2024年4月11日发(作者：潍坊二模2022数学试卷)

数学

卷Ⅰ

一、选择题（本题有10小题，第1-5小题，每小题3分，第6-10小题，每小题4分，共35分，每

小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1.如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（）

A.

1

B.0C.1

）

D.2

2.

截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（

A.B.

C.D.

国际上将一颗距地球约

218000000

公里的行星命名为“苏步青

3.

苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，

星”．数据

218000000

用科学记数法表示为（

A.

0.21810

9

B.

2.1810

8

）

C.

21.810

7

D.

21810

6

4.

某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，

则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（

A.

）

C.

1

2

1

4

B.

1

3

D.

2

3

5.

某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．为了解学生想法，校方进

行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择雁荡山的有

270

人，那么选择楠溪江的有（）

A.90

人

B.180

人

）

C.270

人

D.360

人

6.化简

a

4

(a)

3

的结果是（

A.

a

12

B.

a

12

C.

a

7

D.

a

7

7.

一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的

1.5

倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共

30g

．设蛋白

质、脂肪的含量分别为

x

g

，

y

g

，可列出方程为（

A.

）

5

xy

30

2

B.

x

5

y

30

2

C.

3

xy

30

2

D.

x

3

y

30

2

8.

图

1

是第七届国际数学教育大会（

ICME

）的会徽，图

2

由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形

CDEF

，使点

D

，

E

，

F

分别在边

OC

，

OB

，

BC

上，过点

E

作

EHAB

于点

H

．当

ABBC

，

BOC30

，

DE2

时，

EH

的长为（）

A.

3

B.

3

2

C.

2

D.

4

3

3

，则

CAO

的度数与

9.如图，四边形

ABCD

内接于

O

，

BC∥AD

，

AC

BD

．若

AOD120

，

AD

BC

的长分别为（）

A10°，1

.

B.10°，

2

C.15°，1D.15°，

2

10.

【

素材

1

】某景区游览路线及方向如图

1

所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路

程相等．

【素材

2

】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留

20

分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时

3

小时

25

分钟；小

州游路线①②⑧，他离入口的路程

s

与时间

t

的关系（部分数据）如图

2

所示，在

2100

米处，他到出口还要走

10

分钟．

【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）

A.4200

米

B.4800

米

C.5200

米

D.5400

米

卷Ⅱ

二、填空题（本题有6小题，第11—15小题，每小题4分，第16小题5分，共25分）

11.分解因式：

2a

2

2a

____________．

12.

某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数直方图

(

每一组含前一个边界值，不含后一个边界值

)

如图所示，其中成

绩在

80

分及以上的学生有

___________

人．

x

3

2

13.不等式组

3

x

1

的解是___________．

4

2

14.

若扇形的圆心角为

40

，半径为

18

，则它的弧长为

___________

．

15.

在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强

P

（

kPa

）

与汽缸内气体的体积

V

（

mL

）成反比例，

P

关于

V

的函数图象如图所示．若压强由

75kPa

加压到

100kPa

，则气

体体积压缩了

___________

mL

．

16.图1是

44

方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为

2

，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过

左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形

CDEF

作为题字区域

(

点

A

，

E

，

D

，

B

在圆上，点

C

，

F

在

AB

上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点

A

，

N

，

M

在同一直线上，

AB∥PN

，

DE

则题字区域的面积为

___________

．

6EF

，

三、解答题（本题有8小题，共90分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17.

计算：

1

（1）

1

3

8



4

．

3

a

2

23

（2）．

a

11

a

18.

如图，在

24

的方格纸

ABCD

中，每个小方格的边长为

1

．已知格点

P

，请按要求画格点三角形（顶点均在格

点上）．

2

（1）在图中画一个等腰三角形

PEF

，使底边长为

2

，点E在

BC

上，点F在

AD

上，再画出该三角形绕矩形

ABCD

的中心旋转

180°

后的图形．

（2）在图中画一个

Rt△PQR

，使

P45

，点Q在

BC

上，点R在

AD

上，再画出该三角形向右平移1个单位

后的图形．

19.

