2022年河南省中考数学试卷(解析版)

2023年12月3日发(作者：潍坊教师考试数学试卷及答案)

2022年河南省中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．

1．（3分）A．

的相反数是（ ）

B．2 C．﹣2 D．

2．（3分）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合•人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A．合 B．同 C．心 D．人

3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）

A．26° B．36° C．44° D．54°

4．（3分）下列运算正确的是（ ）

A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1

D．2a2•a＝2a3 C．（a2）3＝a5

5．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）

第1页（共29页）

A．6 B．12 C．24 D．48

6．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根

B．没有实数根

D．只有一个实数根

7．（3分）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（ ）

A．5分

B．4分 C．3分 D．45%

8．（3分）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于（ ）

A．108 B．1012 C．1016 D．1024

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）

A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（1，）

10．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）

第2页（共29页）

A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小

B．当K＝0时，R1的阻值为100

C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态

D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式： ．

12．（3分）不等式组的解集为 ．

13．（3分）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 ．

14．（3分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ．

第3页（共29页）

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16．（10分）（1）计算：（2）化简：﹣（）0+21；

﹣÷（1﹣）．

17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：

a．成绩频数分布表：

成绩x（分） 50≤x＜60

频数 7

60≤x＜70

9

70≤x＜80

12

80≤x＜90

16

90≤x≤100

6

b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：

70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．

（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．

（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．

18．（9分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

第4页（共29页）

（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．

19．（9分）开封清明上河图是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．

20．（9分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．

（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．

（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．

21．（9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；第5页（共29页）

建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．

（1）求抛物线的表达式．

（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

22．（10分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．

（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cos∠BAD＝．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．

23．（10分）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，第6页（共29页）

连接PM，BM．

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： ．

（2）迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．

（3）拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．

第7页（共29页）

2022年河南省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．

1．（3分）A．

的相反数是（ ）

B．2 C．﹣2 D．

【分析】直接利用相反数的定义得出即可．

【解答】解：故选：A．

【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握相反数的定义是解题关键．

2．（3分）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合•人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

的相反数是：．

A．合 B．同 C．心 D．人

【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．

【解答】解：在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是人，

故选：D．

【点评】本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．

3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）

第8页（共29页）

A．26° B．36° C．44° D．54°

【分析】首先利用垂直的定义得到∠COE＝90°，然后利用平角的定义即可求解．

【解答】解：∵EO⊥CD，

∴∠COE＝90°，

∵∠1+∠COE+∠2＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．

故选：B．

【点评】本题主要考查了垂直的定义和平角的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．

4．（3分）下列运算正确的是（ ）

A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1

D．2a2•a＝2a3 C．（a2）3＝a5

【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．

【解答】解：A、，故A不符合题意；

B、（a+1）2＝a2+2a+1，故B不符合题意；

C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；

D、2a2•a＝2a3，故D符合题意．

故选：D．

【点评】本题主要考查二次根式的化简，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

5．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）

第9页（共29页）

A．6 B．12 C．24 D．48

【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．

【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，

∴△COD为直角三角形．

∵OE＝3，点E为线段CD的中点，

∴CD＝2OE＝6．

∴C菱形ABCD＝4CD＝4×6＝24．

故选：C．

【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD＝6．

6．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根

【分析】根据根的判别式进行判断即可．

【解答】解：在一元二次方程x2+x﹣1＝0中，

a＝1，b＝1，c＝﹣1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点评】本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确当Δ＜0时，原方程没有实数根；当Δ＝0时，原方程有两个相等的实数根；当Δ＞0时，原方程有两个不相等的实数根．

7．（3分）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（ ）

B．没有实数根

D．只有一个实数根

第10页（共29页）

A．5分

B．4分 C．3分 D．45%

【分析】根据众数的定义求解即可．

【解答】解：由扇形统计图知，得4分的人数占总人数的45%，人数最多，

所以所打分数的众数为4分，

故选：B．

【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

8．（3分）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于（ ）

A．108 B．1012 C．1016 D．1024

【分析】根据同底数幂的乘法先求出1亿，再求1兆即可．

【解答】解：1亿＝104×104

＝108，

1兆＝104×104×108

＝104+4+8

＝1016，

故选：C．

【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握am•an＝am+n是解题的关键．

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）

第11页（共29页）

A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（1，）

【分析】由正六边形的性质可得A（1，），再根据由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，由2022÷4＝505……2，可知点A2022与点A2重合，求出点A2的坐标可得答案．

【解答】解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，

∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，

∵AB∥x轴，

∴∠APO＝90°，

∴∠AOP＝30°，

∴AP＝1，OP＝∴A（1，），

，

∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，

由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，

∴2022÷4＝505……2，

∴点A2022与点A2重合，

第12页（共29页）

∵点A2与点A关于原点O对称，

∴A2（﹣1，﹣），

）， ∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣故选：B．

【点评】本题主要考查了正六边形的性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，根据旋转的性质确定每4次为一个循环是解题的关键．

