2024年4月11日发(作者：常州市小升初择校数学试卷)

第一章 函数与极限

1. 设



1

()sin

66

|sinx|,|x|

3

(x)

0,|x|

3





, 求



、



、

、

(2).

6



4



4

2

2



2

()sin

44

2



2

()sin()

4

2

0

4

2

2. 设

f

x

的定义域为

0,1

，问：⑴

f

x

； ⑵

f

sinx

；

⑶

f

xa



a0

； ⑷

f

xa

f

xa

a0

的定义

域是什么？

1

；

（1）

0x1知－1x1,所以f(x)的定义域为

－1，

22

(2)由0sinx1知2k

x(2k1)

(kZ),

2k

,(2k1)

所以f(sinx)的定义域为

－a,1a

所以f(xa)的定义域为

0xa1

－ax1a

(4)由

知

从而得

0xa1

ax1a

1

a,1a

当0a时，定义域为

2

1

当a时，定义域为

2

(3)由0xa1知－ax1a

3. 设

1

f

x

0

1

x1

x1

x1

，

g

x

e

，求

f

g

x

和

g

f

x

，并

x

做出这两个函数的图形。

1,g(x)1

1,x0

1.)f[g(x)]

0,g(x)1从而得f[g(x)]

0,x0



1,x0

1,g(x)1

2.)g[f(x)]e

f(x)

e,x1

1,x1

1

e,x1

4. 设数列

x

有界, 又

limy

n

n

n

0,

证明:

M

limx

n

y

n

0.

n

x

n

有界，M0,对n,有x

n

M

又

limy

n

0,即

0,N(自然数)，当nN时，有y

n

n

从而x

n

y

n

0x

n

.y

n

M.

M

结论成立。

5. 根据函数的定义证明:

⑴

lim

3x1

8

x3

0,要使3x183x3

,只要x3即可。

3

故

0,取

＝，当0x3

时，恒有3x18

成立

3

所以lim(3x1)8

x3

(2)

x

lim

sinx

x

0

1

0,要使

sinx

x

x

,只要x

sinx

x

即可。故取X

2

sinx

x

0

1

2

，

当xX时，恒有0

成立,所以lim

x3

6. 根据定义证明: 当

x0

时,函数

y

1

x

2x

是无

穷大.问

x

应满足什么条件时,才能使

y10?

4

M0,要使

故取

＝

12x111

22M,只要x即可。

xxxM2

，当0x

时，有

12x

M成立

x

M2

12x

所以lim

x0

x

要使y10

4

,只要x

1

即可。

4

102

7. 求极限:

⑴

⑵

⑶

x

2

3

lim

x3

x

2

1

=0

=

lim

h(2x

h

h)

2x

h0

2

xh

x

2

lim

h0

h

x

2

x

lim

4

x

x3x

2

1

=0

=

n(n1)

1

2

lim

n

2

n

2

(4)

(5)

(6)

lim

12

n1

n

n

2

3



1

lim

3

x1

1x

1x



=

1xx

2

3

lim1

2

x1

(1x)(1xx)

lim

x

3

2x

2

x2

x2

2

=

8. 计算下列极限:

⑴

⑵

limx

2

sin

x0

1

x

=0

=

lim

1

.arctanx0

x

x

lim

arctanx

x

x

9. 计算下列极限:

⑴

⑵

lim

sin

x

x0

x

x

=

lim

sin

.

x

x0

lim

tan3x

x0

x

1

=

lim

sin

x

3x

.

cos

3

3x

x0

⑶

(4)

1cos2x

lim

x0

xsinx

3

x

=

2sin

2

x

lim2

x0

x

2

2

lim

(1)

x0

x



e

6

2

lim

1

x

x

=

1

x

6

（5）

lim

12

x

=

lim(12x)

x

0

1

.2

2x

x0

e

2

e

2

（6）

3

x

lim



x

1

x



x

=

2

lim(1)

x

1x

1x

.(2)1

2

10. 利用极限存在准则证明:

⑴

11

1

limn

2

2

2

1

n

n

n2

nn



n

2

11n

2

1

2

n

2

2

2

2

nn

n

n2

nn



n

n

2

n

2

又lim

2

1,

lim

2

1

n

nn

n

n

的极限存在,并

故原式＝1

⑵ 数列

求其极限.

解：1

0

.先证单调。

2,22,222,

x

n

2x

n1

,n2,3,...

x

2

2x

1

222x

1

,假设x

k

x

k1

,则

x

k1

2x

k

2x

k1

x

k

故

x

n

单调递增。

2

0

.再证有界。

x

1

22,假设x

k1

2,则x

k

2x

k1

222

故

x

n

有界。

所以limx

n

,设limx

n

a,由x

n

2x

n1

知a2a

nn

所以a2,a1(舍去)

limx

n

2

n

11. 当

x0

时,

2xx

与

x

高阶的无穷小?

