人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元练习题(含答案) (三篇)

第十七章

勾股定理

一、选择题

1.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水深为(

)

A． 1.5米

B． 2米

C． 2.5米

D． 1米

2.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4等于(

)

A． 86

B． 64

C． 54

D． 48

3.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC＝8

cm，AC＝17 cm，AB＝5 cm，BD＝10m，则C，D两辆车之间的距离为(

)

A． 5 m

B． 4 m

C． 3 m

D． 2 m

1

4.如图是由三个棱长均为1的正方体箱子堆积而成的几何体，在底端的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到顶端的顶点B处的食物，则它沿该几何体表面爬行的最短路程等于(

)

A．B． 2C．D． 5

＋1

5.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为(

)

A． 40 cm

B． 60 cm

C． 80 cm

D． 100 cm

6.三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为(

)

A． 6

B． 4.5

C． 4.8

D． 8

7.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2 m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′(

)

2

A．

小于1 m

B．

大于1 m

C．

等于1 m

D．

小于或等于1 m

8.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是(

)

A． 5 m

B． 12 m

C． 13 m

D． 18 m

二、填空题

9.直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．

10.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．

11.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，则△ABC________直角三角形．(填“是”或“不是”)

12.如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，该图形的面积等于________．

3

13.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)．

14.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD于A，AB＝8积为__________．

，AD＝8，BC＝7，CD＝25，则四边形ABCD的面15.如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3＝________.

16.在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1 cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x(s)，当x＝__________，△BPQ是直角三角形．

三、解答题

17.如图所示的一块地，AD＝9 m，CD＝12 m，∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这块地的面积．

4

18.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？

19.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

20.为了弘扬“社会主义核心价值观”，乐至县政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的距离分别是5米和3米．

(1)求公益广告牌的高度AB；

(2)求∠BDC的度数．

21.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

中国最早的一部数学著作－－《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中5

有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵．”

任务：

(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做__________定理；

(2)请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺．

6

答案解析

1.【答案】A

【解析】设水深为h米，则红莲的高(h＋1)米，且水平距离为2米，

则(h＋1)2＝22＋h2，

解得h＝1.5.

故选A.

2.【答案】C

【解析】如图1，S1＝∵BC2＝AB2－AC2，

∴S2－S1＝S3，

如图2，S4＝S5＋S6，

∴S3＋S4＝45－16＋11＋14＝54.

AC2，S2＝AB2，S3＝BC2，

故选C.

3.【答案】D

【解析】在Rt△AOC中，∵OA2＋OC2＝AC2，

∴OA＝＝＝15(m)，

∴OB＝OA＋AB＝20 m，

在Rt△BOD中，∵BD2＝OB2＋OD2，

∴OD＝＝＝10(m)，

∴CD＝OD－OC＝2 m，

故选D.

4.【答案】A

7

【解析】如图所示，

由图可知，AB＝故选A.

＝.

5.【答案】D

【解析】如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．

在直角△A′EG中，A′E＝80 cm，EG＝60 cm，

∴AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝∴最短路线长为100 cm.

故选D.

6.【答案】C

【解析】∵62＋82＝102，

∴这个三角形是直角三角形，

∴最长边上的高为6×8÷10＝4.8.

故选C.

7.【答案】A

【解析】在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7，

由勾股定理，得AB＝由题意可知AB＝A′B′＝，

，

，

＝100 cm.

又OA′＝3，根据勾股定理得OB′＝∴BB′＝7－8

＜1.

故选A.

8.【答案】D

【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12 m，旗杆离地面5 m折断，且旗杆与地面是垂直的，

所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．

根据勾股定理，折断的旗杆为＝13 m，

所以旗杆折断之前高度为13 m＋5 m＝18 m.

故选D.

9.【答案】6

【解析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，

∴另一直角边长为＝4.

3×4＝6. 该直角三角形的面积S＝×10.【答案】480

【解析】设三边的长是5x,12x,13x，

则5x＋12x＋13x＝120，

解得x＝4，

则三边长是20,48,52.

∵202＋482＝522，

∴三角形是直角三角形，

∴三角形的面积是×20×48＝480.

11.【答案】是

【解析】由分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，得

BC2＋AC2＝AB2，

则△ABC是直角三角形．

12.【答案】96

【解析】连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，

∴AC＝在△ABC中，

∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，

9

＝＝10， ∴△ABC为直角三角形；

∴图形面积为

24－×6×8＝96.

S△ABC－S△ACD＝×10×

13.【答案】5

5n

【解析】已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，

新正方形A1B1C1D1的面积是5，

5＝25＝52，… 从而正方形A2B2C2D2的面积为5×正方形AnBnCnDn的面积为5n.

