5-1-1-1.算式谜（一）
教学目标
数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要横式数字谜问题，因此，会需要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题。
知识点拨
一、基本概念
填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
算符：指+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
二、解决巧填算符的基本方法
（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。
（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
三、奇数和偶数的简单性质
（一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类
（1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.
（2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.
（二）性质：①奇数≠偶数.
②整数的加法有以下性质：
奇数+奇数=偶数；
奇数+偶数=奇数；
偶数+偶数=偶数.
③整数的减法有以下性质：
奇数-奇数=偶数；
奇数-偶数=奇数；
偶数-奇数=奇数；
偶数-偶数=偶数.
④整数的乘法有以下性质：
奇数×奇数=奇数；
奇数×偶数=偶数；
偶数×偶数=偶数.
例题精讲
模块一、巧填算符
（一）巧填加减运算符号
【例1】在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。88888888=1000
【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空
【解析】
【解析】要在八个8之间只添加号，使和为1000，可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数，它可以是888，而888＋88=976，此时，用去了五个8，剩下的三个8应凑成1000-976＝24，这只要三者相加就行了。本题的答案是：888+88+8+8+8=1000
【答案】888+88+8+8+8=1000
【例2】在等号左边9个数字之间填写6个加号或减号组成等式：12345
6789＝101
【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，初赛，第2题
【解析】（不唯一）123456789101++++-+=或123456789101
-+-+++=【答案】123456789101++++-+=或123456789101-+-+++=【例3】在下面的□中填入“+”、“一”，使算式成立：1110987654210=□□□□□□□□3□□
【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，初赛，5题
【解析】11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.(答案不唯一)
【答案】11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.(答案不唯一)
【巩固】在下面的□中填入“+”、“一”，使算式成立：11109876321
=□□□□□□5□4□□【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，初赛，第2题，6分
【解析】11+10+9……3+2=65，所以只要将其中和为32的几项的加号改成减号即11-10-9-8+7+6-5+4+3+2=1
【答案】11-10-9-8+7+6-5+4+3+2=1
【例4】在下面算式中合适的地方，只添两个加号和两个减号使等式成立。123456789=100
【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空
【解析】
【解析】在本题条件中，不仅限制了所使用运算符号的种类，而且还限制了每种运算符号的个数。由于题目中，一共可以添四个运算符号，所以，应把123456789分为五个数，又考虑最后的结果是100，所以应在这五个数中凑出一个较接近100的，这个数可以是123或89。如果有一个数是123，就
要使剩下的后六个数凑出23，且把它们分为四个数，应该是两个两位数，两个一位数.观察发现，45与67相差22，8与9相差1，加起来正巧是23，所以本题的一个答案是：123＋45-67＋8-9＝100。如果这个数是89，则它的前面一定是加号，等式变为1234567＋89=100，为满足要求，1234567=11，在中间要添一个加号和两个减号，且把它变成四个数，观察发现，无论怎样都不能满足要求。补充说明：一般在解题时，如果没有特别说明，只要得到一个正确的解答就可以了。这类限制比较多的题目的解决过程中，要时时注意按照题目的要求去做，由于题目的要求比较高，所以解决的方
法比较少。
【答案】123＋45-67＋8-9＝100
（二）巧填四则混合算符号
【例5】请将四个4用四则运算符号、括号组成五个算式，使它们的结果分别等于5、6、7、8、9。