某公司有

A

，

B

，

C

三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为

300

元、

380

元、

500

元．阳阳打算从该公

司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为

210

km

，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满

电后的里程数据如图所示．

型号平均里程（

km

）中位数（

km

）众数（

km

）

B

C

216

225

215

227.5

220

227.5

（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数．

（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等

进行分析，给出合理的用车型号建议．

20.如图，在直角坐标系中，点

A

2,m

在直线

y

2

x

5

上，过点A的直线交y轴于点

B

0,3

．

2

（1）求m的值和直线

AB

的函数表达式．

（2）若点

P

t,y

1

在线段

AB

上，点

Q

t1,y

2

在直线

y

2

x

5

上，求

y

1

y

2

的最大值．

2

21.如图，已知矩形

ABCD

，点E在

CB

延长线上，点F在

BC

延长线上，过点下作

FHEF

交

ED

的延长线于

点H，连结

AF

交

EH

于点G，

GEGH

．

（1）求证：

BECF

．

（2）当

AB

5

，

AD4

时，求

EF

的长．

FH

6

22.一次足球训练中，小明从球门正前方

8m

的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为

6m

时，球达到最高点，此时球离地面

3m

．已知球门高

OB

为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

（

1

）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．

（

2

）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射

门，才能让足球经过点

O

正上方

2.25m

处？

23.

根据背景素材，探索解决问题．

测算发射塔的高度

某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔

的高度

MN

（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）

在

A

，

B

，

C

三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所

示．

背

景

素

材

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．

问题解决

分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________

写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的

获取数据

图上距离．

推理计算计算发射塔的图上高度

MN

．

任

务

1

任

务

2

任

楼房实际宽度

DE

为

12

米，请通过测量换算发射塔

务

3

注：测量时，以答题纸上

的

图上距离为准，并精确到1

mm

．

24.如图1，

AB

为半圆

O

的

直径，

C

为

BA

延长线上一点，

CD

切半圆于点

D

，

BECD

，交

CD

延长线于点

E

，

交半圆于点

F

，已知

OA

交

换算高度

的实际高度．

3

，

AC1

．如图

2

，连接

AF

，

P

为线段

AF

上一点，过点

P

作

BC

的平行线分别

2

M

CE

，

BE

于点，

N

，过点

P

作

PHAB

于点

H

．设

PHx

，

MNy

．

（1）求

CE

的长和

y

关于

x

的函数表达式．

（2）当

PHPN

，且长度分别等于

PH

，

PN

，

a

的

三条线段组成的三角形与

BCE

相似时，求

a

的值．

（3）延长

PN

交半圆

O

于点

Q

，当

NQ

15

x

3

时，求

MN

的长．

4

数学

卷Ⅰ

一、选择题（本题有10小题，第1-5小题，每小题3分，第6-10小题，每小题4分，共35分，每

小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1.如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（）

A.

1

【答案】

D

B.0C.1D.2

【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．

【详解】解：由数轴可知点

A

表示的数是

1

，所以比

1

大

3

的数是

132

；

故选

D

．

【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．

2.

截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（）

A.B.

C.

【答案】

A

D.

【分析】根据几何体的三视图可进行求解．【详解】解：由图可知该几何体的主视图是；

故选：

A

．

【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题

的

关键．

国际上将一颗距地球约

218000000

公里的行星命名为“苏步青

3.

苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，

星”．数据

218000000

用科学记数法表示为（

A.

0.21810

9

B.

2.1810

8

）

C.

21.810

7

D.

21810

6

【答案】

B

【分析】科学记数法的表示形式为

a

10

n

的形式，其中

1

a

10

，n为整数．确定n的值时，要看把原数变

成

a

时，小数点移动了多少位，

n

的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于

10

时，

n

是正整数；

当原数的绝对值小于

1

时，

n

是负整数．

【详解】解：数据

218000000

用科学记数法表示为

2.1810

8

；

故选

B

．

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．

4.

某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，

则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（

A.

）

C.

