数量关系知识点和公式总结

数量关系知识点和公式总结

湖北华图王单

（一）解题思想

考点1.代入排除思想

题型：多位数问题、年龄问题、余数问题、不定方程问题、没有思路的问题等。

代入技巧：

①

最值代入：出现最多（大），从最大的一项开始依次代入。

出现最少（小），从最小的一项开始依次代入。

②

最简代入：从最简单、最容易计算的选项代入。

③

居中代入：从数值居于中间选项开始代入（一般为B/C选项）。

④常识代入：代入选项后要符合生活常识。

⑤先排除后代入：利用数字特性（倍数特性、奇偶特性）排除选项，再代入计算。

考点2.数字特性思想

1.奇偶特性

①

和差同类：两个数做和与做差的奇偶性相同

应用：知和求差或知差求和

②

同类为偶：奇偶性相同的数做和或做差后为偶数

异类为奇：奇偶性不同的数做和或做差后为奇数

应用：求解不定方程

2.整除特性

2（5）：一个数的末一位能被2（5）整除，则这个数能被2（5）整除；

4（25）：一个数的末两位能被4（25）整除，则这个数能被4（45）整除；

3（9）：一个数的各位数字之和能被3（9）整除，则这个数能被3（9）整除。

3.比例倍数特性

若a：b=m：n（m、n互质）

则a是m的倍数；b是n的倍数；

a±b是m±n的倍数。

考点3.方程思想

1.定方程和方程组

方程三步走：

1.设未知数：【1】一般情况下，求谁设谁。

【2】设中间量。

【3】设比例分数（有分数、百分数、比例、倍数）

2.列方程：找准等量关系，所设方程应便于求解。

3.解方程：【1】“加减消元法”；

【2】“代入消元法”；

【3】未知数对称时，整体考虑。

2.不定方程和不定方程组

1.不定方程：

概念：一元一次方程组中方程的个数小于未知数的个数。

方法：奇偶性、代入排除法、尾数法、倍数法。

2.不定方程组：

概念：多元一次方程组中方程的个数小于未知数的个数。

方法：

未知数为整数时：先消去一个未知数转化为不定方程，再求解。

未知数不一定为整数时：凑系数法、赋0法。

（二）初等数学

考点1.约数和倍数

①

概念：

abc，则b是a的约数，a是b的倍数。

②

最大公约数和最小公倍数的求法：短除法。

③

每+时间段连续出现，考察最小公倍数。

④每隔N天=每N+1天。

考点2.周期问题

,则第A个与第a个等价。

1.概念：

ATNa(T为周期）

2.方法：公式法（注意区分过A和第A）

（三）数列问题

考点1.等差数列

通项公式：

a

n

a

1



(

n

1)

d

s

求和公式：

级差公式：

考点2.等比数列

n





a



a





n

平均数

1

2

n

×项数=中位数×项数

a

n



a

m

(

n



m

)

d

通项公式：

a

n



a

1



q

n



1

a

1



(1



q

n

)

求和公式：

S

n

(q1)

1



q

na

1

(

q

1)

