2021年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷含答案

2024年4月8日发(作者：最新数学试卷题型分布图)

湖南省普通高中学业水平考试

数 学 试 卷

本试卷涉及选取题、填空题和解答题三某些，共5页。时量120分钟，满分100分.

一、选取题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出四个选

项中，只有一项是符合题目规定.

1．已知集合

M{1,2}

，集合

N{0,1,3}

，则

MN

A.

{1}

B.

{0,1}

C.

{1,2}

D.

{1,2,3}

0

2．化简

1cos30



1cos30



得到成果是

0

A.

31

B. C.

0

D.

1

44

3．如图，一种几何体三视图都是半径为1圆，则该几何体表面积等于

A.



B.

2



C.

4



D.



4．直线

xy30

与直线

xy40

位置关系为

A.垂直 B.平行 C.重叠 D.相交但不垂直

5．如图，

ABCD

是正方形，

E

为

CD

边上一点，在该正方形中随机

撒一粒豆子，落在阴影某些概率为

A.

4

3

1113

B. C. D.

4324

6．已知向量

a



1,2



，

b



3,6



，若

b



a

，则实数



值为

A.

11

B.

3

C.



D.

3

33

7．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均提成5组，现

从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样办法，从第1组抽取学生号码为5，则抽

取5名学生号码是

A.5，15，25，35，45 B.5，10，20，30，40

C.5，8，13，23，43 D.5，15，26，36，46

8．已知函数

f



x



图象是持续不断，且有如下相应值表：

x

f



x



1

0

4

1

2

2

3

6

8

0

则函数

f



x



一定存在零点区间是

A.



1,0



B.



0,1



C.



1,2



D.



2,3



9．如图，点



x,y



在阴影某些所示平面区域上，则

zyx

最大值

为

A.

2

B.

0

C.

1

D.

2

10．一种蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了1个伙伴；第2天，2只蜜蜂飞出去，

各自找回了1个伙伴……如果这个找伙伴过程继续下去，第n天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中

一共有蜜蜂只数为

A.

2

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.

11．函数

f(x)lg



x3



定义域为 .

12．函数

ysin



2x

n1

B.

2

C.

3

D.

4

n

n

n











最小正周期为 .

3



13．某程序框图如图所示，若输入

x

值为

4

，则输出成果

为 .

14．在

ABC

中，角

A，B，C

所对边分别为

a，b，c

，已知

c2a

，

sinA

1

，则

sinC

.

2

15．已知直线

l:xy20

，圆

C:x

2

y

2

r

2



r0



，如直线

l

与圆

C

相切，则圆

C

半径

r

三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节 .

16．（本小题满分6分）

学校举办班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录茎叶图如下.

（1）求该运动员得分中位数和平均数；

（2）预计该运动员每场得分超过10分概率.

17．（本小题满分8分）

已知函数

f(x)



xm



2

.

（1）若函数

f(x)

图象过点



2,2



，求函数

yf(x)

单调递增区间；

（2）若函数

f(x)

是偶函数，求

m

值.

2

18．（本小题满分8分）

已知正方体

ABCDA

1

BC

11

D

1

.

（1）证明：

D

1

A

平面

C

1

BD

；

（2）求异面直线

D

1

A

与

BD

所成角.

19．（本小题满分8分）

1



，

xR

. 已知向量

a



2sinx，1



，

b



2cosx，

（1）当

x



4

时，求向量

ab

坐标；

（2）设函数

f



x



ab

，将函数

f(x)

图象上所有点向左平移

象，当

x



0,



个单位长度得到

g(x)

图

4







时，求函数

g



x



最小值.



2



20．（本小题满分10分）

已知数列



a

n



满足

a

1

2

，

a

n1

a

n

2

，其中

nN

.



（1）写出

a

2

，

a

3

及

a

n

；

（2）记数列



a

n



前

n

项和为

S

n

，设

T

n



11



S

1

S

2



1

，试判断

T

n

与

1

大小关系；

S

n

（3）对于（2）中

S

n

，不等式

S

n

S

n1

4S

n







n1



S

n1

0

对于任意不不大于

1

整数

n

恒成立，求实数



取值范畴.

湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

本试卷涉及选取题、填空题和解答题三某些，共5页。时量120分钟，满分100分.

一、选取题：本大题共10小题，每小题4分，满分40

分. 在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目规

定.

1．如图是一种几何体三视图，则该几何体为

A.圆柱 B.圆锥

C.圆台 D.球

2．已知元素

a{0,1,2,3}

，且

a{0,1,2}

，则

a

值为

A.0 B.1 C.2 D.3

3．在区间

[0,5]

内任取一种实数，则此数不不大于3概率为

1

2

B.

5

5

3

4

C. D.

5

5

A.

4．某程序框图如图所示，若输入

x

值为1，则输出

y

值是

A.2 B.3 C.4 D.5

5．在△

ABC

中，若

ABAC0

，则△

ABC

形状是

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

6．

sin120

值为

A.

2

32

B.

1

C. D.



22

2

7．如图，在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，异面直线

BD

与

AC

11

位置关系是

A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D. 异面且垂直

8．不等式

(x1)(x2)0

解集为

A.

{x|1x2}

B.

{x|1x2}

C.

{x|x1或x2}

D.

{x|x1或x2}

9．点

P(m,1)

不在不等式

xy20

表达平面区域内，则实数

m

取值范畴是

A.

m1

B.

m1

C.

m1

D.

m1

10．某同窗从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了某些时

间，下列函数图像最能符合上述状况是

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.

11．样本数据

2,0,6,3,6

众数是 .

1

12．在

ABC

中，角

A

、

B

、

C

所相应边分别为

a

、

b

、

c

，已知

a1,b2,sinA

，则

sinB

3

＝ .

13．已知

a

是函数

f



x



2log

2

x

零点，则实数

a

值为 .

14．已知函数

ysin



x(



0)

在一种周期内图像如图所示，则



值

为 .

15．如图1，矩形

ABCD

中，

AB2BC,E,F

分别是

AB,CD

中点，当前沿

EF

把这个矩形

折成一种二面角

AEFC

（如图2）则在图

2中直线

AF

与平面

EBCF

所成角

为 .

三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节 .

16．（本小题满分6分）



x,x[0,2],



已知函数

f(x)



4

,x(2,4].





x

（1）画出函数

f(x)

大体图像；

（2）写出函数

f(x)

最大值和单调递减区间.

17．（本小题满分8分）

某班有学生50人，其中男同窗30人，用分层抽样办法从该班抽取5人去参加某社区服务活

动.

（1）求从该班男、女同窗中各抽取人数；

（2）从抽取5名同窗中任选2名谈此活动感受，求选出2名同窗中恰有1名男同窗概率.

18．（本小题满分8分）

已知等比数列

{a

n

}

公比

q2

，且

a

2

,a

3

1,a

4

成等差数列.

（1）求

a

1

及a

n

；

（2）设

b

n

a

n

n

，求数列

{b

n

}

前5项和

S

5

.

19．（本小题满分8分）

已知向量

a(1,sin



),b(2,1).

（1）当







6

时，求向量

2ab

坐标；

（2）若

a

∥

b

，且



(0,

20．（本小题满分10分）



2

)

，求

sin(







4

)

值.

已知圆

C:x

2

y

2

2x30

.

（1）求圆圆心

C

坐标和半径长；

（2）直线

l

通过坐标原点且不与

y

轴重叠，

l

与圆

C

相交于

A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)

两点，求证：

11



为定值；

x

1

x

2

（3）斜率为1直线

m

与圆

C

相交于

D,E

两点，求直线

m

方程，使△CDE面积最大.

湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

参照答案及评分原则

一、选取题（每小题4分，满分40分）

题号

答案

二 、填空题（每小题4分，满分20分）

11.6 12.

