1999年河南省中考数学试卷

2023年12月3日发(作者：长沙县2023数学试卷)

1999年河南省中考数学试卷

20 小题，每小题

1． （ 2分）1999 ? 河南）|﹣ |的倒数是

22xy﹣ 9xy+5xy﹣ 25 的二次项系数是

2． （ 2 1999 ?分） 河南）多项式

2 分，满分 40 分）

3． （ 2 1999 ?分） 河南）当a= ， b=﹣ 6时，代数式 的值是

4． （ 2 1999 ?分） 河南）方程组 的解是

5． （ 2 1999 ?分） 河南）

的相6． （ 2 1999 ?分） 河南）一次函数y=kx+b ，当 k< 0 时， y随 x 的增大而

7． （ 2 1999 ?分） 河南）当x=2 时，函数 y=x + 的值是

8．

（ 2

分）

1999?河DE∥ BC， CD 是∠ ACB 的平分线，∠ ACB=50 °，则∠ EDC=9． （ 2 分） （ 1999 ?x= 河南）当 时，分式 无意义．

10． （ 2 分）

（ 1999?河南）已知 是．

a， b， c 是 △ ABC 的三条边，a=7， b=10 ，那么 c 的取值范围

11． （ 2 分） （ 1999?河南）由四舍五入得到的近似数54.80，精确到

12． （ 2 分）

（ 1999?河南）一个角的补角与它的

位．

3： 1，则这个角是

第

1

页（共

19

页）

2249+14x+x ﹣ y=

13． （ 2 分）1999? 河南）分解因式：

cm．

14． （ 2 分）1999? 河南）数据98 ， 99，100 ， 101， 102 的方差是

x+x+1 ) ( x﹣ x+1 ) =

15． （ 2 分）1999? 河南）计算：x+1 )

16． （ 2 分）1999? 河南）计算

2217． （ 2 分）1999? 河南）求值：

18．（ 2 分） （ 1999?河南） 已知： a=24cm， b=54cm， 那么 a和 b 的比例中项是

19．

角形的边长为

圆环的

面积 S= ．

ECB=3 ： 1，则∠ ACE=

20．

图，在矩形

度．

（ 2 分） （ 1999?河南）已知正三a，那么它的内切圆与外接圆组成的（ 2 分） （ 1999?河南）已知：如ABCD 中， CE⊥ BD， E 为垂足，∠DCE：