【考点】巧填算符之凑数法【难度】2星【题型】填空
【关键词】华杯赛，决赛，第10题，10分
【解析】(4×4+4)÷4=5，4+(4+4)÷2=6，4+4-4÷4=7，4+4+4-4=8，4+4+4÷4=9
【答案】(4×4+4)÷4=5，4+(4+4)÷2=6，4+4-4÷4=7，4+4+4-4=8，4+4+4÷4=9
【例6】在下面式子中的中选择填入+⨯使等式成立。
1W 2W 3W 4W 5W 6W 7W 8W 9W 10=100
【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第6题
【解析】1⨯2+3⨯4+5+6+7⨯8+9+10=100
【答案】1⨯2+3⨯4+5+6+7⨯8+9+10=100
【例7】在下面算式合适的地方添上+-⨯、、，使等式成立。12345678=1
【考点】巧填算符之逆推法【难度】3星【题型】填空
【解析】
【解析】这道题的特点是等号左边的数字比较多，而等号右边的得数是最小的自然数1，可以考虑在等
号左边最后一个数字8的前面添“-”号。这时，算式变为：1234567-8＝1只需让1234567=9就可以了，考虑在7的前面添“＋”号，则算式变为123456＋7＝9，只需让123456=2就可以了，同开始时的想法，在6的前面添“-”号，算式变为12345-6＝2，这时只要12345＝8即可.同样，在5前面添“＋”号，则只需1234＝3即可.观察发现，只要这样添：1＋2×3-4＝3就得到本题的一个解为1＋2×3-4+5-6+7-8=1。
补充说明：一般逆推法常限于数字不太多（如果太多，推的步骤也会太多），得数也比较小的题目，如例4.在解决这类问题时，常把逆推法和凑数法结合起来使用，我们称之为综合法.所以，在解决这类问题时，把逆推法和凑数法综合考虑更有助于问题的解决。
【答案】1＋2×3-4+5-6+7-8=1
【巩固】
【巩固】在下列算式中合适的地方添上+-⨯、、，使等式成立。①987654321=1993，②123456789=1993
【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空
【解析】
【解析】本题的特点是所给的数字比较多，而得数比较大，这种题目一般用凑数法来做，在本题中应注意可使用的运算符号只有+-⨯、、。
①中，654×3=1962，与结果1993比较接近，而1993-1962=31，所以，如果能用98721凑出31即可，而最后两个数合在一起是21，那么只需用987凑出10，显然，9+8-7=10，就有：9＋8-7＋654×3+21=1993
②中，与1993比较接近的是345×6=2070.它比1993大77，现在，剩下的数是12789，如果把7、8写在一起，成为78，则无论怎样，前面的1、2和最后的9都不能凑成1.注意到8×9=72，而7+8×9=79，1×2=2，79-2=77.所以这个问题可以如下解决：1×2+345×6-7-8×9=1993。
【答案】9＋8-7＋654×3+21=1993；1×2+345×6-7-8×9=1993
【例8】在下面算式合适的地方添上+-⨯、、号，
使等式成立。3333333333333333=1992【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空
【解析】
【解析】本题等号左边数字比较多，右边得数比较大，仍考虑凑数法，由于数字比较多，在凑数时，
应多用去一些数，注意到3333=999⨯，所以3333+3333=1998⨯⨯，它比1992大6，所以只要用剩下的八个3凑出6就可以了，事实了，3+3+33+33+33=6---，由于要减去6，
则可以这样添：3333+333333+33+33+33=1992⨯⨯-----。
【答案】3333+333333+33+33+33=1992
⨯⨯-----【例9】在下面合适的地方添上适当的运算符号使算式成立．（相邻的几个数可以组成一个数）
22222222208
=              【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空
【关键词】学而思杯，2年级，第2题
【解析】222
22222208-+⨯⨯=      　【答案】222
22222208-+⨯⨯=      　【例10】利用运符号及括号，把数1、3、7、9连成结果等于5的算式．
【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛，
【解析】【解析】本题属于数字谜问题，经过尝试得到97315
-+⨯=【答案】()97315
-+⨯=【例11】在方框中添加适当运算符号(不能添加括号)，使等式成立．
【考点】巧填算符之逆推法【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】9+3+4+19-8-5+4=26
【答案】9+3+4+19-8-5+4=26
（三）巧填算符综合
【例12】在下列算式中合适的地方，添上+、-、×、÷、（）等运算符号，使算式成立。
①6666666666666666=1993②222222222222＝1993
【考点】巧填算符之凑数法【难度】4星【题型】填空
【解析】
【解析】本题中两道小题的共同特点是：等号左边的数字比较多，且都相同，而等号右边的数是1993，比较大.所以，考虑用凑数法，在等号左边凑出与1993较接近的数.