10．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）

A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小

B．当K＝0时，R1的阻值为100

C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态

D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态

【分析】观察图2可直接判断A、B，由K＝10可算出M的值，从而判断C，观察图2可得R1＝20时K的值，从而算出M的值，即可判断D．

【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；

由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；

由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×103＝22（mg/100mL），

﹣∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；

由图2知，当R1＝20时，K＝40，

第13页（共29页）

∴M＝2200×40×103＝88（mg/100mL），

﹣∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式： 答案不唯一，如y＝x ．

【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可．

【解答】解：例如：y＝x，或y＝x+2等，答案不唯一．

【点评】此题比较简单，考查的是一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质：

当k＞0时，y随x的增大而增大；

当k＜0时，y随x的增大而减小．

12．（3分）不等式组的解集为 2＜x≤3 ．

【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．

【解答】解：解不等式①，得：x≤3，

解不等式②，得：x＞2，

∴该不等式组的解集是2＜x≤3，

故答案为：2＜x≤3．

【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

13．（3分）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为

．

【分析】画树状图，共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：画树状图如下：

，

第14页（共29页）

共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，

∴恰好选中甲和丙的概率为故答案为：．

【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

14．（3分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 + ．

＝，

【分析】如图，设O′A′交于点T，连接OT．首先证明∠OTO′＝30°，根据S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）求解即可．

【解答】解：如图，设O′A′交于点T，连接OT．

∵OT＝OB，OO′＝O′B′，

∴OT＝2OO′，

∵∠OO′T＝90°，

∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，

∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）

第15页（共29页）

＝＝+．

﹣（﹣×1×）

故答案为：+．

【点评】本题考查扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 或 ．

【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．

【解答】解：如图：

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2∴AB＝AC＝4，

，

∵点D为AB的中点，

∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，

∵∠ADQ＝90°，

∴点C、D、Q在同一条直线上，

由旋转得：

CQ＝CP＝CQ′＝1，

分两种情况：

当点Q在CD上，

在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，

第16页（共29页）

∴AQ＝＝＝，

当点Q在DC的延长线上，

在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，

∴AQ′＝＝＝，

或， 综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为故答案为：或．

【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16．（10分）（1）计算：（2）化简：﹣（）0+21；

﹣÷（1﹣）．

【分析】（1）先算立方根、零指数幂、负整数指数幂，再算加减；

（2）先通分，把除化为乘，再分解因式约分．

【解答】解：（1）原式＝3﹣1+

＝；

（2）原式＝＝＝x+1．

【点评】本题考查实数运算和分式化简，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的相关法则．

17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘第17页（共29页）

֥

组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：

a．成绩频数分布表：

成绩x（分） 50≤x＜60

频数 7

60≤x＜70

9

70≤x＜80

12

80≤x＜90

16

90≤x≤100

6

b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：

70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，成绩的中位数是 78.5 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 44% ．

（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．

（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．

【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可；

（2）根据中位数的意义求解即可；

（3）答案不唯一，合理均可．

【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为＝78.5（分），

所以这组数据的中位数是78.5分，

成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为故答案为：78.5，44%；

（2）不正确，

因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，

所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；

（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．

【点评】本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问第18页（共29页）

×100%＝44%， 题的关键．

18．（9分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．

【分析】（1）直接把点A的坐标代入求出k即可；

（2）利用尺规作出线段AC的垂直平分线m即可；

（3）证明∠DCA＝∠BAC，可得结论．

【解答】（1）解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4），

∴k＝2×4＝8，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）解：如图，直线m即为所求．

第19页（共29页）

（3）证明：∵AC平分∠OAB，

∴∠OAC＝∠BAC，

∵直线m垂直平分线段AC，

∴DA＝DC，

∴∠OAC＝∠DCA，

∴∠DCA＝∠BAC，

∴CD∥AB．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

19．（9分）开封清明上河图是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．

【分析】延长EF交DC于点H，根据题意可得：∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，设FH＝x米，在Rt△DFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，然后在Rt△DHE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．

【解答】解：延长EF交DC于点H，

由题意得：

∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，

第20页（共29页）

设FH＝x米，

∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，

在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，

∴DH＝FH•tan45°＝x（米），

在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，

∴tan34°＝∴x≈30.1，

经检验：x≈30.1是原方程的根，

∴DC＝DH+CH＝30.1+1.5≈32（米），

∴拂云阁DC的高度约为32米．

＝≈0.67，

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

20．（9分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．

（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．

（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．

【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；

（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，根据A种菜苗的捆数不超第21页（共29页）

过B种菜苗的捆数，得m≤50，设本次购买花费w元，有w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，由一次函数性质可得本次购买最少花费2250元．

【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，

根据题意得：＝+3，

解得x＝20，

经检验，x＝20是原方程的解，

答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；

（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，

∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，

∴m≤100﹣m，

解得m≤50，

设本次购买花费w元，

∴w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，

∵﹣9＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴m＝50时，w取最小值，最小值为﹣9×50+2700＝2250（元），