三 、解答题（满分40分）

16. 解：(1)函数

f



x



大体图象如图所

示；……………………………2分

(2)由函数

f



x



图象得出,

f



x



最大值为2，………………4分

1

C

2

D

3

B

4

B

5

A

6

C

7

D

8

A

9

C

10

A

2



13.4 14.2 15. 45（或）

34

其单调递减区间为



2,4



.…………6分

17. 解：(1)

3020

53

(人)，

52

(人)，

5050

因此从男同窗中抽取3人，女同窗中抽取2人；……………………………………4分

(2)过程略.

3

P(A)

. ……………………………………………………………………………8分

5

18. 解：(1)

a

n

2

n1

； ………………………………………………………………4分

(2)

S

5

46

. ……………………………………………………………………………8分

19. 解：(1)



4,2



； …………………………………………………………………4分

(2)

26

. ………………………………………………………………………8分

4

2

20. 解：(1)配方得



x1



y

2

4

，则圆心C坐标为



1,0



,……………………2分

圆半径长为

2

；………………………………………………………………………4分

(2)设直线

l

方程为

ykx

，



x

2

y

2

2x30

联立方程组



,

ykx



消去

y

得

1k

2

x

2

2x30

， ………………………………………………5分

2



xx

12





1k

2

则有：



………………………………………………6分

3



xx

12



1k

2





所觉得

11

x

1

x

2

2



定值. ………………………………………………7分

x

1

x

2

x

1

x

2

3

(3)解法一 设直线m方程为

ykxb

，则圆心C到直线m距离

d

b1

2

，因此

DE2R

2

d

2

24d

2

， …………………………………8分

22

S

CDE

4d



d



1

2

DEd4dd2

,

22

当且仅当

d4d

2

,即

d2

时，

CDE

面积最大，…………………………9分

从而

b1

2

2

，解之得

b3

或

b1

，

故所求直线方程为

xy30

或

xy10

.……………………………………10分

解法二 由(1)知

CDCER2

,

因此

S

CDE



1

CDCEsinDCE2sinDCE2

,当且仅当

CDCE

时，

CDE

面积最

2

大，此时

DE22

， ………………………………………………………8分

设直线m方程为

yxb

则圆心C到直线m距离

d

b1

2

,…………………………………………………9分

由

DE2R

2

d

2

24d

2

22

，得

d2

,

由

b1

2

2

,得

b3

或

b1

,

故所求直线方程为

xy30

或

xy10

.……………………………………10分

湖南省普通高中学业水平考试试卷

数 学

本试题卷涉及选取题、填空题和解答题三某些，共5页。时量120分钟，满分100分。

一、选取题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题给出四个选项中，只

有一项是符合题目规定。

1．已知集合

M



0,1,2



，

N



x



，若

MN



0,1,2,3



，则

x

值为（ ）

A.

3

B.

2

C.

1

D.

0



1



,x1

2．已知函数

f



x







x

，则

f



1



值为（ ）





2,x1

A.

0

B.

1

C.

2

D.

1

3．如图是一种几何体三视图，则该几何体为（ ）

A.球 B.圆锥

正视图侧视图

C.圆柱 D.圆台

4．函数

y2cosx1

，

xR

最小值是（ ）

A.

3

B.

1

C.

1

D.

3

5．已知向量

a



1,2



，

b



x,4



，若

a

∥

b

，则实数

x

值为（ ）

A.

8

B.

2

C.

2

D.

8

6．某学校高一、高二、高三年级学生人数分别为600，400，800。为了理解教师教学状况，

该校采用分层抽样办法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年

级抽取人数分别为（ ）

A.

15

，

5

，

25

B.

15

，

15

，

15

C.

10

，

5

，

30

D.

15

，

10

，

20

7．某袋中有9个大小相似球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出

球正好是白球概率为（ ）

A.

俯视图

（第3题图）

1145

B. C. D.

59

49

y

(1,2)

(3,2)

8．已知点



x,y



在如图所示平面区域（阴影某些）内运动，

则

zxy

最大值是（ ）

A.

1

B.

2

C.

3

D.

5

o

(1,0)

（第8题图）

x

9．已知两点

P



4,0



,Q(0,2)

,则以线段

PQ

为直径圆方程是（ ）

A.

(x2)(y1)5

B.

(x2)(y1)10

C.

