高等数学下册试题题库及参考答案

2023年12月14日发(作者：2018北京中招数学试卷)

高等数学下册试题库

一、选择题（每题4分，共20分）

1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量解

AB

={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，

|AB|=0222(1)2A ）5 B）

3 C） 6 D）9

5.

AB

的模是：（ A ）

2. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（ B ）

A ）{-1,1,5}. B） {-1,-1,5}. C） {1,-1,5}. D）{-1,-1,6}.

解

(1) c=3a-2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.

3. 设a={1,-1,3}, b={2, 1, -2}，求用标准基i, j, k表示向量c=a-b; （ A ）

A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）-2i-j+5k

解c={-1,-2,5}=-i-2j+5k .

4. 求两平面x2yz30和2xyz50的夹角是：（C）

3A ） B） C） D）

解 由公式（6-21）有

cosn1n2n1n21221(1)11222(1)22212121224

12，

因此，所求夹角arccos3．

5. 求平行于z轴，且过点M1(1,0,1)和M2(2,1,1)的平面方程．是：（D ）

A）2x+3y=5=0 B）x-y+1=0

C）x+y+1=0 D）．

xy10解 由于平面平行于轴，因此可设这平面的方程为

z因为平面过M、1M2两点，所以有

解得AD,BD，以此代入所设方程并约去D(D0)，便得到所求的平面方程

6．微分方程xyyxyy4y0的阶数是( D )。

3A．3 B．4 C．5 D． 2

7．微分方程yx2yx51的通解中应含的独立常数的个数为(A )。

A．3 B．5 C．4 D． 2

8．下列函数中，哪个是微分方程dy2xdx0的解( B )。 A．y2x B．yx2 C．y2x D．

yx

9．微分方程y3y的一个特解是( B)。

A．yx31 B．yx23 C．yxC2 D．

yC1x3

10．函数ycosx是下列哪个微分方程的解(C)。

A．yy0 B．y2y0 C．yny0 D．

yycosx

11．yC1exC2ex是方程yy0的(A)，其中C1，C2为任意常数。

A．通解 B．特解 C．是方程所有的解 D． 上述都不对

12．yy满足y|x02的特解是( B)。

A．ye1 B．y2e C．y2e D．

y3ex

13．微分方程yysinx的一个特解具有形式( C )。

A．y*asinx B．y*acosx

C．y*xasinxbcosx D．

y*acosxbsinx

14．下列微分方程中，( A )是二阶常系数齐次线性微分方程。

A．y2y0 B．yxy3y20

C．5y4x0 D．

y2y10

15．微分方程yy0满足初始条件y01的特解为( A )。

A．ex B．ex1 C．ex1 D．

2ex

16．在下列函数中，能够是微分方程yy0的解的函数是( C )。

A．y1 B．yx C．ysinx D．

yex

17．过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程yyx应满足的关系是( C )。

A．y2x B．y2x C．y2x，y13 D．

y2x，y13

18．下列微分方程中，可分离变量的是( B )。

dyydye B．kxaby(k,a,b是常数)

dxxdxdyC．sinyx D．

yxyy2ex

dxxx23x2A．19．方程y2y0的通解是( C )。

A．ysinx B．y4e2x C．yCe2x D．yex

20．微分方程dxdy0满足y|x34的特解是( A )。

yxA．x2y225 B．3x4yC C．x2y2C D．

x2y27

21．微分方程dydx1xy0的通解是y( B )。

A．C1x B．Cx C．xC D．

xC

22．微分方程yy0的解为( B )。

A．ex B．ex C．exex D．

ex

23．下列函数中，为微分方程xdxydy0的通解是( B )。

A．xyC B．x2y2C C．Cxy0 D．

Cx2y024．微分方程2ydydx0的通解为( A )。

A．y2xC B．yxC C．yxC D．yxC

25．微分方程cosydysinxdx的通解是( D )。

A．sinxcosyC B．cosysinxC

C．cosxsinyC D．

cosxsinyC

26．yex的通解为y( C )。

A．ex B．ex C．exC1xC2 D．exC1xC2

27．按照微分方程通解定义，ysinx的通解是( A )。

A．sinxC1xC2 B．sinxC1C2

C．sinxC1xC2 D．

sinxC1C2

一、单项选择题

．设函数fx,y在点x0,y0处连续是函数在该点可偏导的

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

D )