5 小题，每小题

分，满分3

15

21． 3 分） （ 1999?河南）不等式

分）

A． 2 个 B． 3 个 C． 4 个 D． 5 个

） 22． 3 分） 1999?河南）下列抛物线中，对称轴是直线x= 的是（

A．

2

y=

x

B． y=x

2﹣ x C． y=x

2+x+2 D ． y=x

2﹣ x﹣

1999?河23． 3 分） 4cm，圆的半径为 3cm，那么这个梯

形的腰长南）圆外切等腰梯为（

D．

形的上底A．24． （ 3 分） （ 2013?西宁）使两个直角三角形全等的条件是（第

2

页（共

19

页）

A．一个锐角对应相等 B ．两个锐角对应相等

C．一条边对应相等 D ．两条边对应相等

25．

5x2+kx﹣ 6=0 的一个根是

为 x1，则有（ ）

A．

（ 3 分） （ 1999?河南） 已知关于 x 的方程2， 设方程的另一个根

， k= ﹣ 7 C． ， k=7 D ． ， k=7

， k=﹣ 7

B ．

三、解答题（共 8 小题，满分 45 分）

26． （ 4 分） （ 1999?河南）计算：

27． （ 4 分）

二次函数的图象经过点（

（ 0， 1） ， （﹣

求这个二次函数的解析式．

（ 1999?河南）已知一个1 ，﹣ 1 ） ，

1， 13） ，

28． （ 4 分） （ 1999?河南）求作线段 AB 的垂直平分线（写出已知、求作、作法，画出图形，

不证明） ．

29．

解方程

（ 5 分） （ 1999?河南）+6=0

30． （ 5 分） （ 1999?河南）已知：如图，在梯形

ABCD 中， AB ∥ DC，中位线 EF=7cm，对角

31． （ 7 分）

（ 1999?河南）某公司存入银行甲乙两种不同性质的存款共 20 万元．甲种存款的

年利率为 1.4%，乙种存款的年利率为 3.7%，该公司一年共得利息 6250 元．求甲、乙两种

存款各多少万元？

第

3

页（共

19

页）

32． （ 7 分） （ 1999?河南）

⊙ O 上一点， AD 和过 C 点的切线相交于

D ，和⊙ O 相交于 E．如果 AC 平分∠ DAB ，

（ 1 ）求证：∠ ADC=90 °；

（ 2）若 AB=2r ， AD= r，求 DE．AB 为⊙ O 的直径， C 为33． （ 9 分） （ 1999?河南）如图，已知在 △ ABC

中，∠ B=90 °． O 是 AB 上一点，以 O 为圆

心， OB 为半径的半圆与 AB 交于点 E， 与 AC 切于点 D，AE=1 ． 求证： S△ AOD、 S△ BCD

是方程 10x2﹣ 51x+54=0 的两个根．第

4

页（共

19

页）

， AD=2

1999年河南省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共 20 小题，每小题

1．

2 分，满分 40 分）

（ 2分） （ 1999?河南） |﹣ |的倒数是 4 ．

【考点】 倒数．

【分析】 先求出绝对值，再求倒数．

【解答】 解： |﹣ |= ， 的倒数是 4．

【点评】本题主要考查了倒数的定义：两数的乘积为 1 ，即两数互为倒数．

2． （ 2分） （ 1999?河南）多项式 xy2﹣ 9xy+5x2y﹣

25 的二次项系数是 ﹣ 9 ．

【考点】 多项式．

【分析】 先找出多项式的二次项，再找出二次项系数即可．

【解答】 解：多项式 xy2﹣ 9xy+5x

2y﹣ 25 的二次项﹣ 9xy，系数是﹣ 9．

【点评】 多项式是由单项式组成的，本题首先要确定是由几个单项式组成， 要记住常数项也

是一项，单项式前面的符号不能漏掉．

3．

数式

（ 2分） （ 1999?河南）当

的值是 ﹣ 3

a= ， b=﹣ 6时，代【考点】 代数式求值．

【分析】 把所求代数式化为两个分数，利用倒数关系代值，更简便．

【解答】 解： = ﹣

﹣ 3=﹣ 3 ．

把一个分式拆分为两个分式，可避免繁分数的运算，简化运算．

4． （ 2 分） （ 1999?河南）方程组

的解是

【考点】 解二元一次方程组．

【分析】 用代入法解方程组即可．

【解答】 解：由上边的方程得： x=4+2y ③ ，

把 ③ 代入下边的方程得： 3y= ﹣ 6，

第

5

页（共

19

页）

解得 y=﹣ 2，

把 y= ﹣ 2 代入 ③ 得： x=0．

【点评】

悉二元一次方程组的解法，

据方程组的特点进行有针对性的计算．

5．

实数的性质．

首先化简

解：

本题要求同学们不仅熟悉代入法， 更需要熟解题时要根

（ 2 分） （ 1999 ?河南） 的相反数是 ﹣ ．

，然后根据相反数的定义即可求解．

=﹣ ． 的相反数是﹣

此题主要考查了相反数的定义，注意解题时，首先要把根式化为最简根式．

6． （ 2分） （ 1999 ?河南）一次函数 y=kx+b，当

k< 0 时， y随 x 的增大而 减小 ．

