第⼆章数学的性质1．规律与关系
2．数学、科学与技术
3．数学探索
数学依靠的是两样东西：逻辑与创造。⽽⼈们对数学的追求则有两个⽬的：各种实⽤的⽬的以及数学的内在趣味。对于⼀些⼈，这⾥不仅仅指职业数学家，数学的精髓在于它的美妙和它对于智⼒的挑战。对于另⼀些⼈，包括许多科学家和⼯程师，数学的⾸要价值是它如何能够被应⽤于他们的⼯作之中。因为数学在现代⽂化中扮演着中⼼的⾓⾊，所以对数学性质的基本了解成为科学素养的需要。要做到这⼀点，学⽣需要将数学视为科学活动的⼀部分，了解数学思维的本质，并熟悉重要的数学概念和技巧。
本章重点突出作为科学探索之⼀部分的数学，然后是作为⼀个过程或⼀种思维的数学。涉及数学概念的建议将在第九章“数学世界”中给出，有关数学技巧的建议则包括在第⼗⼆章“思维习惯”中。
《⾯向全体美国⼈的科学》
⼈类努⼒开拓的复杂领域，没有⼀个是能简单地⽤⼏句话或⼏段⽂字来定义的。科学、艺术和技术不能，数学也不能。但是，通过从各⽅⾯来考察这些领域，或者像局内⼈那样开展⼀些⼯作，局外⼈也会对它们的性质逐渐形成丰富的感觉。学习⼀门学科，并进⾏实践，这两种经历能使⼈们掌握⼀些成年后可⼴为应⽤的技巧，并提⾼⼈们的理解⼒。
作为研究模式和关系的科学，数学具有我们在第⼀章“科学的性质”中已描述过的其他科学的许多特性。数学和其他科学在以下⼏⽅⾯是特别相似的，即：相信学科的内在规律，在报告研究成果时讲求诚实和公开，同⾏的批评对评定新研究成果具有重要性，想象⼒对学科发展具有重要作⽤。如同科学与技术⼀样，数学将解答基础问题和解决实际问题有机地结合起来。
在“2061计划”中，数学的地位体现了数学这门学科的丰富多彩、⽆所不在。《⾯向全体美国⼈的科学》和《科学素养的基准》两书都将数学作为这⼀计划的明显部分。在这两本书中，第⼆章简要地说明了学⽣应该知道的数学在整个科学进取中的独特之处；第九章对学⽣应该掌握哪些数学概念提出了建议；第⼗⼀章讲述了⼀些关键的数学概念，例如⽐例和模型，以及这些概念作为分析⼯具的⼴泛应⽤；第⼗⼆章罗列了学⽣需要掌握的数学技能，再结合科学和技术的技能，可有效地处理⽇常⽣活中的实事。当然，课程设置不应将认知与实践截然分开。
确实，在“2061计划”中关于数学的其他部分，将在设计教学⼤纲时体现出来。即将出版的《科学素养的设计》将对此进⾏详细论述。在“206l计划”的课程设置中，⼏乎所有的部分都包含了数学。学⽣们在每个年级都会学到数学，并且将在许多不同的科⽬中和现实世界⾥学习数学(有些会明显地标明为数学，有些则不会)。
1．规律与关系
我们的世界由星系、⾼⼭、⽣物、车辆和各种各样的物体组成，每种物体似乎都很独特。⽽且这些物体之间以各种⽅式相互⼲扰，有时很剧烈，有时也极其细微，使整个世界显得混乱⽆序。应该感谢数学，它使⼈们能够思考这个物质的世界和这个世界中所发⽣的⼀切，并且使⼈们可以利⽤统⼀和有序的⽅法进⾏思想交流。
数字、线、⾓、形状、维数、平均、概率、⽐率、运算、圆周、关联……由这些构成的数学世界有助于⼈们理解这个现实的宇宙，否则，这个宇宙似乎复杂得令⼈绝望。⼏个世纪以来，⼈们⼀直在创⽴和精炼数学的规律和关系。如今，这个进程同历史上任何时期⼀样⽣机勃勃和富有成效。也许，这是因为当今的数学被应⽤的领域⽐以往更多，并且在⽇常⽣活中变得更为重要。
