广义勾股定理 (2)

2023年12月21日发(作者：高二数学试卷浙江)

广义勾股定理

张祖华

平阴县职业教育中心 山东平阴 250400

摘要：本文进一步推广了数学通报上的勾股定理，给出了非直角三角形下的勾股定理，该定理涵盖了勾股定理，进一步涵盖了余弦定理。

关键词：勾股定理 相似 欧几里得 十大公式

在初中数学教学中，勾股定理自三角形内角和定理以来，以大宗师手法极其简洁地阐明了直角三角形三边关系，深具形式美与内容美的统一性。国际数学大师华罗庚有一段名言：“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数无形时少直觉,形无数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事休。切莫忘…”。而勾股定理开辟了数形结合百般好的先河。

勾股定理的定义参阅下图：

据百度百科介绍，勾股定理有下述意义：

1．勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；

2．勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；

3.勾股定理是中学数学四大思想之一—数形结合思想的璀璨瑰宝.

这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用．

1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。【1】

公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。【2】

勾股定理又为初中数学的重点之一，是高中数学不可或缺的一块宝物，譬如余弦定理，又如两点间的距离公式，或如三角函数的定义

公式，无一不与之息息相关。

对于该定理，古代伟大的几何学家欧几里得发现了名垂千古的欧几里得证法。著名学者张劲松给出了一个更为简洁的证明【3】。本文在文献【3】【4】【5】【6】的基础上进一步推广了勾股定理，给出了非直角三角形下的勾股定理，该定理涵盖了勾股定理。

在上图中，与文献【3】构造方法相同，不妨设边c对应角最大，在c边上截取长度为b的线段，然后做C角的等角变换，易得

a2 +bc +bx –cx =c2

以上即为广义勾股定理，当x=b时即为勾股定理，当x取特定值时，即为余弦定理。

参考文献：

【1】《几何明珠》.黄家礼编著,国家行政学院出版社.2014.01.

【2】《从勾股定理到费尔马大定理》.北京科普之窗.

【3】《勾股定理的一个简洁证明》.张劲松，数学通报.2009.04.

【4】《勾股定理的一种证法及其教学价值》.哈家定，数学通报.1995.07.

【5】《勾股定理的一个简短证明》.李玉扬，数学通报.1995.08.

【6】《勾股定理的又一简短证明》.刘和邦，数学通报.1999.06.

【7】百度搜索.

【8】360搜索.