14.【答案】84＋96【解析】连接BD，

∵AB⊥AD，

∴∠A＝90°，

∴BD＝24，

∵BC2＋BD2＝72＋242＝625＝252＝CD2，

∴△CBD为直角三角形，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD

8＝×＝96×8＋84.

24×7 ＋×

15.【答案】12

【解析】∵△ABC直角三角形，

∴BC2＋AC2＝AB2，

∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，

∴S3＝S1＋S2＝12.

16.【答案】2或10

【解析】根据题意，得BP＝tcm，CQ＝2tcm，BQ＝(8－2t) cm，

若△BPQ是直角三角形，则∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，

①当∠BPQ＝90°时，

Q在A点，CQ＝CA＝4 cm，

4÷2＝2(s)；

②当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝90°－60°＝30°，

∴BQ＝BP，

即8－2t＝t，

解得t＝，

秒时，△BPQ是直角三角形． 故当t＝2或17.【答案】解 连接AC，则在Rt△ADC中，

AC2＝CD2＋AD2＝122＋92＝225，

∴AC＝15，

在△ABC中，AB2＝1521，

AC2＋BC2＝152＋362＝1521，

∴AB2＝AC2＋BC2，

∴∠ACB＝90°，

∴S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216.

答：这块地的面积是216平方米．

【解析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．

2＝16海里， 18.【答案】解

BM＝8×BP＝15×2＝30海里，

11

在△BMP中，BM2＋BP2＝256＋900＝1156，PM2＝1156，

BM2＋BP2＝PM2，

∴∠MBP＝90°，

180°－90°－60°＝30°，

故乙船沿南偏东30°方向航行．

【解析】先根据路程＝速度×时间，求出BM，BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到∠MBP＝90°，进一步即可求解．

19.【答案】解 如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，

设BD＝x，则CD＝14－x，

由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，

故152－x2＝132－(14－x)2，

解之得x＝9.

∴AD＝12.

∴S△ABC＝BC·12＝84.

AD＝×14×

【解析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．

20.【答案】解

(1)在直角三角形ADC中，

AC＝＝＝4(m)，

在直角三角形BDC中，

BC＝＝＝3(m)，

故AB＝AC－BC＝1(米)，

答：公益广告牌的高度AB的长度为1 m；

(2)∵在直角三角形BDC中，BC＝CD＝3 m，

∴△DBC是等腰直角三角形，

∴∠BDC＝45°.

【解析】(1)直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出BC的长即可得出AB的长；

12

(2)利用已知结合(1)中所求得出△DBC是等腰直角三角形，进而得出答案．

21.【答案】解

(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理；

故答案是勾股；

(2)如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，

3＝15(尺)， 另一条直角边长5×因此葛藤长为＝25(尺)．

答：问题中葛藤的最短长度是25尺．

【解析】(1)根据勾股定理的概念填空；

(2)这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

13

河北省中考数学模拟试卷（一）

一、选择题：本大题共16题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．计算4﹣（﹣4）0的结果是（ ）

A．0 B．2 C．3 D．4

2．下列各数中，最小的数是（ ）

A．1 B．﹣|﹣2| C． D．2×10﹣10

3．如图，已知直线a∥b，点A、B、C在直线a上，点D、E、F在直线b上，AB=EF=2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为（ ）

A．2 B．4 C．5 D．10

4．下列说法中，不正确的是（ ）

A．5是25的算术平方根

B．m2n与mn2是同类项

C．多项式﹣3a3b+7ab+1的次数是4

D．﹣8的立方根为﹣2

5．已知不等式组A．C．

，则该不等式组的解集（阴影部分）在数轴上表示正确的是（ ）

B．D．

6．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，则下列判断不正确的是（ ）

第1页（共30页）

A．∠ABC=∠A′B′C′ B．∠BOC=∠B′A′C′ C．AB=A′B′ D．OA=OA′

7．某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的侧面积为（ ）

A．150πcm2 B．200πcm2 C．300πcm2 D．400πcm2

8．将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（ ）

A．y=（x+2）2+4 B．y=（x+2）2﹣4 C．y=（x﹣2）2+4 D．y=（x﹣2）2﹣4

9．如图是小鹏自己制作的正方形飞镖盘，并在盘内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．

10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC=60°，则劣弧AC的长为（ ）

A．2π B．4π C．5π D．6π

11．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）

第2页（共30页）

A．50° B．60° C．70° D．80°

12．如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B为位似中心，在平1，

面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：则点C′的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（1，0）

