中学教材全解-高中数学(选修2-3)(人教版b)电子版

2023年12月21日发(作者：越秀高一数学试卷)

中学教材全解:高中数学(选修2-3)(人教版b)电子版

篇一：P121-180 中学教材全解高中数学选修2-3

P121

知识点1 条件概率

在很多实际问题中，需要考虑一个事件在“某事件已发生”这个附加条件下的概率，我们来看下面的问题.

抛掷红、蓝两颗骰子，设

事件A?“蓝骰子的点数为3或6”，

事件B?“两颗骰子的点数之和大于8”.

我们用x代表抛掷红骰子所得到的点数，用y代表抛掷蓝骰子所得到的点数，则这个试验的基本事件空间为S?{(x,y)|x?N,y?N,1?x?6,1?y?6}.作图2?2?1，容易看出，基本事件空间的元素与图中的点一一对应，所以抛掷红、蓝两颗骰子这一试验的基本事件总数为36，事件B所包含的基本事件对应图中

10三角实线所包围的点，个数为10．所以，事件B发生 1

的概率P(B)?

. 36

当已知蓝色骰子的点数为3或6时，事件B所发生的概率是多少呢?也就是要求事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率是多少．事件A已发生的所有可能的结果对应图中长条虚线所包围的12个点．其中三角实线框内的5个点的

5“点数之和大于8”，所以事件B在“事件A已发生”条件下的概率是. 12

一般地，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)=P(AB)事件A发生的P(A)

条件下，事件B发生的条件概率．一般地，把P(B|A)读作“A发生的条件下B发生的概率”．

条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 0?P(B|A)?1

如果B和C是两个互斥事件，则

P(B?C|A)=P(B|A)+P(C|A)

评注 （1）事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．

（2） 应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在 2

此条件下发生的概率．

（3）已知A发生，在此条件下B发生，相当于发生，要求P(B|A)相当于把A看做新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即

n(AB)

n(AB)P(AB)n(?)P(B|A). n(A)n(A)P(A)

n(?)

例1一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个女孩，问这是另一个小孩是男孩的概率是多少？

解：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，3题意可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意，设基本事件空间为?，A表示“其中一个是女孩”，B表示“其中一个是男孩”，则

{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女 )}，

A?{(男，女)，(女，男)，(女，女) )}，

B?{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，

A?B?{(男，女)，(女，男)}．

问题是求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即求P(B|A).

32P(A)?,P(A?B)?,44 P(AB)2?P(B|A)??.P(A)3

3

因此所求条件概率为2． 3

P122

知识点2事件的相互独立性

我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时，条件概率P(B|A).和概率P(B)一般是不相等的，但有时事件A的发生看上去对事件B的发生没有影响，比如依次抛掷两枚硬币，抛掷第1枚硬币的结果(事件A)对抛掷第2枚硬币的结果(事件B)没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗?

让我们先来看一个例子．

2个白皮蛋， 例2 在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，每次取一个，

有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率．

解：设A一“第一次取到红皮蛋”，B一“第二次取到红皮蛋”，则33P(A)?，由于是有放回的抽取，所以P(B)?. 55

A?B?“两次都取到红皮蛋”，由于第一次取一个鸡蛋有5种取法，第二次取一个鸡蛋也有5种取法，于是两次共有5?5种取法．其中都取到红皮蛋的取法有3?3种，因此，

两次都取到红皮蛋的概率为 3?39?. P(A?B)?5?525

所以P(B|A)?P(AB)3?. P(A)5

在该列中，事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即

4

p(B|A)?P(B).

设A、B为两个事件，如果P(AB)?P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.

P123

评注 (1)对于事件A、B，如果事件A (或) B是否发生对事件B (或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件．如果甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，

显然A与B互相独立．

(2)一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，万与百也都是相互独立的．

(3)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)?P(A)?P(B) ____

在实际问题中，对于竹个事件，通常是考虑这些事件的含义，用日常生活或

生产中得到的经验来分析它们之间有没有影响，如果没有影响，或者影响可以忽略不计，就可以判断这”个事件是相互独立的．

如果事件A1,A2…An相互独立，那么这”个事件都发生的概率，等于每个事

5

件发生的概率的积，即

P(A1?A2?…An)?PA(1?)PA(2?…)?PAn( )

并且上式中任意多个事件A。换成其对立事件后等式仍成立．

(4)两个事件独立与互斥的区别：

两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．学习中要注意两者的区别，以免发生计

算错误．

知识点3 独立重复试验

一般地，在相同条件下，一个试验重复了n次称为n次独立重复试验．

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率

kkn?k Pn(k)?Cnp(1?p)

例如，对一批产品进行抽样检验，每次取一件，有放回地抽取n次，就是一个n次独立重复试验，又如，某位篮球运动员进行n次投篮，如果每次投篮的条件都相同，那么这也是一个n次独立重复试验，在”次独立重复试验中，事件A恰好发生k(0?k?n)次的概率问题叫做贝努利概型．

评注 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结 6

果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．

(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”、“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n,p,k的意义．