【考点】 一次函数图象与系数的关系．

【分析】 根据一次函数图象的增减性解答即可．

【解答】解：∵一次函数 y=kx+b 中， k< 0，

∴ y 随 x 的增大而减小．

【点评】 此题利用的规律：在直线 y=kx+b 中，

当 k> 0 时， y 随 x 的增大而增大；

当 k< 0 时， y 随 x 的增大而减小．

7． （ 2 分） （ 1999 ?河南）当 x=2 时，函数 y=x

2+ 的值是 6 ．

【考点】 函数值．

【专题】 计算题．

【分析】 根据函数的定义，把 x=2 代入函数关系式即可求得 y 的值．

【解答】 解：直接把 x=2 代入得

y=x + =4+ =4+2=6 ．

故填 6．

【点评】 本题比较容易，考查求函数值．

（ 1 ）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；

（ 2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．

8．

ACB 的平分线，∠

（ 2 分） （ 1999?河南）如图， DE∥ BC， CD 是∠

ACB=50 °，则∠ EDC=

第

6

页（共

19

页）

平计

质；角平分线算题因为 CD 为角平分线，且∠

知，所以可求出∠ DCB，又因为平行，

根据内错角相等可求出∠ EDC．

行线的性的定义．

．

ACB 的度数为已

解：∵ CD 是∠ ACB 的平分线，

∴∠ DCB= ∠ ACB=25 °；

∵ DE∥ BC，

∴∠ EDC= ∠ DCB=25 °．

【点评】 运用了平行线的性质以及角平分线的概念．

9． （ 2 分） （ 1999 ?河南）当 x= 3 时，分式 无意义．

【考点】 分式有意义的条件．

【专题】 计算题．

【分析】要使分式无意义，分式的分母等于 0．

【解答】 解：根据题意知，分式没有意义，

则 3﹣ x=0，

所以 x=3 ．

故答案为 x=3．

【点评】 解此类问题，只要令分式中分母等于 0，求得 x 的值即可．

10． （ 2 分） （ 1999?河南）已知 a， b， c是

△ ABC 的三条边， a=7， b=10，那么 c的取值范围

是 3< c< 17 ．

【考点】 三角形三边关系．

【分析】 已知三角形中两边的长，可根据三角形三边关系定理来确定第三边的取值范围．

【解答】 解：根据三角形三边关系定理，得：

b﹣ a< c< b+a，即： 10﹣ 7< c< 10+7，

故 3< c< 17．

【点评】 已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

11．

入得到的近似数

（ 2 分） （ 1999?河南）由四舍五54.80，精确到 百分 位．

第

7

页（共

19

页）

【考点】 近似数和有效数字．

【分析】 近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．

【解答】 解： 54.80 是精确到了小数点以后第二位，即是百分位．

【点评】 对于有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．

12． （ 2 分） （ 1999?河南）一个角的补角与它的余角的度数比是 3： 1 ，则这个角是 45

度．

【考点】 余角和补角．

【专题】 计算题．

【分析】 根据补角和余角的定义列式计算．

【解答】 解：设这个角为 α，则它的补角为180° ﹣ α，余角为90°﹣ α，

根据题意（ 180° ﹣ α） ： （ 90°﹣ α） =3： 1，

解得 α =45°．

故答案为 45．

【点评】 本题利用补角、余角的定义求解，互为补角的两角之和是 180，互为余角的两角之

和是 90°．

13． （ 2 分） （ 1999?河南）分解因式： 49+14x+x

2﹣ y2= （ x+y+7） （ x﹣ y+7） ．

【考点】 因式分解 -分组分解法．

【分析】 当被分解的式子是四项时， 应考虑运用分组分解法进行分解． 本题中前三项正好符

合完全平方式的公式，应考虑三一分组，然后再运用平方差公式进行二次分解．

22【解答】 解： 49+14x+x ﹣ y，

=（ 49+14x+x

2

y2

= （ x+7 ）

2﹣ y2，

）﹣，= （ x+y+7 ） （ x﹣ y+7） ．

【点评】 本题考查了用分组分解法进行因式分解， 难点是采用两两分组还是三一分组， 要考

虑分组后还能进行下一步分解．

14．

101， 102 的方差是

【考点】 方差．

【专题】 计算题．

【分析】

S2=

+（ xn﹣

根据平均数和方差的公式计算．方差［（ x1﹣ ）

2+（ x2﹣ ）

2+⋯

）

第

8

页（共

19

页）

（ 2 分） （ 1999?河南）数据 98， 99， 100，

2 ．

2

］．