13．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根，则k的非负整数值为（ ）

A．1 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2

14．BC=12，P是BC上的一个动点，∠ABC＞90°，∠C=30°，如图，在△ABC中，过点P作PD⊥AC于点D，设CP=x，△CDP的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．

15．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：△BCM如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（ ）

第3页（共30页）

A．小平的作法正确，张萌的作法不正确

B．两人的作法都不正确

C．张萌的作法正确，小平的作法不正确

D．两人的作法都正确

16．如图，四边形OABC是菱形，对角线OB在x轴负半轴上，位于第二象限的点A和第三象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作y轴的垂线，垂足分别为E和F．下

①|k1|=|k2|；②AE=CF；③若四边形OABC是正方形，列结论：则∠EAO=45°．其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上．

17．分解因式：x3﹣2x2y+xy2= ．

18．若x=﹣2，则代数式x2+1的值为 ．

19．如图，鹏鹏从点P出发，沿直线前进10米后向右转α，接着沿直线前进10米，再向右转α，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点P时，一共走了100米，则α的度数为 ．

第4页（共30页）

20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接AF、FG、AE三边的中点，得到三角形①；连接矩形GMCH对边的中点，又得到四个矩形，顺次连接GQ、QP、GN三边的中点，得到三角形②；…；如此操作下去，得到三角形为 ．

，则三角形的面积

三、解答题：本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．

（1）如果x=﹣5，2◎4=﹣18，求y的值；

（2）若1◎1=8，4◎2=20，求x、y的值．

22．如图，已知AD∥BC，按要求完成下列各小题（保留作图痕迹，不要求写作法）．

（1）用直尺和圆规作出∠BAD的平分线AP，交BC于点P．

（2）在（1）的基础上，若∠APB=55°，求∠B的度数．

（3）在（1）的基础上，E是AP的中点，连接BE并延长，交AD于点F，连接PF．求证：四边形ABPF是菱形．

23．如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．

（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；

第5页（共30页）

（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；

（3）已知直线l2：y=x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．

24．为普及消防安全知识，预防和减少各类火灾事故的发生，2015年11月，河北内丘中学邀请邢台市安全防火中心的相关人员，为全校教师举行了一场以“珍爱生命，远离火灾”为主题的消防安全知识讲座．在该知识讲座结束后，王老师组织了一场消防安全知识竞赛活动，其中九年级有七个班参赛．在竞赛结束后，王老师对九年级的获奖人数进行统计，得到每班平均有10人获奖，王老师将每班获奖人数绘制成如图所示的不完整的折线统计图．

（1）请将折线统计图补充完整，并直接写出九年级获奖人数最多的班级是 班；

（2）求九年级七个班的获奖人数的这组数据的中位数；

（3）若八年级参赛的总人数比九年级的多50名，获奖总人数比九年级多10名，但八年级和九年级获奖人数的百分比相同，求八年级参加竞赛的总人数．

25．2015年全球葵花籽产量约为4200万吨，比2014年上涨2.1%，某企业加工并销售葵花籽，假设销售量与加工量相等，在图中，线段AB、折线CDB分别表示葵花籽每千克的加工成本y1（元）、销售价y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系；

（1）请你解释图中点B的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式；

（3）当0＜x≤90时，求该葵花籽的产量为多少时，该企业获得的利润最大？最大利润是多少？

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26．四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的两条，切点分别为B、C，P是边AB上的动点，连接DP．

（1）如图1，当点P与点B重合时，连接OC．

①求∠E的度数；

②求CE的长度；

（2）如图2，当点P在AB上，且AP＜AB时，过点P作FP⊥DP于点P，交BE于点F，连接DF．

①试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；

②若，求DP的长度．

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河北省中考数学模拟试卷（一）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共16题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．计算4﹣（﹣4）0的结果是（ ）

A．0 B．2 C．3 D．4

【考点】零指数幂．

【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．

【解答】解：原式=4﹣1=3，

故选：C．

【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1得出（﹣4）0=1是解题关键．

2．下列各数中，最小的数是（ ）

A．1 B．﹣|﹣2| C． D．2×10﹣10

【考点】实数大小比较．

【分析】根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂的性质判断各数的符号，根据正实数大于一切负实数解答即可．

【解答】解：∵1、、2×10﹣10都是正数，﹣|﹣2|是负数，

∴最小的数是﹣|﹣2|．

故选：B．

【点评】本题考查的是实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

3．如图，已知直线a∥b，点A、B、C在直线a上，点D、E、F在直线b上，AB=EF=2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为（ ）

