六年级数学工程问题(附例题答案)
一、知识要点
在日常生活中；做某一件事；制造某种产品；完成某项任务；完成某项工程等等；都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量；它们之间的基本数量关系是
工作总量=工作效率×工作时间.
在小学数学中；探讨这三个数量之间关系的应用题；我们都叫做“工程问题”.
举一个简单例子：一件工作；甲做10天可完成；乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？
一件工作看成1个整体；因此可以把工作量算作1.所谓工作效率；就是单位时间内完成的工作量；我们用的时间单位是“天”；1天就是一个单位；因此甲的工作效率是；乙的工作效率是；我们想求两人合作所需时间；就要先求两人合作的工作效率；再根据基本数量关系式；得到所需时间=工作量÷工作效率
=6（天）.
两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题；这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.
为了计算整数化（尽可能用整数进行计算）；可把工作量多设份额.如上题；10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份；乙每天完成2份.两人合作所需天数是
30÷（3+ 2）= 6（天）
实际上我们把这个算式；先用30乘了一下；都变成整数计算；就方便些.
10天与15天；体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系.或者说“工作量固定；工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比；从比例角度考虑问题；也是非常实用的.根据；两人合作时；甲应完成全部工作的；所需时间是（天）.
因此；在下面例题的讲述中；我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法；也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等；这样会使我们的解题思路更灵活一些.
二、典型例题
例1. 一件工作；甲做9天可以完成；乙做6天可以完成.现在甲先做了3天；余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？
解析： 甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3
余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）
例2. 有一工程；甲队单独做24天完成；乙队单独做30天完成；甲、乙两队合做8天后；余下的由丙队做；又做了6天才完成.这个工程由丙队单独做需几天完成？
解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天
例3. 某工程先由甲单独做63天；再由乙单独做28天即可完成；若由甲乙两人合作；需48天完成；现在甲先单独做42天；然后由乙来单独完成；那么还需要多少天？
解析：某工程先由甲单独做63天；再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天；甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84；乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天；然后由乙接着做；还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天
另一个方法：令甲每天做工程的百分比为x；乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天；则完成工程的42/84；即1/2；剩下1/2由乙完成；需要1/2÷1/112=56天
例4. 一项工程；甲乙两人合作4天后；再由乙单独做5天完成；已知甲比乙每天多完成这项工程的；甲乙单独做这项工程各需要多少天？
甲单独做需X天；乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天；乙单独做需15天
设甲单独做需X天；那么甲平均每天完成工程的1/X；
因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一；就是说；乙平均每天完成1/X-1/30；
按照已知条件；甲乙合作4天；4/X+4*(1/x-1/30)；
随后；乙单独做了5天；5*(1/x-1/30)；
加在一起；完成了这项工程；即；4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1
x=10
乙每天完成 1/10-1/30=1/15；即；乙单独做需15天
例5. 一项工程；甲队单独做20天完成；乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做；其间甲队休息了3天；乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？
16天中甲实际休息了16-3=13天
甲完成了13/20
乙完成了1-13/20=7/20
需要时间：7/20÷1/30=10.5天
所以乙休息了16-10.5=5.5天
例6. 有甲、乙两项工作；张单独完成甲工作要10天；单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天；单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作；那么这两项工作都完成最少需要多少天？
解析1：先让张某单独完成乙；李某单独完成甲.乙还剩1-8/15=7/15
两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以至少要工作：8+4=12（天）
解析2：小李做甲工效高
小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙
至少需要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天
例7. 甲、乙合做一件工作要15天才能完成；现在甲、乙合做10天后；再由乙独做6天；还剩下这件工作的1/10；甲单独完成这件工作要多少天？
解析： 甲乙合作10天；完成了：10×1/15＝2/3 乙独做6天完成了：1－2/3－1/10＝7/30 乙每天完成：7/30÷6＝7/180 甲独做需要：1÷（1/15－7/180）＝36（天）
例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成；乙队独坐10天可以完成.现在开始两队合作；但中间乙队因另有任务调走；从开始到完成任务；甲队工作了9天；乙队比甲队少工作了多少天？
解析：甲独做一天的工效为1/15；乙独做一天的工效为1/10.
合做分想：这项工程甲做了9天；剩下的都是由乙队完成的.
可以用工作总量减去甲队9天的工作量；求出乙队工作量；再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）.所以乙队比甲队少工作天数为：9－4＝5
例9. 甲、乙合做一件工作；合作8天后；乙又独做5天；还剩下这件工作的1/6.已知乙单独完成这件工作要30天；那么甲单独完成这件工作要多少天？
解析：1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 所以需要20天
例10. 甲、乙合做一件工作；每天能完成全部工作的1/12；甲单独做6天；乙又单独做10天后；还剩下全部工作的11/30没有完成；甲单独完成全部工作要多少天？
解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20
例11..一项工程；甲单独完成需12天；乙单独完成需9天.若甲先做若干天后乙接着做；共用10天完成；问甲做了几天？
解析1：当做鸡兔同笼问题处理；如果10天都是乙做；能完成：1/9×10=10/9；
超出了：10/9-1=1/9；每天；甲比乙少做：1/9-1/12=1/36；甲做了：1/9÷1/36=4天
解析2：设甲做了X天 X×1/12＋(10-X)×1/9＝1；得出X＝4
甲做了4天
例12. 一件工作；甲独做要12天；乙独做要18天；丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天；然后由乙接着做；乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做；丙做的天数是乙做的天数的2倍；终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
解析：设甲做了x天；则乙做了3x天；丙做了6x天；所以x/12+3x/18+6x/24=1；x/2=1
x=2；所以总共用了2+3*2+6*2=20天
例13. 一份稿件；甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时；现在三人合打；但甲因中途另有任务提前撤出；结果用12小时完成；甲只打了多少小时？
解析1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30；打了12小时；则乙和丙分别打了全部稿件的 12/24,12/30；12/24+12/30=9/10；则甲打了稿件的十分之一；(1/10)除以（1/20)=2
甲打了2小时
解析2：方程法：设甲打x小时.则：x/20+12*（1/24+1/30）=1；可解出X=2
例14. 一项工程甲单独完成要30天；乙单独完成要45天；丙单独完成要90天.现在由甲、乙、丙合作完成此工程；在工作过程中甲休息了2天；乙休息了3天；丙没有休息；最后把工程完成了；问完成这项工程前后一共用了多少天？
解析1：方程法设是第x天完成的；(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1整理；得x=17
解析2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)
解释：假若甲、乙没休息；那么应该完成总工程的1+2/30 +3/45
例15. 一项工程；甲、乙两人合做4天后；再由甲单独做6天才完成全部任务.已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？
解析1：思路同第四题；设乙每天完成的工作占整个工作的x；4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1
x=1/16；x+1/80=3/40；所以甲40/3天完成；乙16天完成
解析2：甲比乙多完成全部任务的：1/80*（4＋6）＝1/8（4＋6表示甲一共做了10天）1-1/8＝7/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4＋4＋6＝14（天）乙每天完成：7/8÷14＝1/16；甲每天完成：1/16＋1/80＝3/40；单独完成甲要：1÷3/40＝13又1/3（天）
例16. 一件工作；甲、乙两人合作36天完成；乙、丙两人合作45天完成；甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
解析：甲乙合作的效率=1÷36=1/36；乙丙合作的效率=1÷45=1/45；甲丙合作的效率=1÷60=1/60；甲乙丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30
甲工作的效率=1/30-1/45=1/90
三、练习题
1. 某工程甲单独干10天完成；乙单独干15天完成；他们合干多少天才可完成工程的一半？
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