2（3．函数fx,y在点x0,y0处偏导数存在是函数在该点可微分的

( B ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

4．对于二元函数zf(x,y), 下列结论正确的是 ( ). C

A. 若limxxf(x,y)A, 则必有limf(x,y)A且有limyf(x,y)A;

0xx0y0yy0B. 若在(xz0,y0)处x和zy都存在, 则在点(x0,y0)处zf(x,y)可微;

C. 若在(xz0,y0)处x和zy存在且连续, 则在点(x0,y0)处zf(x,y)可微;

D. 若2z2z2z2zx2和y2都存在, 则.

x2y2.

6.向量a3,1,2,b1,2,1，则ab （ A ）

(A) 3 (B)

3

(C)

2 (D) 2

5．已知三点M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2） ，则MAAB = （ C

(A) -1； (B) 1；

(C) 0 ； (D) 2；

6．已知三点M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3） ，则|MAAB|=（ B

(A)2; (B)

22;

(C)2; (D)-2;

7．设D为园域x2y22ax

(a0), 化积分F(x,y)d为二次积分的正确方法D是_________. D

A.

2aa0dxaf(x,y)dy B.

22a2ax20dx0f(x,y)dy

C.

a2acos0daf(cos,sin)d

D.

22acosd0f(cos,sin)d

28．设I31dxlnx0f(x,y)dy, 改变积分次序, 则I______. B

A.

ln3eyf(x,y)dx B.

ln330dy00dyeyf(x,y)dx

C.

ln333lnx0dy0f(x,y)dx D.

1dy0f(x,y)dx

）

）

9． 二次积分2d0cos0f(cos,sin)d 可以写成___________. D

11y20 A.

dy01yy20f(x,y)dx B.

dy010f(x,y)dx

f(x,y)dy C.

dxf(x,y)dy D.

dx0011xx20 10． 设是由曲面x2y22z及z2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分

If(x,y,z)dxdydz表示为三次积分，I________. C

 A．

 B.

2020dd02201220f(cos,sin,z)dz

2dd0f(cos,sin,z)dz

C．

20dd2f(cos,sin,z)dz

0222 D．

20ddf(cos,sin,z)dz

002211．设L为x0y面内直线段，其方程为L:xa,cyd，

则Px,ydx （ C ）

L （A）

a （B）

c

（C） 0 （D）

d

12．设L为x0y面内直线段，其方程为L:ya,cxd，则（ C ）

（A）

a （B）

c

（C） 0 （D）

d

Px,ydy

L13．设有级数un,则limun0是级数收敛的 （ D ）

n1n (A) 充分条件； (B) 充分必要条件；

(C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;

14．幂级数nxn的收径半径R = （ D ）

n1 (A) 3 (B) 0

(C) 2 (D) 1

1n15．幂级数的xn1n（ A ）

(A) 1 (B) 0

(C) 2 (D) 3

收敛半径R 16．若幂级数anxn的收敛半径为R，则anxn2的收敛半径为

n0n0（ A ）

(A)

R (B)

R2

(C)

R (D) 无法求得

 17. 若limnun0, 则级数un( ) D

n1A. 收敛且和为 B. 收敛但和不一定为

C. 发散 D. 可能收敛也可能发散

18. 若un为正项级数, 则( )

n1A. 若limnun0, 则un收敛 B. 若un收敛, 则u2n收敛 B

n1n1n1C. 若u2n, 则un也收敛 D. 若1un发散, 则limun0

n1nn1n19. 设幂级数Cnxn在点x3处收敛, 则该级数在点x1处( ) A

n1A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不定

20. 级数sinnxn1n!(x0), 则该级数( ) B

A. 是发散级数 B. 是绝对收敛级数

C. 是条件收敛级数 D. 可能收敛也可能发散

二、填空题（每题4分，共20分）

1. a?b= （公式）

答案∣a∣?∣b∣cos(a,b)

2. a=(ax，ay，az)，b=(bx，by，zbz)则 a·b = （计算）

答案axbx+ayby+azbz

3.

ab.

ijk答案axayaz

bxbybz4.