答：本次购买最少花费2250元．

【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．

21．（9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．

（1）求抛物线的表达式．

（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

第22页（共29页）

【分析】（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣（2）当y＝1.6时，﹣为2m或6m．

【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），

设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：

0.7＝25a+3.2，

解得a＝﹣∴y＝﹣，

（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+x2+x+，

；

x2+x+x2+x+；

＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得她与爸爸的水平距离答：抛物线的表达式为y＝﹣（2）当y＝1.6时，﹣解得x＝1或x＝9，

x2+x+＝1.6，

∴她与爸爸的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），

答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．

22．（10分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

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（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．

（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cos∠BAD＝．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．

【分析】（1）本小题难度不大，方法颇多，方法1：如图1，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F．首先证明∠BOC+∠OBF＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°；再根据B是切点得出∠OBA＝90°．后面就很简单的证明出结论；方法2：如图2，延长OB交CD于点M．因为AB为⊙O的切线，所以根据切线性质得到，∠OBA＝90°，∠ABM＝90°．再根据四边形、三角形的内角和即可证明；方法3：如图3，过点B作BN∥AD，根据两直线平行，内错角相等和切线性质，可以很简单的证明问题；

（2）利用（1）中图1的辅助线即可解答．首先根据条件AB＝75，cos∠BAD＝，得到AE＝45．再利用（1）证明出的，∠OBF＝∠BAD，能得到四边形CDEF为矩形，所以DE＝CF＝5，从而得到AD＝AE+ED＝50cm．

【解答】（ 1）证明：方法1：如图1，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F．

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCD＝90°．

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°．

第24页（共29页）

∵EF∥CD，

∴∠OFB＝∠AEB＝90°，

∴∠BOC+∠OBF＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°，

∵AB为⊙O的切线，

∴∠OBA＝90°．

∴∠OBF+∠ABE＝90°，

∴∠OBF＝90°．

∴∠OBF+∠ABE＝90°，

∴∠OBF＝∠BAD，

∴∠BOC+∠BAD＝90°；

方法2：如图2，延长OB交CD于点M．

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCM＝90°，

∴∠BOC+∠BMC＝90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°．

∵AB为⊙O的切线，

∴∠OBA＝90°，

∴∠ABM＝90°．

∴在四边形ABMD中，∠BAD+∠BMD＝180°．

∵∠BMC+∠BMD＝180°，

∴∠BMC＝∠BAD．

∴∠BOC+∠BAD＝90°；

方法3：如图3，过点B作BN∥AD，

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∴∠NBA＝∠BAD．

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCD＝90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°．

∴AD∥OC，

∴BN∥OC，

∴∠NBO＝∠BOC．

∵AB为OO的切线，

∴∠OBA＝90°，

∴∠NBO+∠NBA＝90°，

∴∠BOC+∠BAD＝90°．

（2）解：如图1，在Rt△ABE中，

∵AB＝75，cos∠BAD＝，

∴AE＝45．

由（1）知，∠OBF＝∠BAD，

∴cos∠OBF＝，

在Rt△OBF中，

∵OB＝25，

第26页（共29页）

∴BF＝15，

∴OF＝20．

∵OC＝25，

∴CF＝5．

∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，

∴四边形CDEF为矩形，

∴DE＝CF＝5，

∴AD＝AE+ED＝50cm．

【点评】本题重点考查切线的判定和性质，三角函数，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．是很好的中考题．

23．（10分）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： ∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠CBM（任写一个即可） ．

（2）迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ 15 °，∠CBQ＝ 15 °；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．

（3）拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．

第27页（共29页）

【分析】（1）由折叠的性质可得AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，由锐角三角函数可求∠EMB＝30°，即可求解；

（2）①由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ＝∠MBQ＝15°；

②由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ＝∠MBQ；

（3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．

【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，

∴AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，

∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，

∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，

∵sin∠BME＝＝，

∴∠EMB＝30°，

∴∠ABM＝60°，

∴∠CBM＝∠ABP＝∠CBM＝30°，

故答案为：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠CBM（任写一个即可）；

（2）①由（1）可知∠CBM＝30°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，

由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，

∴∠BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，

又∵BQ＝BQ，

∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），

∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°，

故答案为：15，15；

第28页（共29页）

②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，

由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，

∴∠BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，

又∵BQ＝BQ，

∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），

∴∠CBQ＝∠MBQ；

（3）由折叠的性质可得DF＝CF＝4cm，AP＝PQ，

∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ，

∴CQ＝MQ，

当点Q在线段CF上时，∵FQ＝1cm，

∴MQ＝CQ＝3cm，DQ＝5cm，

∵PQ2＝PD2+DQ2，

∴（AP+3）2＝（8﹣AP）2+25，

∴AP＝，

当点Q在线段DF上时，∵FQ＝1cm，

∴MQ＝CQ＝5cm，DQ＝3cm，

∵PQ2＝PD2+DQ2，

∴（AP+5）2＝（8﹣AP）2+9，

∴AP＝，

cm或cm． 综上所述：AP的长为【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

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