牛吃草问题的变形问题
例题讲解
【例题1】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是（5×8-10×3）÷（8-3）=2，原有水量（10-2）×3=24，
要求2小时淘完，要安排24÷2+2=14人淘水
【巩固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？
设1人1分钟淘出的水量是“1”，40-16=24分钟的进水量为3×40-6×16=24，所以每分钟的进水量为24÷24=1，那么原有水量为：（3-1）×40=80．5人淘水需要80÷（5-1）=20(分钟)把水淘完．
【例题2】画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入3×30=90。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入5×15=75，15分钟到来的人数 90-75=15，每分钟到来15÷15=1。8：30以前原有人3×30-1×30=60。所以应排了60÷1=60（分钟），即第一个来人在7：30
【巩固】画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．
如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题．
设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为3×9-5×5=2，即1分钟来的人为2÷4=0.5，原有的人为：（3-0.5）×9=22.5．这些人来到画展，所用时间为22.5÷0.5=45(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．
【例题3】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有级台阶．
本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：
“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”
采用牛吃草问题的方法，电梯20-15=5秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：2×15-1×20=10阶，电梯的速度为10÷5=2阶/秒，扶梯长度为20×（1+2）=60（阶）。
【巩固】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，
结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？
本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。
自动扶梯的速度=（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间）=（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5，自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间
=2×300-1.5×300=150（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。
【例题4】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，分钟能追上。
本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在3-1=2小时内走了15×3-35×1=10千米，那么小明的速度为10÷2=5(千米/时)，追及距离为（15-5）×3=30(千米)．汽车去追的话需要：30÷（45-5）=3/4(小时)=45(分钟)．
【例题5】快、中、慢三车同时从A地出发沿同一公路开往B地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？
可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：（600×14-800×7）÷（14-7）=400(米/分)，开始相差的路程为：（600-400）×14=2800（米），所以中速车速度为：2800÷8+400=750(米／分)．
【例题6】甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从B地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．
相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速度为：（60×6-48×7）÷（7-6）=24（千米/时），全程：（60+24）×6=504（千米），丙车速度为：504÷8-24=39（千米/时）
【巩固】小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米．在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．
当小新和风间相遇时，正南落后小新6×（20-16）=24(米)，依题意知正南和风间走这24 米需要7-6=1(分钟)，正南和风间的速度和为：24÷1=24(米／分)，风间的速度为：24-16=8(米／分)，学校到公园的距离为：24×7=168(米)．所以妮妮的速度为：168÷8-8=13(米／分)．
【例题7】一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？
设一个排水阀1分钟排水量为“1”，那么进水阀1分钟进水量为（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5，水池原有水量为（1-0.5）×30=15．关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要15÷3=5(分钟)才能排完水池的水．
【巩固】一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打
开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过时分水池刚好被排空．
本题是牛吃草问题的变形．
设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：（7×18-9×9）÷（18-9）=5，半池水的量为：（9-5）×9=36，所以一池水的量为72．
如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72÷(15-5)=7.2小时，即7小时12分钟．
【例题8】北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？
此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5，原有的水量超过安全线的部分有（1-0.5）×30=15．
如果要用2个小时使水位降至安全线以下，至少需要开15÷2+0.5=8个泄洪闸．
【巩固】有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管．开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水．后来，想打开出水管，使池内的水全部排光．如果同时打开8根出水管，则3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根出水管，则需6小时才能排尽池内的水．若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？
设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为（5×6-8×3）÷（6-3）=2，池内原有水量为（8-2）×3=18．要在4.5小时内排尽池内的水，应当同时打开18÷4.5+2=6根出水管．
【例题9】甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)
设1人1小时搬运的份数为“1”，那么一台皮带运输机1小时的工作量为
(28×3-12×5)÷(5-3)=12，每个仓库存放的面粉总量为：(12+12)×5=120．那么，丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要120÷2-12×2=36(人)．
【例题10】小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）
小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了2×4-1×3=5米路，所以从杯中流出的速度是1÷5=0.2（杯/米），于是1桶水原有水量等于3-3×0.2=2.4杯水，所以小方要2.4÷(1-3×0.2)=6次才能把第三个桶装满。
【巩固】一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？
设1台抽水机1天的抽水量为“1”则进水速度为(20×5-15×6)÷(20-15)=2，原有水量为20×5-20×2=60，若要6天抽干，要60÷6+2=12台同样的抽水机
【例题11】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6
天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？
开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为(160×10-250×6)÷(10-6)=25，原有砖的数量为：(250-25)×6=1350．
如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350-950=400的原有的砖未用，变成120+5=125人来砌砖，还需要：400÷(125-25)=4(天)．
【例题12】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙，14天可以把砖用完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？
开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为(15×14-20×9)÷(14-9)=6，原有砖的数量为：(15-6)×14=126．
现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，如果不调走6名工人，那么这些工人共砌10天可砌完126+6×10+6×4=210，所以原有工人210÷10=21名．
【课后作业】
1、假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？
（90×210-110×90）÷（210-90）=75亿人。
2、有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可
供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，
问这片牧场可供75头牛吃多少天？
设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
10头牛    20天    10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量
15头牛    10天    15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量
从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，
即1天生长草量＝50÷10＝5；
那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。
则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；
原有草量：100×（3600÷1200）＝300.
75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完，即它可供75头牛吃5天。
3、早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口?
设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．
①1分钟新来多少个单位的旅客
（4×15-8×7）÷（15-7）=1/2
②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候，
4×１５－1/2×15=52又1/2
③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客
52又1/2+1/2×5=55
④设立几个检票口
55÷5=11(个)
4、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级？
该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：（50×1-60÷3×2）÷（60-50）=1。自动扶梯的梯级总数：50×（1+1）=100(级)
5、一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？
设1根排水管1小时排水为“1”，进水速度为（3×18-8×3）÷（18-3）=2，原有水量为（8-2）×3=18，如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开18÷8+2=4.25根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。
6、由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?
设1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：（40×4-30×5）÷（40-30）=1，实际注入水量为：（5-1）×30=120；24小时蓄水需要打开的闸门数是：120÷24+1=6(个)．
7、有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了8小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省12小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下台抽水机。
设每台抽水机每小时抽t个单位的水，原计划需要t小时抽完
则原计划8个小时抽的水量为8t，
9台抽水机时抽水量为9(t-8)
10台抽水机时抽水量为10(t-12)
所以，8个小时的出水量为8t-9(t-8)=72-t，
12个小时的出水量为8t-10(t-12)=120-2t，
而泉水的出水速度是一定的，所以120-2t=1.5(72-t)，解得t=24，
所以每小时出水量为(72-24)÷8=6，所以需要留下6台抽水机。
8、有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？
分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”．

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