2024年1月17日发(作者：三升四的数学试卷评语)

例谈点到平面距离的求法

立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。

点到平面的距离的求法可分为三大类：

一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定

转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。

1、 用定义直接构造法

例1、如图，三棱锥S-ABC中，ABC是等腰三角形，ABBC2a，SABC1200,且SA面ABC，SA=3a。求点A到平面SBC的距离。

ADBC交BC于D,连结SD.

SA平面ABC,根据三垂线定理有SDBC

又SDADD,BC平面SAD。又BC平面SBC，

平面SBC平面ADS，且平面SBC平面ADS=SD

过点A作AHSD于H，则AH平面SBC。在RtSAD中，SA=3a,

解：作HADBCADABsin6003a，AH故点A到平面SBC的距离为SAADSA2AD23a

23a。

2【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。

2、转移构造法

（1）利用平行线转换点

例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，（1）求证：AB1BC1,ABCC1a,BCb（b>a）

A1B1C1AC11AB (2)求点B1到平面ABC1的距离.

A1B,则AB1A1B，又AB1BC1，故AB1面A1BC1。知解：(1)连结EGAC11AB1，得AC11面ABB1A1,知AC11AB。

（2）由（1）得面ABC1ABC面AAC11.

A1B1AB,A1B1平面ABC1A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离

过A1作AGAC1于G,

1AB平面ACC1A1,

ABAG1

。

ab2a2从而AG即为所求的距离。易求AG平面ABC1. 故AG111b是我们常用的方法。

（2）对称转移或利用定比分点

【点评】利用直线与平面平行，把所求的点到平面的距离转移到平行线上另一点到平面的距离来求，

例3、如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=

b，PA平面BQD的距离．

解：过A作AE平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点．求P到BD垂足为E，连结QE。∵平面BQD经过线段PA的中点，∴PQE于H．∵BDAE，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离．在△AQE中，作AHBDQE，∴BD平面AQE．∴BDAH，AH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离．

Q在Rt△AQE中，∵AQ=c，AE=abab22，∴AH=abcabbcca222222.

HAD

D1E 例4、已知正方体的棱长为1，O为上底面求点O到平面A1B1C1D1的中心。

BOB1CC1A1EDAABC1D1的距离。

A1B1C1D1的距离为线段A1E的长，易求得A1E242.又O2CB析：点A1到平面为O到平面ABC1D1的距离为AC11的中点，故点。

【点评】 转移构造常利用已知平面点分某条斜线段所成的比，体现着转化的思想。

二、由点向平面引垂线，垂足无法确定或难确定时

1、等体积法（利用三棱锥的体积公式）

例5、已知在棱长为1的正方体中点，求点B到平面A\'D\'EC\'B\'ABCD-ABCD中，E、F分别是AB、CD的AECF的距离即为点B到平面AEF的AECF的距离。

解：连结AE、BF、EF，则点B到平面DFABC距离。设点B到平面AEF的距离为h, 根据VE-ABF=VB-AEF则

EGSABF1=hS3AEF16,得h＝

33【点评】 由于四面体以不同面为底的体积相等，因而等体积法的关键是将距离看成是某四面体的高。

2、 运用面面角或利用斜线和平面所成的角

例6、在直角梯形ABCD中，DBAD90,使D到D，如果二面角DDC\'\'0ADDC1ABa。将ADC2沿AC折起ACB为600，求点D\'到面ABC的距离。

D\'CEABOAB

解：设D在平面ABC内的射影为O, E为AC的中点，连结OE

\'

由于D\'EAC,故D\'EO为二面角的平面角，即D\'EO＝600。又D\'E=2a2，所以D\'O=D\'Esin600＝6a。

4例7、已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离.

解：设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作BRGM，Ｒ为垂足． 又GMEB,

所以平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ。又ＥＲ为它们的交线

∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ

由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得

RBMBMBCG2RB，

CGMGMG10在Ｒｔ△ＲＥＢ中,

sinsinBERBR11

ER11于是得所求之距离dEBsinBER211.

11【点评】此法体现着角与距离间的转化，另一个变化是利用距离求角，应引起我们的足够重视。

3、利用两平行平面的距离确定

对上例，有如下的计算方法：

解： 把平面EFG补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT是正四棱柱ABCD—A1B1C1D1经过F、E、G的截面所在的平面.MG交BB1于N，TG交DD1于Q.作BP//MG，交CG于P，连结DP.则有平面GTM//平面PDB。它们之间的距离就是所求之距离，于是可以把点B平移到平面PDB上任何一个位置。

而这两个平行平面的距离d又同三棱柱GQN—PDB的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离。则有三棱柱GQN—PDB的体积V的关系式：

VSPDBdSCDBBN（）.易求出BN=811，SCDB8

38112d8

33d23，CP=43，PB=PD=4103，BD=42，SPBD由关系式（）可得，于是平行平面间的距离

211211,即点B到面EFG的距离为。

1111【点评】若两平面平行，则平面内的任一条直线到另一个平面的距离等于两平面间的距离，对于分别位于两个平行平面内的异面直线之间的距离也等于两平面间的距离。在解题过程中要注意体会。

三、向量法

例8、 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.

求： 点C到平面AEC1F的距离.

解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），

C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.

∵AEC1F为平行四边形，

由AEC1F为平行四边形,由AFEC1得,(2,0,z)(2,0,2),

z2.F(0,0,2).设n1为平面AEC1F的法向量，

显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1(x,y,1)

nAE0,0x4y10x1由1AF0,得n12x0y20即4y10,,2x20,1y4.又CC1(0,0,3),设CC1与n1的夹角为a，则

cosCC1n1|CC4331||n1|33133.

1161∴C到平面AEC1F的距离为d|CC1|cos34333343311。

【点评】若点P为平面α外一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的n距离公式为dPA。当我们学习了空间解几以后，还有点到平面的距离公式，这里从略。

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