第8页（共30页）

A．2 B．4 C．5 D．10

【考点】平行线之间的距离；三角形的面积．

【分析】△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形，它们的面积相等．

【解答】解：∵直线a∥b，点A、B、C在直线a上，

∴点D到直线a的距离与点C到直线B的距离相等．

又∵AB=EF=2，

∴△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形，

∴S△ABD=S△CEF=5，

故选：C．

【点评】本题考查了平行线间的距离和三角形的面积．注意：平行线间的距离处处相等．

4．下列说法中，不正确的是（ ）

A．5是25的算术平方根

B．m2n与mn2是同类项

C．多项式﹣3a3b+7ab+1的次数是4

D．﹣8的立方根为﹣2

【考点】算术平方根；立方根；同类项；多项式．

【分析】分别利用算术平方根以及多项式的次数、同类项的定义、立方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、5是25的算术平方根，正确，不合题意；

B、m2n与mn2不是同类项，故此选项错误，符合题意；

C、多项式﹣3a3b+7ab+1的次数是4，正确，不合题意；

D、﹣8的立方根为﹣2，正确，不合题意．

故选：B．

第9页（共30页）

【点评】此题主要考查了算术平方根以及多项式的次数、同类项的定义、立方根的定义等知识，正确掌握相关定义是解题关键．

5．已知不等式组A． D．

，则该不等式组的解集（阴影部分）在数轴上表示正确的是（ ）

B．

C．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．

【解答】解：由x+2＞1，得x＞﹣1，

由x+3≤5，得x≤2，

不等式组的解集为﹣1＜x≤2，

故选：D．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

6．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，则下列判断不正确的是（ ）

A．∠ABC=∠A′B′C′ B．∠BOC=∠B′A′C′ C．AB=A′B′ D．OA=OA′

【考点】中心对称．

【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，来求解可得即可．

【解答】解：因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，

第10页（共30页）

所以可得∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，OA=OA\'，

故选B．

【点评】本题主要考查了中心对称的定义，解题的关键是熟记中心对称的定义．也可用三角形全等来求解．

7．某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的侧面积为（ ）

A．150πcm2 B．200πcm2 C．300πcm2 D．400πcm2

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】首先根据商品的外包装盒的三视图确定几何体的形状是圆柱，然后根据圆柱的侧面积=底面周长×高，求出这个包装盒的侧面积即可．

【解答】解：根据图示，可得商品的外包装盒是底面直径是10cm，高是15cm的圆柱，

则这个包装盒的侧面积为：

10π×15

=150π（cm2）；

故选：A．

【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

8．将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（ ）

A．y=（x+2）2+4 B．y=（x+2）2﹣4

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【解答】解：抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，得：y=（x﹣2）2；

再向上平移4个单位长度，得：y=（x﹣2）2+4．

故选C．

第11页（共30页）

C．y=（x﹣2）2+4 D．y=（x﹣2）2﹣4 【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

9．如图是小鹏自己制作的正方形飞镖盘，并在盘内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．

【考点】几何概率．

【分析】先求出阴影部分的面积占整个大正方形面积的，再根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：∵阴影部分的面积占总面积的，

∴飞镖落在阴影部分的概率为；

故选A．

【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；关键是求出阴影部分的面积．

10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC=60°，则劣弧AC的长为（ ）

A．2π B．4π C．5π D．6π

【考点】弧长的计算；圆内接四边形的性质．

【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．

【解答】解：连接OA、OC，

∵∠ADC=60°，

第12页（共30页）

∴∠AOC=2∠ADC=120°，

则劣弧AC的长为：故选：B．

=4π．

【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式l=

．

11．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【考点】勾股定理的逆定理；方向角．

【专题】应用题．

【分析】求出OM2+ON2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出∠MON=90°，根据平角定义求出即可．【解答】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，

∴OM2+ON2=MN2，

∴∠MON=90°，

∵∠EOM=20°，

∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，

故选C．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出∠MON=90°是解此题的关键．

第13页（共30页）

12．如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B为位似中心，在平1，

面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：则点C′的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（0，1） C．（1，﹣1）

【考点】位似变换；坐标与图形性质．

D．（1，0）

【分析】利用位似图形的性质结合位似比得出△BA′C′，进而得出C′点坐标．

【解答】解：如图所示：△A′BC′与△ABC位似，相似比为2：1，

点C′的坐标为：（1，0）．

故选：D．

【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．

13．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根，则k的非负整数值为（ ）

A．1 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．

第14页（共30页）

【解答】解：根据题意得：△=16﹣8k≥0，且k≠0，

解得：k≤2且k≠0，

则k的非负整数值为1或2．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

14．BC=12，P是BC上的一个动点，∠ABC＞90°，∠C=30°，如图，在△ABC中，过点P作PD⊥AC于点D，设CP=x，△CDP的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】由含30°角的直角三角形的性质得出PD=PC=x，求出CD=积公式得出y=PD=x，由三角形的面x2（0＜x≤12），由二次函数的图象和自变量的取值范围即可得出结果．

