第一讲讲义(数的开方)

第一讲讲义 数的开方

一、实数的分类：

正整数

整数 零

有理数 负整数 有限小数或无限循环小数

正分数

分数

负分数 小数

1.实数

正无理数

无理数 无限不循环小数

负无理数

2、数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定

的三要素缺一个不可),实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。

3、相反数与倒数



a(a0)



4、绝对值

|a|



0(a0)



a(a0)



5、非负数的性质：若几个非负数之和为零 ，则这几个数都等于零。

二、相关概念

1.无理数：无限不循环小数



算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x

2

a





那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a，





算术平方根为非负数a0





正数的平方根有2个，它们互为相反数









平方根



0的平方根是0











负数没有平方根





2.无理数的表示



定义：如果一个数的平方等于a，即x

2

a，那么这个数就



叫做a的平方根，记为a







正数的立方根是正数







立方根





负数的立方根是负数











0的立方根是0





定义：如果一个数x的立方等于a，即x

3

a，那么这个数x





就叫做a的立方根，记为

3

a.





概念有理数和无理数统称实数





正数









有理数





分类或



0



无理数















负数

3.实数及其相关概念





绝对值、相反数、倒数的意义同有理数





实数与数轴上的点是一一对应



实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则







运算规律相同。

三、知识要点

1、算术平方根：如果一个正数

x

的平方等于a，即

xa

，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作“

a

” ，

2

读作“根号a”。

注：（1）规定0的算术平方根为0，即

00

；（2）负数没有算术平方根，也就是

a

有意义时，

a

一定表示一

个非负数；（3）

a

0

（

a0

）。

2、平方根：如果一个数

x

的平方等于a，即

xa

，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。

2

注：（1）一个正数a必须有两个平方根，一个是a的算术平方根“

a

” ，另外一个是“-

a

”,读作“负根号a” ，

它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a的平方根的运算。其中a叫做被开方数。



a(a0)

aa



a(a0)



2



a



2

a



a0



4、立方根的概念：如果一个数x的立方等于a ，即x

3

=a，那么这个数x就叫做a的立方根（或叫做三次方根）。

5、立方与立方根的关系：若有x

3

=a成立，则a是x的立方，x就是a的立方根。

注：任何数均有立方根，立方根是唯一的；任何数不一定有平方根，平方根是不唯一的。

6、开立方的概念：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数。

注：

3

a

3

a

，

(

3

a)

3

a

7、正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数

注：正数的立方根大于负数的立方根，0是介于两者之间。

8、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系：

（1） 区别：

A、根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。

B、被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以是任何数。

C、 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；算术平方根只有一个，且是正数;立方根的结

果只有一。

（2） 联系：二者都是与乘方运算互为逆运算。

特别注意：

(a)

2

a

a

2

a

3

a

3

a

(

3

a)

3

a

9、比较两个无理数的大小：（1）＞

b

0

a

＞

b

33

（2）

a

＞

b



3

a

＞

3

b

或

a

＞

b

10、含有二次根号式子取最小值时，当且仅当被开方数为0，且被开方数为非负数有意义。

11、常见必背平方、立方数

120以内平方数：1

2

=1，2

2

=4，3

2

=9，4

2

=16，5

2

=25，6

2

=36，7

2

=49，8

2

=64，9

2

=81，10

2

=100，11

2

=121，12

2

=144，

○

13

2

=169，14

2

=196，15

2

=225，16

2

=256，17

2

=189，18

2

=324，19

2

=361，20

2

=400。

210以内立方数：1

3

=1，2

3

=8，3

3

=27，4

3

=64，5

3

=125，6

3

=216，7

3

=343，8

3

=512，9

3

=729，10

3

=1000。

○

四、例题精讲

例1、求下列各数的算术平方根与平方根

（1）

5

（2）100 （3）1

（4）0 （5）

例2、计算

（1）

（4）

例3、当

例4、若

a4b12

=0，则

ba

的立方根是多少？

例5、A.若a=

3

2

,b=-∣－

2

∣，c=



3

(2)

3

,则a、b、c的大小关系是（ ）.

A. a＞b＞c B. c＞a＞b C. b＞a＞c D. c＞b＞a

例6、已知实数满足

2

4

（6）7

9

2





25



2



64

（2）





49



（3）





7.2



2



2



2

a2

a2

（5）

4

254416



（6）



369925

有意义时，a的取值范围是多少？

1



3

5a

，则

a

的取值范围是___________.

4a

例7、已知

m51

的小数部分为

b

，求

(m1)(b2)

的值。

例8、已知

a,b,c

实数在数轴上的对应点如图所示，化简

aabca(bc)

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