【解答】 解：平均数 = （ 98+99+100+101+102 ） =100，

2方差 s2= ［（ 98﹣ 100）

2 101 ﹣ 100） +（ 102﹣

故填 2．

+（ 99﹣ 100）

2+（

2100） ］=2．

2100﹣ 100） +（【点评】 本题考查方差的定义． 一般地设

x2， ⋯ x

n的平均数为 ， 则方差 S2= （［ x1

22 2

n 个数据， x1，

﹣ ） +（ x2﹣

小，方差越大，波动性越

大，反之也成立．

） +⋯ +（ x

n﹣ ） ］，它反映了一组数据的波动大15． （ 2 分） （ 1999?河南）计算： （ x+1 ）

（ x2+x+1 ） （ x2﹣ x+1 ） = x5+x

4+x

3+x

2+x+1 ．

【考点】 整式的混合运算．

【分析】 可以首先运用乘法分配律和结合律，配成立方和公式，再进一步计算．

【解答】 解： （ x+1 ） （ x2+x+1 ） （ x2﹣ x+1 ） ，

=［（ x+1 ） （ x 1

］ +x+1 ） ，

= （ x

3+1 ） （ x2+x+1 ） ，

=x5+x4+x3+x

2+x+1 ．

【点评】 本题考查了多项式乘多项式，

法公式的尽量运用乘法公式． 立方和公式：

（ x+1 ） （ x2﹣ x+1 ） =x3+1 ．

﹣ ）（

x+x能够利用乘16． （ 2 分） （ 1999?河南）计算

二次根式的混合运算． 计算题． 先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．

第

9

页（共

19

页）

解：原式

=﹣ 4 ．

= ﹣ ﹣ 5 +

4．

本题考查的是二次根式的混合运算， 在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简

17． （ 2 分） （ 1999?河南）求值：

特殊角的三角函数值．

根据特殊角的三角函数值计算．

=．

熟sin30° =

cos30° = ， tan30° = ， cot30° = ；

sin45

°=

18．

b=54cm，那么

比例线段．

应用题．

cos45° =tan45°=1， cot45°=1 ；

，

tan60° = ， cot60° =

（ 2 分） （ 1999?河南）已知：

a 和 b 的比例中项是 36 cm．

a=24cm，

根据比例中项的概念， 24： c=c： 54，则可求得比例中项的值．

解：∵ 24： c=c： 54，

2c=24×54=1296，

c=36 （ cm） （ c=﹣ 36 舍去） ．

a和 b 的比例中项是 36．

本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，

19．

形的边长为

的

S= ．

正多边形和圆．

压轴题．

（ 2 分） （ 1999?河南）已知正三角a，那么它的内切圆与外接圆组成的圆环第

10

页（共

19

根据题意画出图形，分别求出两圆的半径，再分别求出两圆的面积，两圆的面积之

解：如图所示， BC=a，

、 OC，过 O 作 OD⊥ BC；

第

11

19

OB页（共 ABC 是正三角BOC= =120°，

BOD= ∠ BOC= ×120°=60°， BD=CD= BC= ，

OB= = = ；

BOD=60 °，

DOB=90 °﹣

60 °=30 °，

S

大圆

=π

( OB

S

小圆

=π

（ OD）

S

圆环

=S

大圆

﹣ S

=

解出两圆的半径及面积即可解答．

20． （ 2 分）在矩形 ABCD 中， DCE：

∠ ECB=3 ： 1，则∠ ACE= 45 度．

【考点】 矩形的性质；三角形内角和定理．

【专题】 计算题；压轴题．

【分析】 根据矩形的性质首先求出∠ DCE，∠

形内角和定理求

第

12

页（共

19

根据正三角形的性质分别求（ 1999?河南）已知：如图，⊥ BD， E 为垂足，∠ECB 的度数．然后利用三角

CE 解即可．

【解答】 解：∵四边形 ABCD 是矩形，第

13

页（共

19

DCB=90 °，

DCE：∠ ECB=3 ： 1，

∴∠ DCE= ×90°=67.5°，∠ ECB=22.5 °

∴∠ EBC= ∠ ACB=90 °﹣∠ ECB=67.5 °

∴∠ ACE= ∠ ACB ﹣∠ ECB=67.5 °﹣ 22.5°=45°，

故答案为： 45°．

【点评】 本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识，难度一般．

二、选择题（共

21．

整数解有（

5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）

（ 3 分） （ 1999?河南）不等式 的正）

A． 2 个 B． 3 个 C． 4 个 D． 5 个

【考点】 一元一次不等式的整数解．