出于培养⼀般科学素养的⽬的，对于学⽣来说，最重要的是：
(1) 要理解数学是对规律和关系的研究；
(2) 要熟悉⼀些规律和关系；
(3) 要学会在⽇常⽣活中使⽤它们。
后两个⽬标是平⾏的，⽆须按照先后排序。事实证明，就绝⼤部分学⽣⽽⾔，先学习抽象的数学内容，然后学习它的应⽤，这样做的效果不好。在安排教学⼤纲时应使学⽣在进⼊数学本⾝的学习之前、之中
以及之后，都能在许多不同的事例中遇到所学的数学规律或关系。
此后，为了达到理解数学的性质这个⽬标，应该不时地为学⽣提供机会，使他们能以纯抽象的⽅式思考数学的规律和关系的性质。可以把⼀段时间内在个⼈或班级笔记本中收集到的关
于数学的规律和关系例⼦作为原始材料，⽤来说明数学怎样定义某⼀个模式或关系，这⽐单个例⼦更加充实、更具有说服⼒。
常常是由于教学⽅⾯的和严格的概念⽅⾯的原因，传统上⼈们将数学家们创⽴和使⽤的单个概念归类为⼀些科⽬，如算术、⼏何、代数、三⾓函数、统计和微积分。在这些科⽬内部和各科⽬之间，数学家试图找到能把不同的概念(它们本⾝也是数学规律和关系)联系起来的数学规律和关系。数学中为数不多的令⼈满意的成果是：证明以前认为是截然分开的两
部分内容其实是某⼀个更加抽象的表述的两个平⾏⽽不同的事例。应尽量创造条件，使所有的学⽣都能亲⾃发现：⼀个概念可以⽤不同的或类似的⽅法来表述。
关于⼈们如何学习的研究告诉我们，强调同⼀概念可⽤多种形式表达以及⼀个概念可解释另⼀个概念这种⽅法对学⽣是有益的。当学⽣开始⽤表格、图像、符号和⽂字表达某⼀种关系时，⼈们有理由相信，这个学⽣已经真正掌握了这种关系的含义。这项研究还认为，学⽣们学习这些表达和解释的⽅法是：在作
业中了解它们和实践它们，在作业中学⽣们关⼼的是答案是什么。通过参加这种活动，学⽣会渐渐地建⽴起关于数学的相关性的概念，偶尔他们可能需要不时地回过头翻阅他们的作业，来确认以前学过的许多数学概念间的联系。
幼⼉园⾄⼆年级
在低年级，孩⼦们通常⽤特有的、具体的⽅法进⾏思维。他们对数学、科学和技术这种⼤科⽬⼏乎不感兴趣。但是，他们通常对学习数字、摆弄数字、辨认形状和简单的图案、搜集和描绘物件、搭建这些物件作出积极的反应。当然，在某些情况下，他们需要明⽩哪些概念或活动归属于数学知识，哪些是科学知识，哪些是技术知识。但是这些归类不如让孩⼦们去做更重要。从⼀开始要让孩⼦们学习数字和形状，对它们进⾏简单的运算，并且尽可能多地以不同的内容做这些练习。
到⼆年级结束，学⽣们应该知道：
■在天然的和⼈造的物体中，能够找到圆形、正⽅形、三⾓形和其他形状。
■把不同的形状放在⼀起或把它们拆开可以做成各种图形。
■物体可沿直线、曲线、圆周，或往返型、锯齿形格线运动；物体通过外⼒也可做出上述运动。
■可以⽤数字来表⽰⼀堆物品的数量。
三年级⾄五年级