（四）工程问题

1.核心公式：工作总量=工作效率×工作时间

2.给定工作完成时间型：

概念：给定两个及以上的完成工作时间

方法：①赋值工作总量为时间的最小公倍数

②分别求效率

③根据题意求解

3.给定效率比型：

1.概念：给定效率比

直接给定：

①甲乙的效率之比为3:4；

②甲乙的效率比为2：3，乙丙的效率为2:1。

→单比化为连比：三者效率比为甲：乙：丙=4:6:3。

间接给定：

①甲队工作效率为乙队的1.5倍；甲：乙=3:2

②甲队三天工作量与乙队两天工作量相当；3甲=2乙→甲：乙=2:3

1

→甲：乙=3:4

2

11

④相同时间内，甲队完成了总量的1/2，乙队完成了总量的1/3。甲：乙=

:=3:2

23

③甲队两天的工作量是乙队三天天工作量的二分之一；2甲=3乙×

2.方法：直接赋值工作效率为其比值

4.给定人数或机器数：

设每人/台机器的效率为1

5.直接计算：

直接利用基本公式求解

（五）经济利润问题

1.基础经济问题

考点：基本公式

①利润=售价-成本

②总利润=总收入-总成本=单件利润×数量

③利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷成本

④售价=成本×（1+利润率）

⑤成本=售价÷（1+利润率）

方法：赋值法、方程法

2.部分打折问题

公式：①未打折部分收入+打折部分收入=总收入=总成本+总利润

②未打折部分利润+打折部分利润=总利润

3.分段计费问题

公式：总费用=各段费用之和

方法：线段图法

4.经济统筹问题

关键：①注意题目中的陷阱

②具体情况具体分析

（六）行程问题

1.基础行程问题：路程=速度×时间

2.火车过桥问题

①火车通过整座大桥，从车头上桥至车尾离桥：

路程S=桥长+车长=速度×时间；

②火车在整座大桥上，从车尾上桥至车头离桥：

路程S=桥长-车长=速度×时间。

3.等距离平均速度问题

公式：

v



4.相遇追及问题

2v

1

v

2

v

1



v

2

①一般相遇追及问题

相遇问题：路程和=（V

大

+V

小

）×t（方向相反）

追及问题：路程差=（V

大

-V

小

）×t（方向相同）

②环形相遇追及问题

相遇问题：nS

0

=（V

大

+V

小

）×t（方向相反）

追及问题：nS

0

=（V

大

-V

小

）×t（方向相同）

注：n为相遇次数，S

0

为周长。

③多次相遇问题

（2n-1）S=（V

大

+V

小

）×t

5.流水行船问题

①顺水问题：顺水速度=船速+水速

②逆水问题：逆水速度=船速-水速

（七）容斥原理

1.两集合容斥：总数-都不满足的个数=A+B-AB

2.三集合容斥：

总数-都不满足的个数=A+B+C-AB-BC-AC+ABC

总数-都不满足的个数=A+B+C-②-2×③

整体重复公式：总数-都不满足的个数=①+②+③

图示法：（1）从中间开始突破（2）剔除重复

（八）几何问题

1.公式计算型：

常用周长公式

正方形周长

C

正方形

4a

；长方形周长

C

长方形

2



ab



；圆形周长

C

圆

2



R

；

常用面积公式

22

正方形面积

S



a

；长方形面积

S



ab

；圆形面积

S

O





R

；

三角形面积

S





1

ah

；平行四边形面积

S



ah

；

2

梯形面积

S

梯形



常用表面积公式

1

n



R

2



ab



h

；扇形面积

S

扇形



2360



2

正方体的表面积

6a

；长方体的表面积

2ab2bc2ac

；

球的表面积

4



R



D

；圆柱的表面积

2



Rh2



R

，侧面积

2



Rh

222

常用体积公式

正方体的体积

a

；长方体的体积

abc

；球的体积



3

41



R

3





D

3

36

圆柱的体积





Rh

；锥体的体积



2

1

S

底

h

3

2.几何特性：

尺度扩大理论（相似图形）：

若将一个图形尺度扩大为原来的N倍：

对应角度不变；对应周长变为原来的N倍；

面积变为原来的N

2

倍；体积变为原来的N

3

倍。

几何最值理论：

（1）平面图形中：若周长一定，越接近于圆，面积越大；

若面积一定，越接近于圆，周长越小；

（2）立体图形中：若表面积一定，越接近于球，体积越大；

若体积一定，越接近于球，表面积越小。

（九）边端计数

1.植树问题：

①单边线型植树：

棵数=总长÷间隔+1；总长=(棵数-1)×间隔

②单边环型植树公式：

棵数=总长÷间隔；总长=棵数×间隔

③单边楼间植树(锯木、爬楼)公式：