1

2

1

4

B.

1

3

D.

2

3

【答案】

C

【分析】根据概率公式可直接求解．

【详解】解：∵有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山，

∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为

故选：

C

．

【点睛】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，正确理解题意是关键．

5.

某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．为了解学生想法，校方进

行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择雁荡山的有

270

人，那么选择楠溪江的有（）

21

；

42

A.90

人

【答案】

B

B.180

人

C.270

人

D.360

人

【分析】根据选择雁荡山的有

270

人，占比为

30%

，求得总人数，进而即可求解．

【详解】解：∵雁荡山的有

270

人，占比为

30%

，

∴总人数为

270

900

人

30%

∴选择楠溪江的有

90020%180

人，

故选：

B

．

【点睛】本题考查了扇形统计图，从统计图获取信息是解题的关键．

6.化简

a

4

(a)

3

的结果是（

A.

a

12

【答案】

D

【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．

【详解】解：

a

4

(a)

3

aa

故选：

D

．

【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关

键．

7.

一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的

1.5

倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共

30g

．设蛋白

质、脂肪的含量分别为

x

g

，

y

g

，可列出方程为（

A.

）

4

）

C.

a

7

D.

a

7

B.

a

12

3

a

7

，

5

xy

30

2

B.

x

5

y

30

2

C.

3

xy

30

2

D.

x

3

y

30

2

【答案】

A

【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共

30g

列方程．

【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为

xg

，

yg

，则碳水化合物含量为

(1.5x)g

，

则：

x1.5xy30

，即

故选

A

．

5

xy

30

，

2

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方

程．

8.

图

1

是第七届国际数学教育大会（

ICME

）的会徽，图

2

由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形

CDEF

，使点

D

，

E

，

F

分别在边

OC

，

OB

，

BC

上，过点

E

作

EHAB

于点

H

．当

ABBC

，

BOC30

，

DE2

时，

EH

的长为（）

A.

3

B.

3

2

C.

2

D.

4

3

【答案】

C

【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出

OB33

，

BE3

，继而

OAOB

2

AB

2

32

求出再根据

sin

OBA

OAEH

6

，即可求

EHEBsinOBA2

．



OBEB

3

【详解】解：∵在菱形

CDEF

中，

CDDEEFCF2

，

DE∥BC

，

∴

CBODEO90

，

又∵

BOC30

，

∴

OD

DE

2



4

，

OEODcosBOC4cos3023

，

sin

BOC

sin30

1

3

，

OBOCcosBOC6cos3033

，

2

3

∴

OCCDOD246

，，

∴

BCOC

sin

BOC

6

∴

BEOBOE3323

∵

ABBC3

，

∴在

RtOBA

中，

OAOB

2

AB

2

∵

EHAB

，

∴

sin

OBA

33

3

2

2

32

，

OAEH

326

，



OBEB

33

3

3

6

2

，

3

∴

EHEB

sin

OBA

故选

C

．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出

OC

、

OB

、

OA

是解题

关键．

9.如图，四边形

ABCD

内接于

O

，

BC∥AD

，

AC

BD

．若

AOD120

，

AD3

，则

CAO

的度数与

BC

的长分别为（）

A.10°，1

【答案】

C

B.10°，

2

C.15°，1D.15°，

2

【分析】过点

O

作

OEAD

于点

E

，由题意易得

CADADB45CBDBCA

，然后可得

1

OADODA30

，

ABDACDAOD

60

，

2

12

，最后问题可求解．

CD

2

OC

2,

CFCD

22

AE

13

AD

22

，进而可得

【详解】解：过点O作

OEAD

于点E，如图所示：

∵

BC∥AD

，

∴

CBDADB

，

∵

CBDCAD

，

∴

CADADB

，

∵

AC

BD

，

∴

AFD90

，

∴

CADADB45CBDBCA

，

∵

AOD120

，

OAOD

，

AD3

，

1

13

AOD

60

，

AEAD

，

2

22

∴

OADODA30

，

ABDACD

∴

CAOCADOAD15

，

OA

AE

1

OCOD

，

BCDBCAACD105

，

cos30

∴

COD2CAD90,CDB180BCDCBD30

，

∴

CD

∴

BC

故选

C

．

12

，

2

OC

2,

CFCD

22

2CF1

；

【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是

解题的关键．

10.