学习数学的性质的基本教学策略之⼀是对在各种课程内容中已学到的东西进⾏思考，⼀个可⽤的⽅法是在教室⾥挂上⼀张“我们在数学中学了什么”的表格，然后逐⽉把新学的内容填上。要不时地将些表格中的项⽬分组，标明有些项⽬是其他项⽬的分⽀，或显⽰某些项⽬跟其他表格中的项⽬有相似之处，如“我们在科学中学了什么”、“我们在语⾔学中学了什么”。如果不强调课程的差异，也可以⽤“我们⽤过的数字”、“我们⽤过(或做过)的物体形状”、“我们做过的观察”等等做表格。
例如，数学表格中可⾸先包括计算、测量、估计、观察物体的形状，接着可扩展到加、减等等。兹后，学⽣可把加、减等归类为数字运算；把制作图表、铺展开数据和⽐较两组数据归类为数据分析。在数学和科学的表格中都应含有“测量”这个项⽬以及关于数据的若⼲项⽬，还要把他们的关系显⽰出来。诸如寻找模型、描述关系和给出原因等项⽬，应放在语⾔的表格以及其他的表格中。⽤这种⽅法，学⽣们可以建⽴起⾃⼰的数学知识的详细⽬录，并且列出他们学习知识的历程，新来的学⽣就会知道他们应该掌握的概念(和语⾔)是什么。
到五年级结束，学⽣们应该知道：
■数学是研究多种模式的学科，其中包括数字、形状及对它们的运作。研究这些模式有时是为了解释世界是怎样运⾏的和解决实际问题，有时是因为它们本⾝就是件很有趣的事。
■数学概念可以⽤具体的形象、图表或符号来表述。
六年级⾄⼋年级
低年级的学⽣们能在数学课上学到数学模式和关系式的知识，在其他课的学习中，也能学到与数学关联的知识。到此时，他们已经积累了⼤量的经验，能够制作数据表格、图像、⼏何草图，并⽤这些东西和符号以及明确的语⾔⼀起来描述各种数学模式和关系。因此，现在学⽣能够⽐以往更强烈地把精⼒集中在创造性地解决数学问题上，并且对数学家是如何进⾏⼯作的开始有点认识。
学⽣们从思考⽤数学做什么开始。各个学习⼩组应该独⽴地提出解题⽅案，然后，对不同的⽅案进⾏⽐较，讨论差异并为之辩解。应该⿎励组成⼩组提出各⾃的运算⽅法，使他们意识到解题⽅法不⽌⼀种。各⼩组可能会“对哪种⽅法为最好”产⽣激烈的分歧，这样他们就会对历史上关于数学抽象的争论的激烈程度有所感受。对不同数据组的研究将使各学习⼩组发现数据中有不同的、可能甚⾄是⽭盾的相互关系。还可以让学⽣们开始⾃⼰来命题，并与其他学⽣感兴趣的问题⽐较有什么不同。
对于许多学⽣来说，“最优雅的”数学可能就是最复杂的数学。需要不断地使学⽣牢固建⽴这样⼀个观念，即：⽤最简单的⽅法表述概念及概念的联系，才是最有价值的事情。但是，⼀种简单的数学关系很可能是经历了长期的、凌乱的研究过程才被发现，这种过程也许要反复从问题的⼀个⽅⾯到另⼀个⽅⾯进⾏论证，有时，还会钻⼊死胡同。
到⼋年级结束，学⽣们应该知道：
■通常解答⼀个数学问题的⽅法不是惟⼀的，不同的⽅法有各⾃的优点和缺点。
■在数学的不同成分间能找到逻辑关系。
九年级⾄⼗⼆年级
除了要考虑个⼈的解题经验外，关于数学是怎样发展起来的典型事例教学，可以使学⽣从中了解数学⼯作的⼀些主要特性，并了解从数学研究中获得的各种数学模型和关系式的特性。偶尔，学⽣们⾃⼰可能会有些数学发现，尽管这种发现可能并不新奇，应该积极地⿎励学⽣们的这种发现，因为这可能会造就出数学天才。