棵数=总长÷间隔-1；总长=(棵数+1)×间隔

④双边线型植树：棵数=单边×2

⑤锯木问题：锯n次，得(n+1)段

⑥爬楼问题：第n楼→第m楼，爬了丨m-n丨层

2.方阵问题：

N阶实心方阵：

①总人数=N

2

；

②最外层人数为4×(N-1)人；

③相邻两层相差8人。

（十）排列组合问题

1.基础排列组合

①排列：与顺序有关；组合：与顺序无关。

识别方法：从中任意选出两个元素，交换顺序试一下。

若产生新情况，即为排列；若情况没有发生变化，即为组合。

②加法原理：分类用加法（可以一步到位）；乘法原理：分步用乘法（不能一步到位）。

2.捆绑法

题目特征：相邻、在一起；

解题步骤：先将相邻元素全排列，然后将相邻部分视为一个整体与剩余元素全排列。

3.插空法

题目特征：不相邻、不在一起；

解题步骤：先将剩余部分全排列，然后将不相邻元素有序插入所形成的空中。

4.分配插板法

①题目特征：相同的东西（m个）分给多个人（n个），每人至少得一个。

n-1

方法：分配插板法，共有

C

m

种方式。

-1

②题目特征：相同的东西（m个）分给多个人（n个），每人至少得z个。

n



1

方法：先给每个人Z-1个，共有

C

m

种方式。



(

z



1)

n



1

5.全错位排列

信封问题：将n封信取出，然后放回信封，要求不能放回原来的信封。

使用方法：牢记结论。

n个元素对应的错位排列情况为：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44

6.概率问题

P=

满足条件的情况数

总情况数

逆向思维：满足条件的概率=1-不满足条件的概率

（十一）时间问题

1.钟表问题

基本知识：秒针的旋转速度为360°/分钟

分针的旋转速度为6°/分钟

时针的旋转速度为0.5°/分钟

方法：转钟法：

追及法：每分钟分针追及上时针5.5°

2.星期日期问题

①平年与闰年：4年一闰，100年不闰，400年再闰。

闰年判定法：普通年份，能被4整除；整百年份，能被400整除。

②大月与小月：大月31天（1，3，5，7，8，10，12）；

小月30天（4，6，9，11），2月28（29）天。

③星期：每七天为一个循环。每过一年，星期增加一天，跨闰日再加一天。

3.年龄问题

①每过N年，都长N岁；

②年龄差不变。

方法：代入排除法、方程法。

（十二）构造问题

1.最不利构造

①特征：至少(最少)…保证…

方法：最不利情况数+1

②特征：至少(最少)…保证N个相同

方法：1.（N-1）×种类数+1

2.对于不够N-1的情况，全部取上。

2.多集合反向构造

①

特征：至少…都…

②

方法：反向——加和——做差

3.构造数列

特征：最……最……；排名第……最……。

方法：①构造有序数列；②设未知数（求什么设什么）；③列出各项；④列方程求解。

构造顺序：

①问最多（大），总和一定，其他项尽可能少，按从小到大的顺序构造。

，总和一定，其他项尽可能多，按从大到小的顺序构造。

②

问最少（小）

计算结果不为整数：

。

①

代入题目读一遍；

②

反向取整的原则（问大取小，问小取大）

（十三）溶液问题

1.简单混合型

方法：基本公式

浓度=溶质÷溶液=溶质÷（溶质+溶剂）

2.变化型

溶质不变加减水：赋值溶质为分子最小公倍数，分母的变化即为每次加减水的量。

倒出溶液加满水：溶质按比例减少。

3.十字交叉型

“十字交叉”法：

例：重量分别为A和B的溶液，浓度分别为a和b，混合后浓度为r。

例：A个男生的平均分为a，B个女生的平均分为b，总体平均分为r。

类似于上面的问题，可以列出下列公式：

Aa



Bb





A



B



r



Ar



b



Ba



r

以上问题称之为“加权平均问题”，可以采用十字相乘法。

（十四）趣味问题

1.牛吃草问题

y=（N-x）×T

y：原有的总量；T：消耗完所需的时间

N：牛数（单位时间草的减少量）；x：单位时间草的增长量

默认：每头牛单位时间吃草量为1

2.空瓶换酒问题

①

M个空瓶换1瓶酒，X个空瓶最多可以喝到酒的瓶数：

x

M

1

②已知总共喝到的瓶数为A，B个空瓶可以换一瓶酒，最少购买的瓶数为X：

可以解方程

X



3.过河爬井问题

X



A

，求解出X（取整时，取大的）。

B



1

M



1

次；

N



1

M



a

②青蛙要爬M米才能到达井口，每次爬N米，下滑a米，故共需爬

次。

N



a

①M个人过河，船上能载N个人，由于需要1人划船，则共需过河

4.统筹问题

摊煎饼、洗车问题：考虑用最少的时间。

称硬币问题：

n

次最多可以称

3

枚硬币

；

n

3

n



1

硬币个数

3

n

,

需要称的次数为n次。