2024年9月21日发(作者：)

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解决三角函数各类问题的十种方法

付明慧

三角函数这一知识点在教师招聘考试中占有很大比例，关于三角函数的各类问题都曾考察涉及过，三

角函数这部分内容涉及公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定的规律性，本文对关于三角

函数考察的真题及解法进行总结归纳。

１、凑角法

一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利

解答。

【例】求

tan204sin20

的值。

【解析】原式

sin202sin40

cos20

cos20

sin202sin(6020)

cos20

3

。

sin202(sin60cos20cos60sin20)

【评注】三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，

或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异。本题注意若将第一步中的分

子化为

sin(6040)2sin40

，或者化为

sin(3010)2sin(3010)

，都没有上面的方法简捷，

请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！

２、降幂法

一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及

sin

2

cos

2

1

，或降幂公式

sin

2

1cos2

2

,cos

2

2

1cos2

2

等借助降幂策略解答。

26

【例】若

cos

cos

1

，求

sin

sin

的值。

1

2

51

2

5

【解析】由

cos

cos

1

，得

cos

2

cos

，（舍去）。由

cos

cos

1

，

2

又可得

cos

1cos

sin

，

则

sin

sin

cos

cos

，又由

co

s

co

sco

s

3

22

263

c

os

2

1cos

1

，得

2

2

co

，

s

故

3co

cos

355

2

2

(1

cos

)co

s(2

cos

)2c

，

o

代

s

值

c

可

o

得

s

sin

sin

26

。

【评注】若求出

cos

的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了。涉及

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非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问

题就特别注意联想“降幂法”解答。

３、配对法

根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答。

【例】已知

x(0,

2

)

，且

cosxcos2xcos3x1

，求

x

的值。

2

sinx

，

3

则

mn3

，

222

22

【解析】设

mcos

2

xcos

2

2xcos

2

3x

，令

nsinxsinx2

mncos2xcos4xcos6x

，其中，

cos6x2cos

2

3x1

，

cos2xcos4xcos(3xx)cos(3xx)2cosxcos3x

，

mn2cos3x(cosxcos3x)1

，又

cosxcosx3coxs(2x)

1

4

cxos(x2)

，故可解

x2co

，故

sx

mn4cosxcos2xcos3x1

得

cosxcos2xcos3x

(2m2)0(m1)

。则

cosx0

，或

cos2x03

，或

cosx0

，又

x(0,

，则

)

x

或

x

。

2

64



【评注】三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如

sin

2

cos

2

1

等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答。

４、换元法

很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问

题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题。

（

75）cos（

45）-3cos（

15）

【例】求

sin

的值。

【解析】令

15

，则原式

sin(

60)cos(

30)

(sin

cos60cos

sin60)(cos

cos30sin

sin30)

3cos

3cos

0

。

【评注】教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于

已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分

重要。对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多。

５、方程法

有时可以根据已知构造所求量的方程解答。

33

【例】若

cosxsinx1

，试求

sinx

的值。

2

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