【解答】解：∵PD⊥AC，

∴∠CDP=90°，

∵∠C=30°，

∴PD=PC=x，

∴CD=PD=x，

x=x2，x的取值范围为：0＜x≤12，

∴△CDP的面积y=PD•CD=×x×即y=∵x2（0＜x≤12），

＞0，

第15页（共30页）

∴二次函数图形的开口向上，顶点为（0，0），图象在第一象限．

故选：A．

【点评】本题考查动点问题的函数图象、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算、二次函数的图象；求出y是x的二次函数是解决问题的突破口．

15．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：△BCM如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（ ）

A．小平的作法正确，张萌的作法不正确

B．两人的作法都不正确

C．张萌的作法正确，小平的作法不正确

D．两人的作法都正确

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】在图1中，由BM=2BF推出∠BMF=30°，所以∠MBF=60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．

【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=BC

∵AE=ED=BF=FC，AB=BM，

∴BM=2BF，

∵∠MFB=90°，

∴∠BMF=30°，

∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，

∵MB=MC，

第16页（共30页）

∴△MBC是等边三角形，

∴张萌的作法正确．

在图2中，∵BM=BC=2BF，∠MFB=90°，

∴∠BMF=30°，

∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，

∵MB=MC

∴△MBC是等边三角形，

∴小平的作法正确．

故选D．

【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．

16．如图，四边形OABC是菱形，对角线OB在x轴负半轴上，位于第二象限的点A和第三象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作y轴的垂线，垂足分别为E和F．下

①|k1|=|k2|；②AE=CF；③若四边形OABC是正方形，列结论：则∠EAO=45°．其中正确的有（ ）第17页（共30页）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【考点】反比例函数综合题．

【分析】连接AC交OB于D，由菱形的性质得出AC⊥OB，AD=CD，BD=OD，得出△AOD的面积=△COD的面积，由三角形的面积与k的关系即可得出①正确；

证出四边形ADOE是矩形，得出AE=DO，同理：CF=DO，得出AE=CF，②正确；

若四边形OABC是正方形，则∠AOB=45°，得出∠AOE=45°，求出∠EAO=45°，③正确；即可得出结论．

【解答】解：连接AC交OB于D，如图所示：

∵四边形OABC是菱形，

∴AC⊥OB，AD=CD，BD=OD，

∴△AOD的面积=△COD的面积，

∵△AOD的面积=|k1|，△COD的面积=|k2|，

∴|k1|=|k2|，①正确；

∵AE⊥y轴，AC⊥BD，

∴∠AEO=∠ADO=90°，

∵∠DOE=90°，

∴四边形ADOE是矩形，

∴AE=DO，

同理：CF=DO，

∴AE=CF，②正确；

若四边形OABC是正方形，则∠AOB=45°，

∴∠AOE=90°﹣45°=45°，

∵∠AEO=90°，

∴∠EAO=45°，③正确；

第18页（共30页）

正确的有3个，故选：D．

【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、菱形的性质、矩形的判定与性质以及正方形的性质；熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分的性质是解题的关键．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上．

17．分解因式：x3﹣2x2y+xy2=

x（x﹣y）2 ．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】常规题型．

【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，

=x（x2﹣2xy+y2），

=x（x﹣y）2．

故答案为：x（x﹣y）2．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

18．若x=﹣2，则代数式x2+1的值为

10﹣4 ．

【考点】二次根式的化简求值．

【分析】把x的值代入所求的代数式进行化简求值即可．

【解答】解：把x=（﹣2）2+1=（﹣2代入x2+1，得

）2﹣4．

+4+1=10﹣4．

故答案是：10﹣4【点评】本题考查了二次根式的化简求值．解题的关键是数学完全平方差公式．

第19页（共30页）

19．如图，鹏鹏从点P出发，沿直线前进10米后向右转α，接着沿直线前进10米，再向右转α，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点P时，一共走了100米，则α的度数为

36° ．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个的正多边形，用100÷10=10，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．

【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个的正多边形，

∴正多边形的边数为：100÷10=10，

根据多边形的外角和为360°，

∴则他每次转动的角度为：360°÷10=36°，

故答案为：36°．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．

20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接AF、FG、AE三边的中点，得到三角形①；连接矩形GMCH对边的中点，又得到四个矩形，顺次连接GQ、QP、GN三边的中点，得到三角形②；…；如此操作下去，得到三角形 ．