[abc] ax答案bxcxaybycyazbz

cz5. 平面的点法式方程是

答案A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

6.设zarcsinx2y2yx，其定义域为 (x,yxxy0xy02y21,yx0)

sinx2y7.设fx,yxy0，则fx0,1 (fx0,11 )

8.fx,y在点x,y处可微分是fx,y在该点连续的 的条件，fx,y在点x,y处连续是fx,y在该点可微分的 的条件. (充分，必要)

9.zfx,y在点x,y的偏导数zz及存在是fx,y在该点可微分的 条件.(必要)

xy10.在横线上填上方程的名称

①y3lnxdxxdy0方程的名称是

答案 可分离变量微分方程；

②xy2xdxyx2ydy0方程的名称是

答案 可分离变量微分方程；

③xdyyyln方程的名称是

dxx答案 齐次方程；

④xyyx2sinx方程的名称是

答案 一阶线性微分方程；

⑤yy2y0方程的名称是

答案 二阶常系数齐次线性微分方程.

11. 在空间直角坐标系{O;i,j,k}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于

(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.

[解]：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)，

M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)，

M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)，

M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)，

M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)， M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c).

类似考虑P (2,－3，－1)即可.

12.要使下列各式成立，矢量a,b应满足什么条件？

（1）abab; （2）abab;

（3）abab; （4）abab;

（5）abab.

[解]：（1）a,b所在的直线垂直时有abab；

（2）a,b同向时有abab;

（3）ab,且a,b反向时有abab;

（4）a,b反向时有abab;

（5）a,b同向，且ab时有abab.

13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；

（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.

[解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点

二、填空题

2．设fx,ycosxy1lnx2y2，则

fx\'(0,1) =____0______.

3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是

4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是

5．柱面坐标下的体积元素

dvdddz

6．设积分区域D:x2y2a2, 且dxdy9, 则a 3 。

D1．设f(x,y)sinx(y1)ln(x2y2)，则

fx(0,1)___1___.

7． 设D由曲线asin,a所围成, 则dxdyD32a

48． 设积分区域D为1x2y24,

2dxdy6

D9．设fx,y在[0， 1]上连续，如果110010fxdx3，

则dxfxfydy=_____9________.

10．设L为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则

xyds2 .

L 11．设L为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，

则

xyds___________. 0

L12．等比级数aq(a0)当

q1 时，等比级数aqn收敛.

nn1n1 13．当__1__时，p级数14．当_________时,级数n11是收敛的.

pn1n1n11p是绝对收敛的.

1

n 15．若f(x,y)xy1x, 则fx(2,1)_________. ,

2yy216．若f(x,y)xy(x1)arccos, 则fy(1,y)_________.

3y2

2x3xy 17．设uzxy, 则du_________.

zxyylnxdxxlnzdydz

z18．设zylnx2zlny(lny1)lnx, 则2__________.

y

2xx222119. 积分dxeydy的值等于_________.

(1e4),

0x220.设D为园域x2y2a2, 若x2y2dxdy8, 则a_______. 2

D421.设I2dxdydz, 其中:x2y2z2a2,z0, 则I_______.

a3

3三、是非题（每题4分，共20分）

1. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( ⅹ )

sinx1. ( ⅹ )

xxx22. (ⅹ ) 3.

limxx332.

lim4. 对于任意实数x, 恒有sinx5.

y0是指数函数. ( ⅹ )

6. 函数ylogaxx成立. (ⅹ )

x0a1的定义域是0,. (ⅹ )

7.

log23log321. (√ )

8. 如果对于任意实数xR, 恒有fx0, 那么yfx为常函数. (√ )

9. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ )

10. 指数函数是基本初等函数. (√ ) 11.

limx0x0. ( √ )

x3212. 函数yx3x4为基本初等函数. (√ )

13.

14.

15.

axdx1a1xC. ( ⅹ )

a1arcsinx是基本初等函数. ( ⅹ )

sinx与x是等价无穷小量. (ⅹ )

x16.

e1与x为等价无穷小量. ( ⅹ )

17. 若函数fx在区间a,b上单调递增, 那么对于任意xa,b, 恒有fx0. ( ⅹ )

18. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( ⅹ )

19. 当奇函数fx在原点处有定义时, 一定成立f00. (√ )

fxx1,1连续, 那么函数yfxx1,1为奇函数. (√ )

fxx1,1连续, 那么函数yfxx1,1为偶函数. (√ )

20. 若偶函数y21. 若奇函数y22. 偶函数与奇函数的乘积为奇函数. (√ )

23. 奇函数与奇函数的乘积为偶函数. ( √ )

24. 若函数25. 若函数fx为奇函数, 那么一定成立f00. (√ )

fx为偶函数, 那么一定成立f00. ( ⅹ )

26.

sinx27.