①题中，666＋666＋666=1998，比1993大5，只要用余下的七个6凑成5就可以了，即6666666=5.如果把最前面一个6留下来，则只须将剩下的六个6凑成1，即666666＝1，注意到6÷6=1，6-6=0，可以这样凑6÷6+6-6＋6-6=1，或666÷666=1。由于题目中要由1998中减掉5，所以最后的答案是：666+666＋666-（6-6÷6+6-6＋6-6）=1993或者666+666+666-（6-666÷666）=1993
②题中，等号左边是十二个2，比①题中的数字6小，个数也比①中的少.所以，要把它们也凑成1993，应该增大左边的数，也就是要多用乘法，仿照①题的想法，先凑出1998，可以这样做：222×（2＋2÷2）×（2＋2÷2）=1998用去了九个2，余下三个2，无论怎样也凑不出5，不行.所以要减少前面用去2的个数，由于222×9=1998，所以，我们要用几个2凑出9，即：2×2×2+2÷2，这样，凑出1998共用去了八个2，即222×（2×2×2+2÷2）.此时，还剩下四个2，用四个2凑出5是可以的，即2+2+2÷2=5.这样得到答案为：222×（2×2×2+2÷2）-（2+2+2÷2）=1993
【答案】666+666＋666-（6-6÷6+6-6＋6-6）=1993；222×（2×2×2+2÷2）-（2+2+2÷2）=1993
【例13】在+、-、×、÷、（）中，挑出合适的符号，填入下面的数字之间，使算式成立，每个空都必须填入
运算符号：①987654321=1②987654321＝1000
【考点】巧填算符之逆推法【难度】3星【题型】填空
【解析】
【解析】这两道题等号左边的数字各不相同，且从大到小排列，题目要求在每个数字之间都要填上运算符号，这是解题中要注意到的。
①中，等号右边的得数是最小的自然数1，而等号左边共有九个数字。先考虑用逆推法：由于等号左边最后一个数字恰好是1，与等号右边相同，所以，可以考虑在1的前面添“+”号，这样如果前面8个数字的运算结果是0就可以了，观察注意到，前面8个数字每一个数都比它前面一个数小1，这样，只要把它们分成4组，每两数相减都得1，在两组的前面添“+”号，两组的前面添“-”号，即得到：()()()()98765432=0-+-----或()()()()98765432=0---+---，于是得到答案：()()98765432+1=1-+-----或()()98765432+1=1---+---再考虑用凑数法：注意到等号左边每一个数都比前一个数小1，所以，只要在最前面凑出一个1，其余的凑出0即可，事实上，恰有()()987654321=1-+---+--凑数法的解答还有很多，请同学们试一试其他的凑法。
②中，等号右边是一个较大的自然数1000，而等号左边要在每两个数字之间添上运算符号，考虑用凑数法。由于等号右边是1000，所以，运算结果应由个位是5或0的数与一个偶数的乘积得到。如果这个偶数是8，则在8的左、右两边都应该添“×”号，而9×8=72，而1000÷72不是整数.所以，无论在7654321之间怎样添算符，都不能得到所要的答案。如果这个偶数是6，由于1000÷6不是整数，所以，不能得到所要的结果。如果这个偶数是4，那么在4的两边都应该添“×”号，即有：98765×4×321=1000.在4的右边只有添为()4321⨯-⨯才有可能使左边的算式得1000，这时，必须有98765＝250，经过试验知，无论怎样添算符，都不能使上面的算式成立.所以，这个偶数不能是4。如果这个偶数是2，那么，在2的两边都应该添“×”号，即有9876543×2×1=1000.只要添适当的算符，使9876543的计算结果是500即可.再用凑数法，注意到9×8×7=504，与500很接近，只要能用6543凑出“-”4即可.事实上，6＋5-4-3=4，所以只需9×8×7-（6＋5-4-3）即9×8×7-6-5＋4＋
法：由于等号右边是1000，所以，等号左边1的前面只能添“×”或“÷”号（事实上，“×1”与“÷1”结果是相同的），由于等号右边的得数较大，考虑在2的前面添“×”号，于是9876543应凑出500，再用与上面相同的凑数法即可解决。
【答案】①()()98765432+1=1-+-----()()98765432+1=1
---+---或()()987654321=1
-
+---+--②（9×8×7-6-5+4+3）×2×1=1000