P131

3，某班3名同学商定4

日天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．

3解：由题意知，用X表示成功咨询的人数，则X服从，n?3，p?的二项分4

33布，于是有P(X?k)?C3k()k(1?)3?k,k?0,1,2,3． 44

所以X的分布列为

变式训练2：某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为

例7 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯2的事件为相互独立的，并且概率都是，设?为途中遇到红灯的次数，求随机变5

量?的分布列．

题眼分析：求离散型随机变量的分布列，首先应确定离散型随机变量的取值，其次再算出离散型随机变量取各个值时的概率． 2解：由题意?~B(3,),则 5

2327P(??0)?C30()0()3?,55125

7

2336P(??2)?C32()2()1?,55125

5412132P(??1)?C3()()?,55125

832330P(??3)?C3()()?.55125

所以离散型随机变量?的分布列为

二、数学思想方法 ．

1分类讨论思想

P169

评注 性质(1)说明函数的值域为正实数集的子集，且以x轴为渐近线；性质(2)是曲线的对称性，关于直线x??对称；性质(3)说明函数当时取得最大x??时取得最大值;性质(4)说明正态变量在(??,??)内取值的概率为1；性质(6)说明当均值?一定，?变化时，总体分布的集中、离散程度．应结合正态曲线的特点去理解、记忆上述性质．

知识点4 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P(X)?0.6826,

P(??2??X2?)?0.9544,

P(??3??X3?)?0.9974.

知识点5 3?原则

服从于正态分布N(?,?2)的随机变量X只取(??3?,??3?)之间的值，并简称为

3?原则．

正态总体几乎总取值于区间(??3?,??3?)之内，而在此区间 8

以外取值的概

篇二：高中数学选修2-3课本参考答案

参考答案：

篇三：人教版高中数学选修2-3全部教案

高 中 数 学 教 案 选 修 全 套

人教版 选修

2-3

第一章 计数原理

1.1分 类加法计数原理与分部乘法计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 排列与组合 1.2

探究与发现 组合数的两个性质 二项式定理 1.3

小结

随机变量及其分布 2.1离 散型随机变量及其分布列 二项分布及其应用 2.2

阅读与思考 这样的买彩票方式可行吗?

探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大 离散型随机变量的均值与方差 2.3

正态分布 2.4

信息技术应用 μ,б对正态分布的影响 小结 统计案例

回归分析的基本思想及其初步应用 3.1

独立性检验的基本思想及其初步应用 3.2

实习作业 小结

9

第二章

第三章

第一章 计数原理

1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

第一课时

1分类加法计数原理 （1）提出问题

问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ （2）发现新知

分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有同的方法. 那么完成这件事共有

m

种不同的方法，在第2类方案中有

n

种不

N?m?n 种不同的方法. （3）知识应用

例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学B大学 生物学 数学 化学会计学

10

医学信息技术学 物理学 法学 工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名

同学可能的专业选择共有

5+4=9（种）.

变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？

探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不 11

同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法??在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N?m1?m2mn

种不同的方法.

理解分类加法计数原理：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.

例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类, m1 = 1×2 = 2条 第二类, m2 = 1×2 = 2条

第三类, m3 = 1×2 = 2条

所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有

N = 2 + 2 + 2 = 6 条

练习: ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ;

( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．

第二课时

2分步乘法计数原理 （1）提出问题

12

问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A1,A2,?，B1,B2,?的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

用列举法可以列出所有可能的号码：

我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码． （2）发现新知

分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有

m

种不同的方法，在第2类方案中有

n

种

不同的方法. 那么完成这件事共有 N?m?n种不同的方法.

（3）知识应用

例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；

第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根 13

据分步乘法计数原理，共有30×24 =720 种不同的选法．

一般归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法??做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N?m1?m2mn

种不同的方法. 理解分步乘法计数原理：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.

例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

14

解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种,第三步, m3

= 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6

第三课时

3 综合应用

例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放(转 载

于: 小 龙文 档 网:中学教材全解:高中数学(选修2-3)(人教版b)电子版)2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】

①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.

③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取 15

1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这

件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.

解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是

N?m1?m2?m3=4+3+2=9;

( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是

N?m1?m2?m3=4×3×2=24 .

（3）N?4?3?4?2?3?2?26。

例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅 16

挂在右边墙上，有 2

种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂

法的种数是

N=3×2=6 .

6 种挂法可以表示如下：

分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．

例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

分析：按照新规定，牌照可以分为 2类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤． 解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：

17

第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；

第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法； 第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法； 第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法； 第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法； 第6步，从剩下的 8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法．

根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26

×25×24×10×9×8=11 232 000（个） . 同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个．所以，共能给 11232 000 + 11232 000

= 22464 000（个） .辆汽车上牌照．

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 ― 需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整” ―

完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

练习

（a1?a2?a3)(b1?b2?b3)(c1?c2?c3?c4?c5)展开后共有多少项？ 1．乘积

2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其 18

中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？

3．从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？

4．某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？

第四课时

例1.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？

分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．

解：先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有7 + 6 = 13 种选法． 再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有13×9×9 = = 1053 个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名．

19