【分析】 先求出不等式的解集，再据此求出不等式的整数解．

【解答】 解：去分母，得 4x﹣ 5< 12，

移项，得 4x< 12+5，

系数化为

于是大于

1，得 x< ．

0 并小于 的整数有 1， 2， 3， 4．

共 4 个，故选 C ．

【点评】 正确解不等式，

解集是解答本题的关键．解不等式应根据以下原则：

取较

大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

22．

列抛物线中，对称轴是直线

222求出同大（ 3 分） （ 1999?河南）下x= 的是（ ）

2A． y= x B． y=x ﹣ x C． y=x +x+2 D ． y=x ﹣ x﹣ 2

【考点】 二次函数的性质．

【分析】 由于四个函数的解析式是已知的， 利用抛物线称轴方程的公式即可确定每一个函数

的对称轴，然后即可确定选择项．

【解答】 解： A、抛物线的对称轴是 y轴；

B 、抛物线对称轴是直线 x= ；

C、抛物线的对称轴是直线 x=﹣ ；

第

14

页（共

19

页）

x=x= ．

第

15

页（共

本题考查抛物线求对称轴方x= ．

19

页）

D 、抛物线的对称轴是直线

故选 D ．

【点评】

程的公式：对称轴是

23．

切等腰梯形的上底长为

个梯

形的腰长为（ ） cm．

A． B． C． 7 D．

（ 3 分） （ 1999?河南）圆外4cm，圆的半径为 3cm，那么这【考点】 勾股定理；等腰梯形的性质；切线长定理．

【分析】 过梯形的内切圆的圆心作梯形上下底的垂线，过梯形的上底的一端作下底的垂线，

在构建的直角三角形中，由切线长定理和勾股定理即可求出斜边的长，即梯形的腰长．

【解答】 解：如图：梯形ABCD 中， AD=BC ，⊙ O 是梯形的内切圆，与四边的切点分别为

E、 F、 G、 H，

连接 EG，则 EG 必过点 O，过 A 作 AM ⊥ CD 于 M ，

由切线长定理易知 AE=AF=2 ，设 DF=DG=x ，

Rt△ ADM 中， AM=EG=6 ， AD=2+x ， DM=x ﹣ 2，

由勾股定理得： AD

2=AM

2+DM

2，

222即： （ 2+x） ﹣（ x﹣ 2） =6，

解得 x= ，

∴ AD=AF+DF=2+x= ，即等腰梯形的腰长为 ；

故选 B ．

【点评】 此题主要考查了等腰梯形的性质、切线长定理、 勾股定理等知识的综合应用； 能够

正确的构建出直角三角形， 并能依据切线长定理表示出直角三角形的三边长是解答此题的关

键．

24．

西宁）使两个直角三角形全等的条件是（

A．一个锐角对应相等 B ．两个锐角对应相等

C．一条边对应相等 D ．两条边对应相等

【考点】 直角三角形全等的判定．

【专题】 压轴题．

第

16

页（共

19

页）

（ 3 分） （ 2013?）

【分析】利用全等三角形的判定来确定． 做题时， 要结合已知条件与三角形全等的判定方法

逐个验证．

【解答】解： A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不

能证明两三角形全等，故 A 选项错误；

B 、 两个锐角相等， 那么也就是三个对应角相等， 但不能证明两三角形全等， 故 B 选项错误；

C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故 C 选项错误；

D 、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用 SAS

应相等，

一斜边对应相等，也可证全等，故 D 选项正确．

故选： D．第

17

页（共

19

页）

证全等；若一直角边对

【点评】

本题考查25．

5x2+kx﹣ 6=0 的一个根是

A． ， k=﹣ 7

B．

ASA、 SAS、 AAS 、

（ 3 分） （ 1999?河南） 已知关于 x 的方程2， 设方程的另一个根

， k= ﹣ 7 C． ， k=7 D ． ， k=7

为 x1，则有（ ）压轴题．

欲求 k 和 x1

的值，

根据一元二次方程的根与系数的关系，即可表示出两根的和与

积，即可求得 x1

与 k 的值．

【解答】 解：设方程的另一根是 x1

，根据题意得：

x1+2=﹣ 且 2x1=﹣

则 x1=﹣ ， k=﹣ 7 故选 B ．

【点评】 此题主要考查了根与系数的关系， 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一

种经常使用的解题方法

8 小题，满分 45 分）

26． （ 4 分） （ 1999?河南）计算：

分式的混合运算． 计算题． 先算乘法，算乘法时主要是把分子分母分解因式再约分化简．

解：原式 =

2 分）

（ 3 分）

（ 4 分）

本题主要考查分式的混合运算，注意：分式混合运算时的顺序．

