x11

,

∴函数

f(x)x15x33x6

的单调减区间为

(1,11)

．

4． 3【解析】 本题考查了由三角函数图象求三角函数解析式问题．由图象可得该函数的周

期为

T

5．

32

22

22

, ∴

3

．



3

1

【解析】 本题考查了古典概型问题,从2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，这五个数据

5

中任意抽取2个有2．5 , 2．6; 2．5 , 2．7; 2．5 , 2．8; 2．5 , 2．9; 2．6 , 2．7; 2．6 , 2．8;

2．6 , 2．9; 2．7 , 2．8; 2．7 , 2．9; 2．8 , 2．9，共10种抽取方法, 其中长度恰好相差0．3m

仅2．5 , 2．8; 2．6 , 2．9两组, 即得

n10,m2

, ∴它们的长度恰好相差0．3m的概

率为

P

m21



．

n105

6．【解析】 本题考查了统计初步中样本数据的方差的求解问题,属简单的公式应用问题．同

时也考查了学生的估算能力．

2

5

6

由图表可得

x

甲



∴

S

甲



2

11

(67787)7

,

x

乙

(67679)7

,

55

1216

2

2

2

,

(10010)

,

S

乙

(10104)

,

S

甲

S

乙

5555

2

∴两组数据的方差中较小的一个为

S

计算

S

乙

2

2

22

．本题也可由表格估算出

S

甲

，因此，不必

S

乙

5

7． 22【解析】 本题考查了算法的流程图,以循环结构为主要考查对象,是近几年高考中常见

的命题方式．由流程图可得, 第一次循环时得到的S与T的值分别为1-0=1,1; 第二次循环

时得到的S与T的值分别为9-1=8,3; 第三次循环时得到的S与T的值分别为25-8=17,5, 此

时退出循环结构得

W17522

．

8． 1:8【解析】 本题考查了推理与证明中合情推理之中类比推理的应用．由于相似的几何

图形中面积比是边长的平方比, 类比的相似的几何体的体积比是棱长的立方比, 即若两个正

四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1:8．

9． (-2, 15)【解析】 本题考查了导数的几何意义, 曲线方程对应的函数的导数的几何意义

是曲线上某点的切线的斜率．由

y



3x102

可解得

x2

, ∵切点P在第二象限内，

∴

x2

, 由此可得点P的坐标为(-2, 15)．

10．

mn

【解析】 本题考查了指数函数及指数函数的单调性的应用．∵

a

∴函数

f(x)a

为R上的减函数，又∵

f(m)f(n)

, ∴

mn

．

11． 4【解析】 本题考查了对数不等式及集合的子集运算,此题中要注意对数函数的定义域

及集合边界值的验证．由已知条件可得

A



x|log

2

x2







0,4



,

B(,a)

，若

AB

则

a4

,即得

c4

．

12． (1)(2)【解析】 本题考查了平面与平面、直线与平面的平行与垂直的位置关系,是高考

中常见的开放题型之一． 若



内的两条相交直线分别平行于



内的两条直线，则



平行于



,

这是两个平面平行的判定定理,即(1)正确；若



外一条直线

l

与



内的一条直线平行，则

l

和

x

2

51

(0,1)

,

2



平行,这是直线与平面平行的判定定理,即(2)正确；设



和



相交于直线

l

，



内有一条直

线垂直于

l

，但该直线不一定能够垂直



内两条相交直线,即直线

l

不一定垂直于平面



,所以

平面



和



不一定垂直,即(3)不正确; 直线

l

与



垂直的充分必要条件是

l

与



内的两条相

交直线垂直,即(4)不正确, 综上可得真命题的序号为(1)(2)．

13．

275

【解析】 本题考查了直线方程，两直线的交点及椭圆的几何意义,离心率

的考查是高考客观题考查的热点．由已知条件可得直线

A

1

B

2

的方程为

xx

1

①, 直

ab

7

线

B

1

F

的方程为

为(

xy

1

②,联立①②可得两直线交点T的坐标

cb

b(ac)

2ac

,),则线段

OT

的中点

M

的坐标为

ac

ac

b(ac)

,

2(ac)

x

2

y

2

1

可得),代入椭圆

a

2

b

2

ac

(

ac

4c

2

(ac)

2

4(ac)

2

,即得

e

2

10e30

,解之得

e527

,

∵

e(0,1)

, ∴

e275

．

【别解】设

M(acos,bsin)

，则

T(2acos,2bsin)

，

由

A

1

B

2

T

共线得

由

B

1

FT

共线得

2bsinb



化简得

2sin2cos1

①

2acosaa

2bsinbb



化简得

e(2sin1)2cos

②

2acosc

e



cos



1e



222

由①②解得



代入

cossin1

得

e10e30

，



sin

1e



2(1e)