28.

29.

cosx. (ⅹ )

sinxcosxsin2x. (ⅹ )

aa. (ⅹ )

xxsinxxsinx. ( ⅹ )

30. 单调函数一定存在最大值与最小值. ( ⅹ )

31. 单调函数一定存在反函数. (√ )

32. 互为反函数的两个函数的图像关于直线33. 若定义域为yx对称. ( √ )

的函数fx存在反函数, 那么fx在区间0,1上单调. ( √ )

0,1n2x1. (√ ) 34.

limn2n21235. 对于任意的a,bR, 恒有ab2ab. ( √ )

36. 函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )

37. 若函数fx在其定义域内处处有切线, 那么该函数在其定义域内处处可导. (ⅹ )

38. 空集是任意初等函数的定义域的真子集. (ⅹ )

39.

sini0ix为初等函数. (ⅹ )

40. 对于任意的xR, 恒有x12x. ( ⅹ )

41. 左右导数处处存在的函数, 一定处处可导. ( ⅹ )

下列题（1．×；2．×；3． √；4．×；5．√）

1．任意微分方程都有通解。( × )

2．微分方程的通解中包含了它所有的解。(× )

3．函数y3sinx4cosx是微分方程yy0的解。(

√ )

4．函数yx2ex是微分方程y2yy0的解。(×)

5．微分方程xylnx0的通解是y1lnx2C (C为任意常数)。(√ )

2下列是非题（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）

1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( )

2．若y1x，y2x都是yPxyQx的特解，且y1x与y2x线性无关，则通解可表为yxy1xCy1xy2x。( )

3．函数ye1xe2x是微分方程y12y12y0的解。( )

4．曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是yx2C(C是任意常数)。( )

5．微分方程ye2xy，满足初始条件y|x00的特解为ey是非题（1．×；2．√；）

1．只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。

12xe1。( )

22．已知二阶线性齐次方程yPxyQxy0的一个非零解y，即可

四、计算证明题（每题10分，共40分） n21、判断积数收敛性(1)

n!n1n22n1un2 解：

limlim(n1)2lim1

nunnnn12(n1)!2nn!2n2由比值法，级数(1)发散

n!n1n22．ydxxdyxydy

解：两边同除以x，得：

即22y12yc

x23．dyy

dxxxy解：两边同除以x，得

yu

xdydu 则

uxdxdx 令 即udydu

uxdxdx1u得到11clnyu222，

1即xyclny

2另外y0也是方程的解。

4．xy1ydxxdy0

解：ydxxdyxydx0

得到dx12xc

2y 即x12xc

y2 另外y0也是方程的解。 5．求方程y2y5y0的通解.

解: 所给方程的特征方程为

所求通解为

yex(C1cos2xC2sin2x).

6.求.

解

7．求方程y2y3y0的通解.

解 所给方程的特征方程为

r2r30

其根为

r13,r21

所以原方程的通解为

yC1e8.证明3x2C2ex

x,y0,0x2y2limx2y2xy22极限不存在

8)因为limx2y2xyxy22x0xy1,limx2y2xyxy222x0y2x0所以极限不存在

xy29.证明lim极限不存在

x,y0,0x2y4xy2k9)设y=kx，lim2不等于定值，极限不存在

2y0xy4k122xky10.计算xydD 其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域

解 画出区域D

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

422y2x1xx1293[][x]dx(xx)dxxyd[xydy]dx1

121211124282x2D注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D11112x2x11．解：dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

dxdy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c

y2y=ex+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1

特解为y= ex.

12. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y2dx=-(x+1)dy

21dydy=-dx

2yx1两边积分: -1y=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1特解：y=1ln|c(x1)|

13.

(x2y)dx(x2y)dy0

解：

My1，Nx=1 .

则MyNx

所以此方程是恰当方程。

凑微分，x2dx2ydy(ydxxdy)0

得 ：13x3xyy2C

14．

(y3x2)dx(4yx)dy0

解：

My1，Nx1 .

