列方程解应用题
列方程解应用题的一般步骤是：
①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；
②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设 未知数；
③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；
④解方程；
⑤将结果代入原题检验。
概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.
列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不
变量”找等量关系。
一些基本概念：
（1）像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元
一次方程；
（2）像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元
一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；
（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个
方程才能求出唯一解.
如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法.
类型Ⅰ：列简易方程解应用题
【例1】 （难度系数：★★）解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
分析：（1）
以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验.
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6倍、（5）中可以先简化运算的一定要先化简。
（7）法1：加减消元法 （8）
法2：代入法.
建议教师将（7）、（8）贯穿起来，让学生深刻体会：（1）代入法，以及代入法在什么情况下好用；（2）加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果.
【例2】 （难度系数：★★）汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远（声音的速度以340米/秒计算）
分析：72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒，设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得：
340×4=2x+2×4，解得x=676（米）.
【例3】 （小数报数学竞赛初赛）（难度系数：★★★）用绳子测井深，绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米，求绳长和井深
【例4】
【例5】 分析： 法1：设井深是x厘米，则有：2x+60×2=3x-40×3 ，井深x=240（厘米），绳长600厘米；
法2：设绳长是y厘米，则有：
【例6】 （难度系数：★★）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球．如果经过若干次以后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?
分析：设取球的次数为x次．那么原有的白球数为（3+7x），红球数为（53+15x）．再根据题中的第一个条件：53+15x=3×（3+7x）+2，解得x=7，所以原有红球158个，原有白球52个，红球比白球多106个．此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单．
【例7】 （难度系数：★★★）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗
分析：设动物园有x只猩猩，依题意有：（x+x）+（x-x）+x×x+x÷x=100，即2x+0+ x×x+1=100，亦即
x（x+2）=99，又ｘ整数，只有唯一解ｘ=9．
【例8】 （难度系数：★★★）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路
分析：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得
解得x＝140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路.
【例9】 （难度系数：★★★★）幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人.老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分了5个枣，三个班总共分了多少个枣
分析：法1：设甲班有x人，则乙班有（x－4）人，丙班有（x－8）人；甲班每人分得y个
枣，则乙班每人分得（y+3）个，丁班每人分得（y+8）个．那么有甲班共分得xy个枣，乙班共分得(x-4)(y+3)枣，丙班共分得(x-8)(y+8)个枣．
，整理有，解得．
因此，甲班小孩19人，每个小孩分枣12个；乙班小孩15人，每个小孩分枣15个；丙班小孩11人，每个小孩分枣20个．19×12+15×15+11×20＝673(个) ，所以，三班共分673个枣．
法2：
先看甲、丙两班，有甲班x人比丙班x人少分8x颗枣，而甲班共分得枣比丙班多8个，所以甲班多出的8人共分得8x+8颗枣，即每人分得x+1颗枣．那有
再看乙、丙班，乙班x人比丙班x人少分5x颗枣，而乙班共分得的枣比丙班多5个枣，所以乙班多出的4人共分得5x+x颗枣，即每人分得(5x+5)÷4颗枣．有(5x+5)÷4＝x+4，解得x＝
11．因此，甲班小孩19人，每个小孩分枣12个；乙班小孩15人，每个小孩分枣15个；丙班小孩11人，每个小孩分枣20个．19×12+15×15+11×20＝673(个) ，所以三班共分673个枣．
类型Ⅲ：引入参数列方程解应用题
对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。
【例10】 （101中学分班考试试题）（难度系数：★★）五年级二班数学考试的平均分数是85分，其中的人得80分以上（含80分），他们的平均分数是90分。求低于80分的人的平均分。
分析：设该班级有名同学，低于80分的人的平均分为，则得方程: ,解得x=75.
【例11】 （华杯赛决赛）（难度系数：★★★★）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班的学生开始步行，车到中途某处，让甲班的学生下车步行，车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40千米，空车时速度为每小时50千米。求甲班学生应步行全程的几分之几?（学生上下车时间不计）
分析：因为每班步行和坐车的行程总和一样长，又同时出发，同时到达，所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。也就是说图上乙步行的距离b千米和甲步行的距离a千米相等。而根据题意我们又可以找到下列等量关系：
乙班步行b千米(也就是a千米)所用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。然后根据等量关系列方程解答即可。
设全程为x千米，甲、乙两班分别步行a、b千米，根据题意得：
所以甲班步行了全程的.
由上例可以看出，列方程解应用题并不一定只设一个未知数，根据解题的需要，我们有时可以多设几个字母来代替数，帮助我们理清题目中复杂的数量关系，以便我们能够很快的找到解决问题的途径。
【例12】 （小学奥林匹克决赛）（难度系数：★★★）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和12，已知梯形的上底是下底长的。那么余下的阴影部分的面积是多少
分析：设上底为，那么下底为，则上下两个三角形的高分别为，
，梯形的高是，其面积为，阴影部分面积为。
类型Ⅱ：列不定方程解应用题
有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的，对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。但注意到题目对解的要求，有时只需要
其中一些或个别解。
【例13】 （奥数网习题库）（难度系数：★）有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个
分析：设有大油桶x个，小油桶y个。由题意8x+5y=44，知8x≤44，所以x＝0、1、2、3、4、5。相应的将x的所有可能值代入方程，可得x＝3时，y=4 . 此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.
【例14】 （迎春杯预赛试题）（难度系数：★★）小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔＿＿支．
分析：设买5分一支的铅笔ｍ支，7分一支的铅笔n支。则：5×ｍ+7×ｎ=64， 64—7×n是5的倍数．用n=0，1，2，3，4，5，6，7，8代入检验，只有n=2，7满足这一要求，得出相应的ｍ=10，3．即小华买铅笔lO+2＝12支，小强买铅笔7+3=10支，小华比小强多买2支．
【例15】 （奥数网习题库）（难度系数：★★★）小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，
套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次
分析：设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。
根据得61分可列方程：9x+5y+2（10-x-y）=61，化简后得7x=41－3y。显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5，所以小明至多套中小鸡5次.
附加题目
【附1】（101测试题）（难度系数：★★）甲、乙、丙、丁四人共做零件270个。如果甲多做10个，乙少做10个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个
分析:设四人做的零件数恰好都为x，根据题意可得：
（x-10）+（x+10）+（x÷2）+（x×2）=270 ，解得x=60 ，丙实际做了60÷2=30（个 ）.
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