现代数学仍在进⾏着新的模式和关系的开发⼯作，了解⼀些现代数学的特点可能是⼏乎所有学⽣所⾯临的挑战。现代理论数学可能是由它被⽤来解决的各种实际问题⽽产⽣的，这些实际问题有：地图上⾊，优化飞机航线，复原模糊图像等。如果学⽣们相信与⼀种实际情况相关的抽象概念也可能会与其他情况相关，那么，数学教学从应⽤到抽象的转变不会削弱“数学家的兴趣在于理论”这⼀观念。
到⼗⼆年级结束，学⽣应该知道：
■数学是对各种规律或关系式的研究，⽽⾃然科学仅仅涉及到那些与被观察的事物相关联的模式。尽管在很早以前数学起源于实际问题，但是，它很快就把注意⼒集中于从物质世界抽象出来的领域，进⼀步再集中于从那些抽象的概念中形成的更抽象的关系式。
■如同其他科学领域，数学领域中的最⾼评价之⼀就是简单。有些数学家试图找出最⼩的⼀组定律，使很多其他定理都可以从这组定律中符合逻辑地推导出来。
■在数学⼯作中，理论和应⽤相互影响。有时，⼀个实际问题可以导致新的数学理论的发现，⽽数学⾃⾝的发展常常⼜会指导实际应⽤。
■新的数学内容不断地被发明，⽽数学不同成分之间的关系也不断地被发现。
2．数学、科学与技术
有很多⼈从事数学⼯作是由于数学的内在魅⼒，⽽没有考虑它的⽤途。然⽽，⼤部分数学真是有应⽤价值的，⽽且解决应⽤中的问题⼜推动了很多数学⼯作。科学和技术是这种应⽤和推动的主要⽅⾯。科学家和⼯程师们在从事⼯作时，可能会⾃⼰来做⼀些数学⼯作，或要寻求数学家们的帮助。这种帮助可能是采⽤已经完善的、能解决问题的数学，也可能是开发出新的数学⽅法来解决问题。⼀⽅⾯，存在着⼀些为历史悠久的数学找出新⽤途的显著的例⼦；另⼀⽅⾯，⾃然科学和技术的需求常常导致新的数学的形成。
幼⼉园⾄⼆年级
在刚⼊学阶段，学⽣们从事观察，收集和分类物品，使⽤⼯具，并制造物件。就他们的发展⽔平⽽⾔，他们是在从事科学⼯作和使⽤技术。通过学校的实践活动，科学和技术帮助学⽣们理解数学的价值，⽽数学也帮助他们从事科学技术⼯作。如果学⽣们常常应⽤数学解决问题，那么他们就会明⽩数学在科学和技术中的⽤途。
此阶段⽆基准要求。
三年级⾄五年级
随着学⽣们升⼊⼩学中年级和⾼年级，数学与科学和技术间的相互作⽤变得更加频繁、更
加复杂。在学⽣进⾏调查和设计项⽬时，画图、制表和按⽐例制图是常做的事。⼏何和数学概念，如垂直、周长、体积、平⽅、开⽅和负数等，都将使⽤得更加普遍。那些对学⽣富有挑战的习题不妨以竞赛或游戏的⽅式出现。但是，⾄少有⼀部分习题应该直接源⾃正在研究的科学和技术。
此阶段⽆基准要求。
六年级⾄⼋年级
科学和技术具有丰富的和特别重要的内容，可以从中学习数学的价值和熟练掌握数学解题的技巧。但是，数学不仅在科学和技术中体现。在艺术、⾳乐、社会学科、历史、体育、交通规则、家庭经济以及其他在校学习的科⽬中都可以体会到数学以及它的应⽤。
到⼋年级结束，学⽣们应该知道：
■数学在⼈类从事的各种⼯作中⼏乎都有⽤，包括砌墙、开药⽅和画头像。⼏千年来，数学对科学和技术的进步作出了特殊的贡献，这种贡献还在不断地继续。
九年级⾄⼗⼆年级
在这个年龄段，应该向学⽣们讲授数学是怎样对科学和技术的发展作出贡献的史例，以及⼀些相反的例⼦。这样的例⼦很多，不难找出⼀些与学⽣正在学的数学相关联的实例。这时，应特别注意数学模型在科学和技术⽅⾯的使⽤。⽽且，课程⼤纲需要给学⽣们提供⼀些机会来详细地了解数学与科学和技术的关系。