则MyNx .

所以此方程为恰当方程。

凑微分，ydxxdy3x2dx4ydy0

得

x3xy2y2C

1ln|c(x1)|

时 c=e 15. 求(x,y)(0, 0)limxy11

xy 解

(x,y)(0, 0)limxy11(xy11)(xy11)1lim1

lim(x,y)(0, 0)xy112xy(x,y)(0, 0)xy(xy11)16. 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数

解

z2x3y

z3x2y

zxyx323z21328

x1yy2x131227

y22223zzz17. 设zxy3xyxy1 求2、3、和z

yxxyxx 解

z3x2y23y3y

z2x3y9xy2x

yx23z22

26xy

z6yx3x22zz6x2y9y21 226xy9y1

xyyx22z0

 18. 验证函数zlnx2y2满足方程zx2y2 证 因为zlnx2y21ln(x2y2) 所以

2y

z2x2

z22

yxyxxy2(x2y2)x2xy2x2z222

2222x(xy)(xy)2(x2y2)y2yx2y2z222

2y(x2y2)2(xy)22x2y2y2x2zz因此

222222220 xy(xy)(xy)19. 计算函数zx2y y2的全微分

解 因为z2xy

zx22y

yx所以dz2xydx(x22y)dy 

20. 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值  当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

21.函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值 22. 已知三角形ABC的顶点分别是A (123)、B (345)、C (247)求三角形ABC的面积

解 根据向量积的定义可知三角形ABC的面积

11SABC|AB||AC|sinA|ABAC|

22由于AB(222)AC(124)因此

ijkABAC2224i6j2k

124于是

SABC1|4i6j2k|142(6)22214

2223. 设有点A(1 2 3)和B(2 1 4) 求线段AB的垂直平分面的方程 

解 由题意知道 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹 设M(x y z)为所求平面上的任一点 则有

|AM||BM|

即

(x1)2(y2)2(z3)2(x2)2(y1)2(z4)2 

等式两边平方 然后化简得

2x6y2z70 

这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程 

24. 求过点(2 3 0)且以n(1 2 3)为法线向量的平面的方程

解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为

(x2)2(y3)3z0

即 x2y3z80

25.求通过x轴和点(4 3 1)的平面的方程

解 平面通过x轴 一方面表明它的法线向量垂直于x轴 即A0 另一方面表明它必通过原点 即D0 因此可设这平面的方程为

ByCz0

又因为这平面通过点(4 3 1) 所以有

3BC0

或 C3B 

将其代入所设方程并除以B (B0) 便得所求的平面方程为

y3z0

26.求直线L1:x11yz3和L2:xy2z的夹角

41221 解 两直线的方向向量分别为s1

(1 4 1)和s2

(2 2 1) 设两直线的夹角为  则

cos|12(4)(2)1(1)|12

2212(4)21222(2)2(1)2 

所以 4例1 求幂级数

的收敛半径与收敛域 1a 解 因为 lim|n1| limn11

nann1n所以收敛半径为R11

 当x1时 幂级数成为(1)n1n11 是收敛的

n 当x1时 幂级数成为(n11) 是发散的 因此 收敛域为(1, 1]

n 例2 求幂级数的收敛域

n0n!xn

11a(n1)!  limn!0 解 因为 lim|n1|  limnannn(n1)!1n!所以收敛半径为R 从而收敛域为(, )

例3 求幂级数 解 因为

n0n!xn的收敛半径

 lim|nan1(n1)!|  lim

nann!所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛

例5 计算L2xydxx2dy 其中L为抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧

PQ2x在整个xOy面内都成立

yx 解 因为所以在整个xOy面内 积分

12dy1

L2xydxx2dy与路径无关

xdyydxLx2y2001讨论 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 问是否一定成立？

提示 这里P2和Q2在点(0 0)不连续

22xyxyyxQy2x2222P 所以如果(0 0)不在L所围成的区域内 则结论成立 而当(0 0)在因为当xy0时

x(xy)y22L所围成的区域内时 结论未必成立

例6 验证 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数

解 这里Pxy2 Qx2y

因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有

Q2xyP

xy所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分

取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数为

u(x,y)(x,y)(0, 0)xydxxydy0xydyx022y220yx2y2

ydy2