22

x

3

相比, 哪一个是较

x

2

x

3

x

2

(1x)

limlim0

x0

2xx

2

x0

x(2x)

2

当x0时，x

2

x

3

是较高阶的无穷小。

12. 当

x1

时, 无穷小

1x

和

1

1x

是否同阶?是

2

否等价?

1

（1-x

2

）

(1x)(1x)

lim

2

lim1

x1

1x

x1

2(1x)

1

当x1时，(1-x

2

)1-x

2

所以同阶且等价.

13. 证明: 当

x0

时, 有

secx1~

x

2

.

2

1

1

secx12(1cosx)1

cosx

limlimlim.

22

2

x0x0x0

xx

xcosx

22

x

4sin

2

2

.

1

1lim

x0

x

2

cosx

x

2

当x0时，secx1

2

14. 利用等价无穷小的代换定理, 求极限:

lim

tanxsinx

x0

sin

3

x

.

1

2

x(x)

1tanxsinxtanx(1cosx)

lim=limlim

2

3

=

33

x0x0x0

sinxxx2

15. 讨论

x

2

0x1

f

x

2x1x2

的连续性, 并画出其

图形.

f(10)limx

2

1

x1

f(10)lim(2x)1

x1

又f(1)1,f(x)在x1处连续.

总之,f(x)在[0,2]上连续.

16. 指出下列函数的间断点属于哪一类.若

是可去间断点,则补充或改变函数的定义

使其连续.

⑴

x

2

1

y

2

x3x2

x1,x2

x

2

1(x1)(x1)

lim

2

lim2

x1

x3x2

x1

(x1)(x2)

x1为可去间断点,补充定义:y

x1

2即可.

lim

x2

x1(x1)

lim,

2

x2

x3x2(x2)

2

x2为无穷间断点.

⑵

y

x1

x1

y

3x

x1

x1

x1

=0

x1

x1

x1

x1

limylim(x1)0

limylim(3x)2

x1为其跳跃间断点.

1x

2n

f

x

limx

n

1x

2n

17. 讨论函数的连续性, 若有间

断点, 判别其类型。

2n

f

x

lim

1x

1,x1

n

1x

2n

x

0,x1

1,x1

在x1处,f(10)

1,f(10)1

x1为跳跃间断点.

在x1处,f(10)1,f(10)1

x1为跳跃间断点.

18. 求函数

f

x

x

3

3x

2

x3

x

2

x6

的连续区间,

lim

x0

f

x

,lim

x3

f

x

.

由x

2

x60得：x

1

2,x

2

3

连续区间为（－，－3）（－3，2）（2，＋）

lim

x0

f(x)

1

2

(x3)(x

2

lim

x3

f(x)lim

1)x

2

18

x3

(x3)(x2)

lim

x3

x2

5

19. 求下列极限：

⑴

lim

x0

x

2

2x5

=

5

⑵

lim

sin2

3

=1

4

⑶

2sin

x

lim

sinxsin

2

cos

x

2

x

x

lim

x

x

cos

⑷

2

2x

x

lim



xxx

2

x

x

lim



x

2

xx

2

x

1

⑸

1

1

lime

x

x

lim



x

x

ee

0

1

⑹

limln

sinx

x

ln

lim

sinx

x0

x0

x

ln10

并求

⑺

1

1

1

lim

1

lim

(1)

e

2

x

x

x

x

x

2

1

x

1

2

20. 设函数

f(0)a

e

x

f

x

ax

x0

x0

, 应怎样选择

a

，使

f

x

在

,

内连续。

f(00)lime

x

1

x0

b0,

a1时，f(x)在（－，＋）内连续

21. 证明方程

xasinxb

其中

a0,

正根，并且它不超过

ab

.

证明：令f(x)asinxbx

显然，f(x)在

0，ab

上连续

f(0)b0

f(ab)asin(ab)babasin(ab)a0

至少有一

若f(ab)0,取

＝ab;若f(ab)0,

(0,ab)使f(

)0

方程至少有一正根且不超过ab.

22. 若

f

x

在

a,b

上连续，

ax

1

x

2

x

n

b

x

1

,x

n

f

, 则在

上必有

, 使

.

f

x

1

f

x

2



f

x

n

n

证明：f(x)在

x

1

,x

n

连续，最大值M与最小值m，使mf(x)M,i1,2,...,n

nm

f(

i

)nM

n

i1

即m

f(

)

i

i1

n

M

f(x

1

)f(x

2

)...f(x

n

)

n

n

由介值定理，

x

1

,x

n

使f(

)

23. 证明: 若

f

x

在

,

内连续,

limf

x

x

存在,

则

f

x

x

必在

,

内有界.

证明：设limf(x)A，对

1，X当xX时，有f(x)A1成立,即

f(x)1A

又f(x)在

X,X

上连续，故有界,即M

1

使f(x)M

1

取M＝max

M

1

,1A

，

则对x(,)，有f(x)M，即f(x)在(,)内有界。


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