，则三角形的面积为

【考点】矩形的性质．

【专题】规律型．

【分析】根据矩形的性质和三角形的面积公式求出三角形①、②、③的面积，得出规律写出第n个三角形的面积．

第20页（共30页）

【解答】解：∵矩形ABCD的长AD=4，宽AB=2，

∴AF=2，AE=1，

则S三角形①=×2×=；

S三角形②=×1×=S三角形③=××=…

∴S三角形n=故答案为：，

．

；

；

【点评】本题考查的是矩形的性质，掌握三角形的面积公式、通过计算找出规律是解题的关键．

三、解答题：本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．

（1）如果x=﹣5，2◎4=﹣18，求y的值；

（2）若1◎1=8，4◎2=20，求x、y的值．

【考点】解二元一次方程组；解一元一次方程．

【专题】新定义；一次方程（组）及应用．

【分析】（1）已知等式根据题中的新定义化简，将x的值代入即可求出y的值；

（2）已知等式利用题中的新定义化简组成方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．

【解答】解：（1）根据题意得：2◎4=2x+4y=﹣18，

把x=﹣5代入得：﹣10+4y=﹣18，

解得：y=﹣2；

（2）根据题意得：②﹣①得：x=2，

第21页（共30页）

， 把x=2代入得：y=6．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．

22．如图，已知AD∥BC，按要求完成下列各小题（保留作图痕迹，不要求写作法）．

（1）用直尺和圆规作出∠BAD的平分线AP，交BC于点P．

（2）在（1）的基础上，若∠APB=55°，求∠B的度数．

（3）在（1）的基础上，E是AP的中点，连接BE并延长，交AD于点F，连接PF．求证：四边形ABPF是菱形．

【考点】作图—复杂作图；菱形的判定．

【专题】作图题；证明题．

【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AP平分∠DAB；

（2）先利用平行线的性质得∠DAP=∠APB=55°，再利用角平分线定义得∠BAP=∠DAP=55°，然后根据三角形内角和计算∠ABP的度数；

（2）先由∠BAP=∠APB得到BA=BP，再判断△ABF为等腰三角形得到AB=AF，所以AF=BP，则可判断四边形ABPF是平行四边形，然后加上AB=BP可判断四边形ABPF是菱形．

【解答】（1）解：如图，AP为所作；

（2）解：∵AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB=55°，

∵AP平分∠DAB，

∴∠BAP=∠DAP=55°，

∴∠ABP=180°﹣55°﹣55°=70°；

（2）证明：∵∠BAP=∠APB，

∴BA=BP，

∵BE=FE，AE平分∠BAF，

第22页（共30页）

∴△ABF为等腰三角形，

∴AB=AF，

∴AF=BP，

而AF∥BP，

∴四边形ABPF是平行四边形，

∵AB=BP，

∴四边形ABPF是菱形．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．

23．如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．

（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；

（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；

（3）已知直线l2：y=x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．

【考点】一次函数图象与几何变换．

【分析】（1）根据平移的性质得到点C的坐标；把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b（k≠0）来求该直线方程；

（2）根据平移的性质得到点D的坐标，然后将其代入（1）中的函数解析式进行验证即可；

（3）根据点B的坐标求得直线l2的解析式，据此求得相关线段的长度，并利用三角形的面积公式进行解答．

第23页（共30页）

【解答】解：（1）∵B（﹣3，3），将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，

∴﹣3+1=﹣2，3﹣2=1，

∴C的坐标为（﹣2，1），

设直线l1的解析式为y=kx+c，

∵点B、C在直线l1上，

∴代入得：解得：k=﹣2，c=﹣3，

∴直线l1的解析式为y=﹣2x﹣3；

（2）∵将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，C（﹣2，1），

∴﹣2﹣3=﹣5，1+6=7，

∴D的坐标为（﹣5，7），

代入y=﹣2x﹣3时，左边=右边，

即点D在直线l1上；

（3）把B的坐标代入y=x+b得：3=﹣3+b，

解得：b=6，

∴y=x+6，

∴E的坐标为（0，6），

∵直线y=﹣2x﹣3与y轴交于A点，

∴A的坐标为（0，﹣3），

∴AE=6+3=9，

∵B（﹣3，3），

∴△ABE的面积为×9×|﹣3|=13.5．

【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，能理解每个点的求法是解此题的关键．

第24页（共30页）

24．为普及消防安全知识，预防和减少各类火灾事故的发生，2015年11月，河北内丘中学邀请邢台市安全防火中心的相关人员，为全校教师举行了一场以“珍爱生命，远离火灾”为主题的消防安全知识讲座．在该知识讲座结束后，王老师组织了一场消防安全知识竞赛活动，其中九年级有七个班参赛．在竞赛结束后，王老师对九年级的获奖人数进行统计，得到每班平均有10人获奖，王老师将每班获奖人数绘制成如图所示的不完整的折线统计图．