到⼗⼆年级结束，学⽣们应该知道：
■数学模型可以⽤来辅助技术设计，采⽤的⽅法是：对所研究系统的理论上的⾏为进⾏模拟。
■数学和科学作为⼀种事业共有许多价值观和特性：有序的信念．诚实和开放的观念，同事评论的重要性，以及想象⼒所起的重要作⽤。
■数学为科学和技术提供了⼀种精确的语⾔，⽤来描述物体和事件，表⽰变量之间的关系的特性，以及进⾏逻辑推理。
■科学或技术的发展常常会促进数学的创新，以解决新的难题。特别是计算机技术(它本⾝就依赖数学)的发展，已经产⽣了很多新的数学问题和数学运算⽅法。
■数学的发展常常促进科学技术上的创新。
3．数学探索
数学家在研究数学时，他们究竟在做什么呢?⼤多数⼈知道⼀些不同的职业的⼤致情况，但对细节的了解却不甚准确，这是因为他们只是通过书本、电影或者电视个别地或间接地接触这些职业。⼈们⼏乎没有机会去亲眼⽬睹数学家⼯作的情景，也没有机会倾听数学家叙述⾃⼰的⼯作情况。对于学⽣来说，学会如何解答定义严格的数学问题是重要的，但是，这并不能⾃然地导致学⽣们对数学探索是如何进⾏的有⼀个较⼴泛的了解。
数学是具有循环性的探索⼯作，其⽬的是开发有⽤的数学概念。这也是《⾯向全体美国⼈的科学》和《
科学素养的基准》本章节中所采⽤的⽅法(本书第⼗⼀章“通⽤概念”中也涉及到这⼀内容。在那⼉，⼈们将数学模型与物理模型和概念模型⼀起考虑)。
应该记住，数学的发现并不是由于⼀些严格的推导，⽽是由于⾃然科学中的发现。的确，数学研究或迟或早都会包括某些推导或运算过程，但是，次序并不固定，并且重点应该放在哪个过程上，会有很⼤的变化。数学研究由表述、运算和验证三部分组成⼀个循环，其中的每⼀步都应作为学习数学的⼀个独⽴环节来认真地学习。当学⽣们进⾏⾃⼰个⼈的数学研究时，应该有机会经历运⽤这个完整循环的过程。获得这种经验的⽬的，不是为了将学⽣们造就成职业的数学家，⽽是要使他们成为熟悉数学探索的成年公民。
这⼀循环中的每⼀部分都会出现⼀些学习上的困难。许多学⽣认为，⽤符号和表达式来表述的东西只能是“实物”。学⽣理解“⽤A表⽰房屋地板的⾯积”⽐“让Y等于任⼀矩形⾯积”更为容易。⾸先，必须让学⽣们相信，⽤抽象符号代替实际数字很有必要。然后，让他们进⼀步认识，使⽤符号代表抽象、抽象的抽象，同样可以成功地解决问题。也许，这就意味着带领学⽣进⼊数学世界，使得他们见到数字、形状、运算、符号以及代表符号组的符号，如同见到⽊块、奶⽜、美元⼀样真实。
对于运算这⼀环节，有两个条件对学⽣来说似乎相互⽭盾。⼀个条件是必须永远严格遵循⼀组公式，另⼀个条件是可以对这些公式进⾏补充。这就是数学的严谨性和灵活性相互结合之处。假设⼀定数量，赋
予它们⼀些属性，选择⼀些运算⽅法，⽤符号代表每⼀事物，设定⼀个问题，然后按照确定的逻辑公式，变换符号的位置，看看会出现什么样的结果。
但是，这个结果能否令⼈满意?只能具体情况具体分析——这是学⽣很难理解的。他们习惯解答那些过程已事先确定、“正确的”答案可以预料的数学题。但是，在现实的数学研究中，⼀个好的结果是那些能导致新的数学发现的结果，以及在科学、医学、⼯程、商业或其他领域具有实⽤价值的成果。因此，“验证”这个环节在数学中可以起判断的作⽤，⽽不是依据。当⼀个结果不太令⼈满意时，它可能与对于什么是完满的认识、问题是如何形成的以及结果是怎样得到的有很⼤关系。