【素材

1

】某景区游览路线及方向如图

1

所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段

路程相等．

【素材

2

】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留

20

分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时

3

小时

25

分钟；小

州游路线①②⑧，他离入口的路程

s

与时间

t

的关系（部分数据）如图

2

所示，在

2100

米处，他到出口还要走

10

分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）

A.4200

米

【答案】

B

B.4800

米

C.5200

米

D.5400

米

【分析】设①④⑥各路段路程为

x

米，⑤⑦⑧各路段路程为

y

米，②③各路段路程为

z

米，由题意及图象可知

xyzxyz

2100

，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线

4510

①④⑤⑥⑦⑧用时

3

小时

25

分钟”可进行求解．

【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为

75104045

（分钟），小温游玩行走的时间为

205100105

（分钟）；

设①④⑥各路段路程为

x

米，⑤⑦⑧各路段路程为

y

米，②③各路段路程为

z

米，由图象可得：

xyzxyz

2100

，

4510

解得：

xyz2700

，

∴游玩行走的速度为

27002100

1060

（米/秒），

由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为

3x3y105606300

，

∴

xy2100

，

∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为

2x2yzxyzxy270021004800

（米）；

故选

B

．

【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量

关系．

卷Ⅱ

二、填空题（本题有6小题，第11—15小题，每小题4分，第16小题5分，共25分）

11.分解因式：

2a

2

2a

____________．【答案】

2a(a1)

．

【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．

【详解】解：

2a

2

2a2a(a1)

．

故答案为：

2a(a1)

．

【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题．

12.

某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数直方图

(

每一组含前一个边界值，不含后一个边界值

)

如图所示，其中成

绩在

80

分及以上的学生有

___________

人．

【答案】

140

【分析】根据频数直方图，直接可得结论．

【详解】解：依题意，其中成绩在

80

分及以上的学生有

80+60=140

人，

故答案为：

140

．

【点睛】本题考查了频数直方图，从统计图获取信息是解题的关键．

x

3

2

13.不等式组

3

x

1

的解是___________．

4

2

【答案】

1x3

##

3x1

【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．

x

3

2

①

【详解】解不等式组：

3

x

1

4

②

2

解：由①得，

x1

；由②得，

x3

所以，

1x3

．

故答案为：

1x3

．

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知求公共解的原则是解题关键．

14.

若扇形的圆心角为

40

，半径为

18

，则它的弧长为

___________

．

【答案】

4π

【

分析】根据弧长公式

l

n

π

r

即可求解．

180

【详解】解：扇形的圆心角为

40

，半径为

18

，

∴它的弧长为

40

18π

4π

，

180

故答案为：

4π

．

【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．

15.

在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强

P

（

kPa

）

与汽缸内气体的体积

V

（

mL

）成反比例，

P

关于

V

的函数图象如图所示．若压强由

75kPa

加压到

100kPa

，则气

体体积压缩了

___________

mL

．

【答案】

20

【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为

P

【详解】解：设P关于V的函数解析式为

P

∴P关于V的函数解析式为

P

∴当

P75kPa

时，则

V

6000

，然后问题可求解．

V

k

，由图象可把点

100,60

代入得：

k

6000

，

V

6000

80

，

75

6000

，

V

∴压强由

75kPa

加压到

100kPa

，则气体体积压缩了

1008020mL

；故答案为

20

．

【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．

16.图1是

44

方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为

2

，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过

左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形

CDEF

作为题字区域

(

点

A

，

E

，

D

，

B

在圆上，点

C

，

F

在

AB

上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点

A

，

N

，

M

在同一直线上，

AB∥PN

，

DE

则题字区域的面积为

___________

．

6EF

，

【答案】①.5②.

64

6

25

【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得

r

，连接

OE

，


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