(x2)(y1)5

D.

(x2)(y1)10

10．如图，在高速公路建设中需要拟定隧道长度，

2222

2222

B

工程技术人员已测得隧道两端两点

A,B

到点

C

距离

ACBC1km

，且

ACB120

，

1km

则

A,B

两点间距离为（ ）

120

°

A

1km

C

（第10题图）

A.

3km

B.

2km

C.

1.5km

D.

2km

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11．计算：

log

2

1log

2

4

______________.

12．若

1,x,9

成等比数列，则实数

x

______________.

13．通过点

A



0,3



，且与直线

yx2

垂直直

线方程是______________.

14．某程序框图如图所示，若输入

x

值为

2

，则

输出

y

值为______________.

15．已知向量

a

与

b

夹角为

开始

输入

x

x0?

否

y2x1

是

yx

输出

y

结束

（第14题图）



，

a2

，且

4

ab4

，则

b

______________.

三、解答题：本小题共5小题，满分40分。解答应写出文字阐明、证明过程或演算过程。

16．（本小题满分6分）

已知

cos





1







，







0,



。

2



2



（1）求

tan



值；

（2）求

sin







17．（本小题满分8分）

某公司为了理解我司职工早餐费用状况，抽样调查了100位职工早餐日平均费用（单位：

元），得到如图所示频率分布直方图，图中标注

a

数字模糊不清。

（1）试依照频率分布直方图求

a

值，并预计该公司职工早餐日平均费用众数；











值。

6



（2）已知该公司有1000名职工，试预计该公司有多少职工早餐日平均费用不少于8元？

频率

组距

a

0.10

0.05

024681012早餐日平均费用（元）

（第17题图）

18．（本小题满分8分）

如图，在三棱锥

ABCD

中，

AB

⊥平面

BCD

，

BC

⊥

BD

，

BC3

，

BD4

，直

线

AD

与平面

BCD

所成角为

45

，点

E

，

F

分别是

AC

，

AD

中点。

（1）求证：

EF

∥平面

BCD

；

（2）求三棱锥

ABCD

体积。

A

F

E

B

D

C

（第18题图）

19．（本小题满分8分）

已知数列



a

n



满足：

a

3

13

，

a

n

a

n1

4

（

n1

，

nN

）。

（1）求

a

1

，

a

2

及通项

a

n

；

（2）设

S

n

为数列



a

n



前

n

项和，则数列

S

1

，

S

2

，

S

3

，…中哪一项最小？并求出

这个最小值。

20．（本小题满分10分）

已知函数

f



x



2

x





2

x

（



R

）。

（1）当



1

时，求函数

f



x



零点；

（2）若函数

f



x



为偶函数，求实数



值；

（3）若不等式

1

f



x



4

在

x



0,1



上恒成立，求实数



取值范畴。

2

湖南省普通高中学业水平考试数学参照答案

一、选取题

题号

答案

二、填空题

11、2 ； 12、 ±3 ； 13、

xy30

； 14、

2

； 15、 4

三、解答题：

16、（1）



(0,),cos



0

，从而

cos



1sin

2





1

A

2

B

3

C

4

A

5

B

6

D

7

C

8

D

9

C

10

A



2

3

2

（2）

sin2



cos2



2sin



cos



12sin

2





17、（1）高一有：

31

2

200

；高二有

20012080

（人）

1200120

（人）

2000

（2）频率为

0.015100.03100.025100.005100.75



人数为

0.7520001500

（人）



f(0)b6



a2

18、（1）







f(x)x

2

2x6



f(1)ab15



b6

（2）

f(x)x

2

2x6(x1)

2

5,x[2,2]

x1

时，

f(x)

最小值为5，

x2

时，

f(x)

最大值为14.