解得

e527

．

14． -9【解析】 本题考查了等比数列的通项与基本量的求解问题,此题利用等比数列构造

另一个数列,利用所构造数列的性质去研究等比数列是高考的热点问题．由已知数列



b

n



有

连续四项在集合



53,23,19,37,82



中，则数列



a

n



必有连续四项在集合



54,24,18,36,81



中, 若公比

q

为正则该数列的四项必均为正或均为负值, 显然不合题意,

所以公比

q

必为负值,又由

q1

知

q1

,按此要求在集合



54,24,18,36,81



中取四个数

排成数列可得数列

24,36,54,81

或

18,24,36,54

(此数列不成等比数列,故舍去), ∵数

列

24,36,54,81

的公比

q

3

, ∴

6q9

．

2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明或演算步骤．

[15题解析] 本小题主要考查向量的基本概念、数乘、数量积，同时考查同角三角函数的基

本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明等基本能力．满分

14分．

（Ⅰ）由

a

与

b2c

垂直，

a(b2c)ab2ac0

，即

8

4sin()8cos()0

，

tan()2

．

（Ⅱ）

bc(sincos,4cos4sin)

，

bcsin

2

2sincoscos

2

16cos

2

32cossin16sin

2



1730sincos1715sin2

，最大值为32，

所以

bc

的最大值为

42

．

由

tantan16

得

sinsin16coscos

，即

4cos4cossinsin0

，

所以

a

∥

b

．

2

[16题解析] 本小题主要考查直线与平面、

平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．满分14分．

（Ⅰ）因为E，F分别是

A

1

B,A

1

C

的中点，

所以EF∥BC，又

EF面ABC

，

BC面ABC

，

所以

EF

∥平面

ABC

．

（Ⅱ）因为直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

，所以

BB

1

面A

1

B

1

C

1

，

BB

1

A

1

D

，又

A

1

DB

1

C

，

所以

A

1

D面BB

1

C

1

C

，又

A

1

D面A

1

FD

，所以平面

A

1

FD

平面

BB

1

C

1

C

．

9

[17题解析] 本小题主要考查等差数列的通

项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力．满分14分．

（1）设公差为d，则

a

2

a

5

a

4

a

3

，由性质得

3d(a

4

a

3

)d(a

4

a

3

)

，因为

2222

d0

，所以

a

4

a

3

0

，即

2a

1

5d0

，又由

S

77

得

7a

1



76

d7

，解得

a

1

5

，

2

d2

,所以



a

n



的通项公式为

a

n

2n7

，前n项和

S

n

n

2

6n

．

(2)（方法一）

a

m

a

m1

(2m7)(2m5)



,设

2m3t

，

a

m2

2m3

则

a

m

a

m1

(t4)(t2)8

t6

, 所以t为8的约数

a

m2

tt

因为t是奇数，所以t可取的值为

1

当

t1,m2

时，

t

当

t1,m1

时，

t

8

63,2573

，是数列



a

n



中的项；

t

8

615,

数列



a

n



中的最小项是

5

，不符合．

t

所以满足条件的正整数

m2

（方法二）因为

a

m

a

m1

(a

m2

4)(a

m2

2)

8

a

m2

6

为数列



a

n



中的项，

a

m2

a

m2

a

m2

故

8

a

m2

为整数，又由（1）知：

a

m2

为奇数，所以

a

m2

2m31

，即

m1,2

经检验，符合题意的正整数只有

m2

这两种解法看似相同，但却有本质的区别，解法二是紧扣数列通项公式解题，而解法一是

紧扣等差数列的概念解题，学生掌握的基本思路是解法二，本题是中极题．

[18题解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解

10

能力、综合分析问题的能力．满分16分．

(1)设直线l的方程为：

yk(x4)

，即

kxy4k0

由垂径定理，得：圆心

C

1

到直线l的距离，

d4

2

(

23

2

)1

2

结合点到直线距离公式，得：

3k14k

k1

2

1

化简得：

24k7k0.k0,or,k

求直线l的方程为：

y0

或

y

2

7

24

7

(x4)

，即

y0

或

7x24y280

24

(2) 设点P坐标为

(m,n)

，直线

l

1

、

l

2

的方程分别为：

111

ynk(xm),yn(xm)

，即：

kxynkm0,xynm0

kkk

因为直线

l

1

被圆

C

1

截得的弦长与直线

l

2

被圆

C

2

截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定

理，得：：圆心

C

1

到直线

l

1

与

C

2

直线

l

2

的距离相等．

故有：

3k1nkm

k1

2





41

5nm

kk

，

1

1

2

k

化简得：

(2mn)kmn3,或(mn8)kmn5

关于

k

的方程有无穷多解，有：



解之得：点P坐标为

(,



2mm0



mn80

,或





mn30



mn50

31351

)

或

(,)

．

2222

[19题解析] 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽

象概括能力以及数学阅读能力．满分16分．

(1)

h

甲



m

A

m

B

m

A

m

B

,h

乙

,(m

A





3,12



,m

B





5,20



)

m

A

12m

B

5m

A

3m

B

20

3

m

B

5

m

B

m

B



,

m

B

5(m

B

20)(m

B

5)

2

3

当

m

A

m

B

时，

h

甲



5

3

m

B

12

5

11