（1）请将折线统计图补充完整，并直接写出九年级获奖人数最多的班级是 （3） 班；

（2）求九年级七个班的获奖人数的这组数据的中位数；

（3）若八年级参赛的总人数比九年级的多50名，获奖总人数比九年级多10名，但八年级和九年级获奖人数的百分比相同，求八年级参加竞赛的总人数．

【考点】折线统计图；中位数．

【分析】（1）先求出九年级有七个班的获奖人数，减去给出的6个班的获奖人数，可得（3）班获奖人数，依此将折线统计图补充完整，再比较大小可得九年级获奖人数最多的班级；

（2）根据中位数的定义求出九年级七个班的获奖人数的这组数据的中位数；

（3）设八年级参加竞赛的总人数为x人，根据等量关系：八年级和九年级获奖人数的百分比相同，列出方程求解即可．

【解答】解：（1）10×8﹣（8+11+6+9+12+10）

=80﹣66

=14（人），

如图所示：

第25页（共30页）

故九年级获奖人数最多的班级是（3）班；

故答案为：（3）

（2）从小到大排列为6，8，9，10，11，12，14，正中间的数是10，九年级七个班的获奖人数的这组数据的中位数是10；

（3）设八年级参加竞赛的总人数为x人，依题意有

=解得x=400，

经检验x=400是原分式方程的解．

故八年级参加竞赛的总人数为400人．

【点评】本题考查的折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点是中位数的定义．

25．2015年全球葵花籽产量约为4200万吨，比2014年上涨2.1%，某企业加工并销售葵花籽，假设销售量与加工量相等，在图中，线段AB、折线CDB分别表示葵花籽每千克的加工成本y1（元）、销售价y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系；

（1）请你解释图中点B的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式；

（3）当0＜x≤90时，求该葵花籽的产量为多少时，该企业获得的利润最大？最大利润是多少？

，

第26页（共30页）

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）结合图象与题意，即可得出结论；

（2）设出函数解析式，利用待定系数法，即可得出结论；

（3）设出函数解析式，利用待定系数法，可求出销售价格与产量的函数关系式，再由利润=（销售价格﹣成本）×产量，得出二次函数，求取极值即可．

【解答】解：（1）图中点B的横坐标、纵坐标的实际意义为：当产量为130kg时，葵花籽每千克的加工成本与销售价相同，都是9.8元．

（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式为y1=k1x+b1，

∵A点坐标为（0，2），B点坐标为（130，9.8），

∴有，解得：．

∴线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式y1=0.06x+2．

（3）当0＜x≤90时，销售价y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象为线段CD．

设线段CD所表示的y2与产量x之间的函数解析式为y2=k2x+b2，

∵C点坐标为（0，8），D点坐标为（90，9.8），

∴有，解得：．

∴线段CD所表示的y2与x之间的函数解析式y2=0.02+8．

令企业获得的利润为W，则有

W=x（y2﹣y1）=﹣0.04x2+6x=﹣0.04（x﹣75）2+225，

故当x=75时，W取得最大值225．

答：该葵花籽的产量为75kg时，该企业获得的利润最大；最大利润为225元．

【点评】本题考查了待定系数法求解析式、坐标系点的意义以及利用二次函数求极值的问题，解题的关键是熟练的运用二元一次解方程组即将二次函数的普通式转化为顶点式求极值．本题属于基础题，难度不大，唯一的失分点是运算量较大，需要细心计算，多加验算．

26．四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的两条，切点分别为B、C，P是边AB上的动点，连接DP．

（1）如图1，当点P与点B重合时，连接OC．

①求∠E的度数；

第27页（共30页）

②求CE的长度；

（2）如图2，当点P在AB上，且AP＜AB时，过点P作FP⊥DP于点P，交BE于点F，连接DF．

①试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；

②若，求DP的长度．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）①根据切线的性质和正方形的性质，即可得到四边形OBEC的三个直角，随后即可求解；