【例14】在下列算式中合适的地方，添上（）[]，使等式成立。
①1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=303
②1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=1395
③1+2×3＋4×5+6×7＋8×9＝4455
【考点】巧填算符之逆推法【难度】4星【题型】填空
【解析】
【解析】本题要求在算式中添括号，注意到括号的作用是改变运算的顺序，使括号中的部分先做，而在四则运算中规定“先乘除，后加减”，要改变这一顺序，往往把括号加在有加、减运算的部分。题目中三道小题的等号左边完全相同，而右边的得数一个比一个大.要想使得数增大，可以让加数增大或因数增大，这是考虑本题的基本思想。
①题中，由凑数的思想，通过加（），应凑出较接近303的数，注意到123456=33+⨯+⨯+，而33×7=231.较接近303，而231+8×9=303，就可得到一个解为：()123456789=303+⨯+⨯+⨯+⨯。
②题中，得数比①题大得多，要使得数增大，只要把乘法中的因数增大.如果考虑把括号加在7+8上，则有()6789=810⨯+⨯，此时，前面12345+⨯+⨯无论怎样加括号也得不到1395810=585-.所以这样加括号还不够大，可以考虑把所有的数都乘以9，即（1＋2×3+4×5+6×7+8）×9=693，仍比得数小，还要增大，考虑将括号内的数再增大，即把括号添在（1＋2）或（3＋4）或（5＋6）或（7+8）上，试验一下知道，可以有如下的添加法：()()123456789=1395
⎡⎤+⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦③题的得数比②题又要大得多，可以考虑把（7＋8）作为一个因数，而1+2×3+4×5+6×（7+8）×9=837，还远小于4455，为增大得数，试着把括号加在（1＋2×3＋4×5＋6）上，作为一个因数，结果得33，而33×（7＋8）×9=4455.这样，得到本题的答案是：（1＋2×3+4×5+6）×（7+8）×9=4455
【答案】()123456789=303+⨯+⨯+⨯+⨯；
()()123456789=1395⎡⎤+⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦；
（1＋2×3+4×5+6）×（7+8）×9=4455
【巩固】
【巩固】在下面的式子里加上（）和[]，使它们成为正确的等式。①217-49×8+112÷4-2=89
②217-49×8+112÷4-2=1370
③217-49×8+112÷4-2=728
【考点】巧填算符之逆推法【难度】4星【题型】填空
【解析】
【解析】本题只要求添括号，而括号在四则运算中的作用是改变运算的先后顺序，即由原来的“先乘除，后加减”改为先做（）中的运算，再做[]中的运算，然后再按四则运算法做.所以，一般来讲，括号应加在“+”、“-”运算的部分。这道题中的三道小题等号左边完全相同，而右边是不同的数，注意到49×8=392，所以，括号不可能添在（217-49×8）上，而且每一道小题都要把217后面的减数缩小。①题中，等号右边的数比较小，所以应考虑用217减去一个较大的数，并且这个数得小于217，最好是一百多，注意到49×8+112=504，而504÷4=126.恰有217-126=91，91-2=89，即可得到答案：217-（49×8+112）÷4-2=89
②题中，等号右边的数比较大，所以在减小217后面的减数的同时，要注意把整个算式的得数增大，这可以通过增大乘法中的因数或减小除法中的除数实现.如果这样做：（217-49）×8，则既减小了减数，又增大了因数，计算知：（217-49）×8=1344.算式中得数是1370.注意到剩下的部分112÷4-2=26相加恰好得到答案：（217-49）×8+112÷4-2＝1370
③题中，等号右边的数介于①题与②题之间，所以，放大和缩小的程度也要适当，由②题的计算知：（217-49）×8=1344，③题的得数是728，而算式左边还有+112÷4-2，观察发现，1344+112＝1456，1456÷2=728。这样可以得到③题的答案是：[（217-49）×8+112]÷（4-2）＝728

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