19、(1)

a

1

2,a

n

2a

n1

,a

2

4,a

3

8

a

n

2(n2,nN

*

)

，





a

n



为首项为2，公比为2等比数列，

a

n

22

n1

2

n

a

n1

(2)

b

n

log

2

a

n

log

2

2

n

n

，

S

n

123

20、（1）

n

n(n1)

2

C:(x1)

2

(y2)

2

5k

，

C(1,2)

（2）由

5k0k5



x2y40

2

（3）由



5y16y8k0

22

(x1)(y2)5k



设

M(x

1

,y

1

),N(x

2

,y

2

),

则

y

1

y

2



168k24

，

16

2

20(8k)0k

,y

1

y

2



555

4k16

x

1

2y

1

4,x

2

2y

2

4,x

1

x

2

(2y

1

4)(2y

2

4)4[y

1

y

2

2(y

1

y

2

)4]

5

4k168k824

OMON,x

1

x

2

y

1

y

2

0,

即

0k(

满足

k)

5555

湖南省普通高中学业水平考试数学试

卷

一、选取题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出四个

选项中，只有一项是符合题目规定．

1．已知等差数列{

a

n

}前3项分别为2、4、6，则数列{

a

n

}

第4项为

A．7 B．8

C．10 D．12

俯视图

（第2题图）

正视图

侧视图

2．如图是一种几何体三视图，则该几何体为

A．球 B．圆柱

C．圆台 D．圆锥

3．函数

f(x)(x1)(x2)

零点个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

4．已知集合

{1,0,2}

，

{x,3}

，若

{2}

，则

x

值为

A．3 B．2 C．0 D．-1

5．已知直线

l

1

：

y2x1

，

l

2

：

y2x5

，则直线

l

1

与

l

2

位置关系是

A．重叠 B．垂直

C．相交但不垂直 D．平行

6．下列坐标相应点中，落在不等式

xy10

表达平面区域内是

A．（0，0） B．（2，4） C．（-1，4） D．（1，8）

7．某班有50名同窗，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均提

成5组．现用系统抽样办法，从该班抽取5名同窗进行某项调查，若第1组抽取

学生编号为3，第2组抽取学生编号为13，则第4组抽取学生编号为

A．14 B．23 C．33 D．43

8．如图，D为等腰三角形ABC底边AB中点，则下列等

式恒成立是

A．

CACB0

B．

CDAB0

C．

CACD0

D．

CDCB0

9．将函数

ysinx

图象向左平移

象相应函数解析式为

A．

ysin(x)

33

2



2



)

D．

ysin(x)

C．

ysin(x

33

A

B

C



个单位长度，得到图

3

D

（第8题图）



)

B．

ysin(x



10．如图，长方形面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中正好有60

颗豆子落在阴影某些内，则用随机模仿办法可以预计图中阴

影某些面积为

24

B．

35

64

C． D．

53

A．

（第10题图）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．

11．比较大小：

log

2

5

log

2

3

（填“＞”或“＜”）．

12．已知圆

(xa)

2

y

2

4

圆心坐标为

(3,0)

，则实数

开始

输入a,b,c

a

．

13．某程序框图如图所示，若输入

a,b,c

值分别为3，4，

5，则输出

y

值为 ．

y

abc

3

输出

y

结束

（第13题图）

13

14．已知角



终边与单位圆交点坐标为（

,

），则

cos



= ．

22

15．如图，A，B两点在河两岸，为了测量A、B之间距离，测量者在A同侧选

定一点C，测出A、C之间距离是100米，∠BAC=105º，∠ACB=45º，则A、

B两点之间距离为 米．

B

河

105º

A

45º

C

（第15题图）

三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字阐明、证明过程或

演算环节．

16．（本小题满分6分）

已知函数

yf(x)

（

x[2,6]

）图象如图．依照图象写出：

（1）函数

yf(x)

最大值；

（2）使

f(x)1

x

值．

17．（本小题满分8分）

一批食品，每袋原则重量是

50

g

，为了理解这批食品实际重量状况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋重

量（单位：

g

），并得到其茎叶图（如图）．

（1）求这10袋食品重量众数，并预计这批食品实际重量平均数；

（2）若某袋食品实际重量不大于或等于47

g

，

4 5 6 6 9

5 0 0 0 1 1 2

（第17题图）

2

1

-2

-1 O

-1

2

5 6

y

x

（第16题图）