27． （ 4 分） （ 1999?河南）已知一个二次函数的图象经过点（ 1 ，﹣ 1 ） ， （ 0， 1） ， （﹣ 1， 13） ，

求这个二次函数的解析式．

【考点】 待定系数法求二次函数解析式．

2【分析】 先设二次函数解析式为 y=ax+bx+c第

18

页（共

19

页）

（ a≠ 0） ，利用待定系数法，把点（

1） ， （ 0，

1） ， （﹣ 1 ， 13） ，代入可解得二次函数的解析式．

1，﹣

x=2 ；

第

19页（共

19

页）

【解答】 解：设二次函数解析式为 y=ax

2+bx+c（ a≠ 0） ，

把三点分别代入得（ 1） a+b+c= ﹣ 1， （ 2） c=1，

（ 3） a﹣ b+c=13，

（ 1 ） （ 2） （ 3）联立方程组解得 a=5， b=﹣ 7，

c=1 ，

28． （ 4 分） （ 1999?河南）求作线段 AB 的垂直平分线（写出已知、求作、作法，画出图形，

不证明） ．

【考点】 作图 —基本作图．

【专题】 作图题．

【分析】 分别以点 A， B

为圆心，大于 AB 的长为半径作弧两弧相交于点 C 和 D，作直线

CD．

【解答】 解：已知：线段 AB （如图） ． （ 1 分）

求作：线段 AB 的垂直平分线． （ 2 分）

作法： （ 1 ）分别以点 A， B 为圆心，

大于 AB 的长为半径作弧两弧相交于点 C 和 D ． （ 3 分）

（ 2）作直线 CD．

直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线． （ 4 分）

本

29． （ 5 分） （ 1999?河南）解方程

【考点】

式分解法．

【专题】 换元法．

【分析】

，则原方程化为

x=2 ；

第

20页（共

19

页）

+6=0

换元法解分式方程；解一元二次方程 -因方程的两个分式具备平方关系，设2y﹣ 5y+6=0 ．用换元法

转化为关于

检验．

【解答】 解：设

5y+6=0 ． （ 1 分）

y 的一元二次方程．先求 y，再求 x ．结果需=y，于是原方程变形为 y﹣

2解这个方程，得 y1

=2， y2=3． （ 2 分）

当 y=2 时， =2x=2 ；

第

21页（共

19

页） y=3 =3

时，

（ 4 分） ∴ x= ．

检验：把 x=2， x= 分别代入原方程的分母，各分母都不等于零，

所以它们都是原方程的根．

∴原方程的根为 x1=2， x2= ． （ 5 分）

【点评】 换元法是解分式方程的常用方法之一，

一些分式方程化繁为简， 化难为易，

对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

它能够把30． （ 5 分） （ 1999?河南）已知：如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥ DC，中位线 EF=7cm，对角

线 AC ⊥ BD ，∠ BDC=30 ° ．求梯形的高 AH ．

【分析】 过 A 作 AM ∥ BD， 交 CD 的延长线于 M， 先根据中位线定理和平行的性质求得 CM

的长度，再根据对角线垂直的条件求得 AC 的长度，利用直角三角形 ACH 中的三角函数即

可求解．

【解答】 解：过 A 作 AM ∥ BD ，交 CD 的延长线于 M．

∵ AB ∥ DC， ∴ DM=AB ，∠ AMC= ∠ BDC=30 °，

又∵中位线 EF=7cm ，

∴ CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm

又∵ AC⊥ BD，

∴ AC ⊥ AM ，

∴ AC= CM=7cm ．

第

22

页（共

19

页）

第

23

页（共

19

页）

【点评】 主要考查了梯形中的有关性质． 在解决有关直角梯形问题时， 常常通过作辅助线的

方法转化为矩形和直角三角形的问题来求解．平移一条对角线是常用的作辅助线的方法之

31． （ 7 分） （ 1999?河南）某公司存入银行甲乙两种不同性质的存款共 20 万元．甲种存款的

年利率为 1.4%，乙种存款的年利率为 3.7%，该公司一年共得利息 6250 元．求甲、乙两种

存款各多少万元？

【考点】 二元一次方程组的应用．

【专题】 应用题．

【分析】两个等量关系分别为：甲种存款数 +乙种存款数=20 万元； 甲种存款的利息 +乙种存

款的利息 =0.625 万元．

【解答】 解：设甲种存款为 x 万元，乙种存款为 y 万元．

根据题意得

解得 ．

，

答：甲种存款为 5 万元，乙种存款为 15 万元．

【点评】 本题考查了二元一次方程组的应用． 找到合适的等量关系是解决问题的关键； 在计

算过程中应注意单位的统一．

32． （ 7 分） （ 1999?河南） AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点， AD 和过 C 点的切线相交于