幼⼉园⾄⼆年级
通常应该选⽤具体的物体帮助孩⼦发现和解释符号关系。学⽣们应该看到，在他们周围的世界⾥，有许多事物可以⽤符号和形状来描述。他们应该渐渐地认识到，如同字母和单词构成了阅读和书写的语⾔⼀样，数字和形状组成了数学的语⾔。
到⼆年级结束，学⽣们应该知道：
■能⽤数字和形状描述事物。
三年级⾄五年级
继续使⽤具体的物体来帮助学⽣们将真实的物体和事件与抽象的表达联系起来。在学⽣们头脑中形成的制图和做事能⼒将通过经常应⽤于现实世界⽽得到加强。应该⿎励学⽣⽤数学⽅法，即数字、形状和运算，来描述各种事物。
到五年级结束，学⽣们应该知道：
■可借助数字和形状以及它们的运算，来描述和预测我们⾝边的现实事物。
■在使⽤数学时，必须做出“哪种运算可以获得最好结果”的选择。结果总是以它们是否有意义和有⽤途来判断的。
六年级⾄⼋年级
在描述⼈们尚不知晓名称的物体时，不论它们是否与数学有关，学⽣们可以⽤字母代表它们的临时名称以便进⾏讨论。渐渐地可以把⼀个符号代表某⼀特定的未知事物的概念扩展到它可以表⽰任意可能未知的事物集合。毫⽆疑问，学⽣们在学习数学新知识时，常常还必须从具体的概念开始。
学⽣们应该仔细了解某些数学模型在描述和预测现实事件中的局限性(数学模型产⽣令⼈失望的结果，是由于现实世界中存在不可预知的变化，或是使⽤了不恰当的数学模型)。应该⿎励学⽣陈述⾃⼰判断结果是否满意的标准，并⿎励他们根据⾃⼰的⽬的，论述⾃⼰所作的判断。
应该尽量减少习题中的⼈为编撰的成分。这样就会使习题不是总有明确的答案，使学⽣可以通过尝试、评估和修改等数学⽅法来选择和改进习题的答案。应该对于错误(例如错误的乘法)和导致失败的合理选择(可以重新思考)加以区分。
到⼋年级结束，学⽣们应该知道：
■数学家们常常⽤抽象的概念，如数字或直线来表述事物，然后只⽤这些概念进⾏⼯作。他们所抽象的“事物”可能本⾝就是概念(例如：关于“全等三⾓形”和“所有的奇数”的概念)。
■当数学家们⽤逻辑的规律来处理事物的抽象代表时，其结果对于事物本⾝来讲可能有效，也可能⽆效。使⽤数学解决⼀个问题时，要选择⽤什么数学模式，可能要做⼀些简化的假设、估计和近似，进⾏运算，最后查看答案是否有意义。如果答案从预期的⽬的来看没有什么意义，则表明解题的某个步骤可能不恰当。
九年级⾄⼗⼆年级
应该使学⽣们有机会看到，解决同⼀个数学问题，可能有不只⼀个同样有效的模式，这样学⽣们就不会得出这样的结论：解决科学或技术问题总是只有⼀个最好的数学模型。为了让学⽣掌握数学的⼀套推理步骤，应先让学⽣复习他们以前解过的习题，以便清晰地考虑这些步骤，然后，每当他们遇到新习题
时，要求他们再回想这些步骤。可以把某种数学想象成⼀种按照⼈为规则来玩的“游戏”，这种游戏是以结果有意义和有⼴泛应⽤价值为⽬标的。⾄少在有意义的应⽤范围内，这些游戏的规则不能相互⽭盾。
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