D ，和⊙ O 相交于 E．如果 AC 平分∠ DAB ，

（ 1 ）求证：∠ ADC=90 °；

（2）若 AB=2r ， AD=r，求 DE．

【考点】 切线的性质；平行线的判定；角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角

形的判定与性质．

【专题】 几何综合题；压轴题．

【分析】 （ 1 ）连接 OC，根据等腰三角形的性质及平行线的判定定理求出 AD ∥ OC，再根据

切线的性质解答即可．

（ 2）解：连接BC，则∠ACB=90 °， （ 4

分）

第

24

页（共

19

页）

（ 2）连接 BC，根据圆周角定理可知∠ ACB=90 °，由（ 1）

可求出 Rt△ ABC ∽ Rt△ ACD，根

据相似三角形的性质及勾股定理解答即可．

【解答】 （ 1）证明：连接 OC，

∵ CD 是⊙ O 的切线，

∴ OC⊥ CD， （ 1 分）

∵ OA=OC ，

∴∠ 1=∠ 2，

∵∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，

∴ AD ∥ OC， （ 2分）

∴ AD ⊥ CD ，

即∠ ADC=90 °．

（ 2）解：连接BC，则∠分）

第

25

页（共

19

页）

3 分）ACB=90 （（°， 4

1）得∠ 2=∠ 3，∠ ACB= ∠ ADC=90 °，

Rt△ ABC∽ Rt△ ACD ，

， （ 5 分）

即 AC =AB ?AD=2r

2222，

又∵ CD=AC﹣ AD 且 CD=DE?AD，

∴ DE= ． （ 7分）

【点评】 本题考查了圆的切线性质， 及解直角三角形的知识． 运用切线的性质来进行计算或

论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

33． （ 9 分） （ 1999?河南）如图，已知在 △ ABC

中，∠ B=90 °． O 是 AB 上一点，以 O 为圆

心， OB 为半径的半圆与 AB 交于点 E， 与 AC 切于点 D， AD=2，

AE=1 ． 求证： S、 S

2是方程 10x﹣ 51x+54=0 的两个根．

△ AOD△ BCD

【考点】 切割线定理；根与系数的关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】 证明题；代数几何综合题；压轴题．

2【分析】 此题要证明 S、 S

是方程 10x﹣51x+54=0 的两个根，首先需求得两个三

角形的面积， 再进一步根据根与系数的关系进行证明． 根据切割线定理， 即可求得 AB 的长，

△ AOD△ BCD从而求得圆的半径，则可以求得三角形 AOD 的面积；根据勾股定理求得 CD 的长，再根据

相似三角形的性质即可求得 BH 的长，从而求得三角形 BCD

第

26

页（共

19

页）

AD 是切线，

AB=4 ．

第

27

页（共

19

页）

的面积．

【解答】 证明：∵∴ AD

2=AE ?AB ．

由 AD=2 ， AE=1 ，得从而 OD= ．

∵∠ ABC=90 °，

∴ AC

2=BC

2+AB

2，且 BC 是⊙ O 的切线．

∵ CD 是⊙ O 的切线，

∴ BC=CD ．

∴（ 2+BC）

2=BC2+42，

解得 BC=3 ．

∵ OD ⊥ AD ，

∴

S△ AOD

= AD ?OD= ．

作 BH ⊥ AC 于 H ，则 Rt△ AOD ∽ Rt△ ABH ．

∴，

即，

S△ BCD= ．

而 S△ AOD

+S△ BCD=

S△ AOD

?S△ BCD= ，

∴ S△ AOD

、 S△ BCD

是方程 10x ﹣ 51x+54=0 的两个根．

【点评】 此题综合运用了切割线定理、切线长定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、第

28

页（共

19

页）

参与本试卷答题和审题的老师有：疯跑的蜗牛； fuaisu； CJX；

zhangCF；

wdxwwzy；

bjy；

星期八；张其铎； haoyujun； Linaliu ； 蓝月 zhehe梦； lanyan； 心若在； HJJ； MMCH ； 王岑；

自由人；孙廷茂； kuaile； nhx600；

py168；智波； csiya； Liuzhx ； 137-hui；

（排名不分先后）

菁优网

2016年 3月

30日

第

29

页（共

19

页）