②在等腰直角三角形BCE中运用勾股定理即可求出CE长度；

（2）①在AD上截取AM=AP，证明△DMP≌△PBF，即可得出结论；

②通过证明等腰直角三角形DPF∽等腰直角三角形ABD，即可求解．

【解答】解：（1）如图1

①∵EB、EC是⊙O的两条切线，

∴∠OCE=∠OBE=90°，

由四边形ABCD是⊙O的内接正方形，

可知，∠BOC=90°，

∴∠E=90°；

∵EB、EC是⊙O的两条切线，

第28页（共30页）

∴EB=EC，

在直角三角形BEC中，

设EB=EC=x，由勾股定理得：x2+x2=82，

解得：x=∴CE=，

；

（2）如图2

在AD上截取AM=AP，由∠A=90°可求∠AMP=∠APM=45°，

∴∠PMD=135°，

∵AD=AB，

∴MD=BP，

由（1）②知三角形BEC是等腰直角三角形，

∴∠CBE=45°，

∴∠PBF=135°，

∴∠PMD=∠PBF，

又可求：∠BPF+∠BFP=45°，

∵FP⊥DP，

∴∠MPD+∠BPD=45°，

∴∠MPD=∠BFP，

在△MPD和△BFP中，

，

∴△MPD≌△BFP，

DP=FP；

②由（2）①知，△DPF为等腰直角三角形，

第29页（共30页）

又△DAB是等腰直角三角形，

∴△DPF∽△DAB，

∴∵，

，AD=8，

．

可求：DP=【点评】此题主要考查圆的综合问题，涉及到了正方形的相关性质，会运用切线性质和切线长定理，会构造全等与相似是解题的关键．

第30页（共30页）

4.6 正、余弦定理及其应用举例

考纲要求

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.

2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

1．正弦定理和余弦定理

定理

内容

正弦定理

余弦定理

2a＝__________；

b2＝__________；

c2＝__________

5．坡角和坡比

坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．

图④

坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．

1．(广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )．

3A．43 B．23 C.3 D.

2a＋c2B2．在△ABC中，cos＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )．

22cA．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．

A．5海里/时 B．53 海里/时

C．10海里/时 D．103 海里/时

4．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，无法求出AB长度的是( )．

__________＝2R.

(R为△ABC外接圆半径)

①a＝____，b＝______，c＝____；

②sin

A＝____，sin

B＝__________，sin

C＝__________；

变形形式

③a∶b∶c＝__________；

a＋b＋c④＝sin

A＋sin

B＋sin

C.

sin

A①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．

②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.

cos

A＝__________；

cos

B＝__________；

cos

C＝__________.

a解决

的问题

①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

A．α，a，b

C．a，b，γ

2.仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．

B．α，β，a

D．α，β，γ

15．△ABC中，若a＝32，cos

C＝，S△ABC＝43，则b＝__________.

3

一、利用正弦、余弦定理解三角形

【例1－1】 (辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．

(1)求cos

B的值；

(2)边a，b，c成等比数列，求sin

Asin

C的值．

sin

A＋sin

B【例1－2】 △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan

C＝，sin(B－A)＝cos

C.

cos

A＋cos

B(1)求A，C；

(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.

方法提炼

应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．

同时，已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

3．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．方向角

相对于某一方向的水平角(如图③)．

图③

(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．

(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.

(3)其他方向角类似．

a＜bsin

A a＝bsin

A bsin

A＜a＜b

a≥b a＞b

a≤b

1 / 6 解的个数

无解

一解

两解

一解

一解

无解

请做演练巩固提升1

二、三角形形状的判定

【例2－1】 △ABC满足sin

B＝cos

Asin

C，则△ABC的形状是( )．

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【例2－2】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin

A＝(2b＋c)sin

B＋(2c＋b)sin

C.

(1)求A的大小；

(2)若sin

B＋sin

C＝1，试判断△ABC的形状．

方法提炼

判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．

提醒：1.在△ABC中有如下结论sin

A＞sin

Ba＞b.

2222．当b＋c－a＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；

222当b＋c－a＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；

2223．当b＋c－a＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．

请做演练巩固提升2

三、与三角形面积有关的问题

π【例3】 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

3(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

(2)若sin

C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．

方法提炼

1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解111决三角形问题中，面积公式S＝absin

C＝bcsin

A＝acsin

B最常用，因为公式中既有边也有角，容易222和正弦定理、余弦定理联系起来．

2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用．

请做演练巩固提升5

四、应用举例、生活中的解三角形问题

【例4－1】 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．

【例4－2】 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．

2．测量高度时，需注意：

(1) 要准确理解仰、俯角的概念；

(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理；

(3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．

3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键．

请做演练巩固提升6

忽视三角形中的边角条件而致误

【典例】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．

1错解：由1＋2cos(B＋C)＝0，知cos

A＝，

2π∴A＝.

3abbsin

A2根据正弦定理＝得：sin

B＝＝，

sin

Asin

Ba2π3π∴B＝或.

44以下解答过程略．

错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．

正解：∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos

A，

π又∵1＋2cos(B＋C)＝0，∴1－2cos

A＝0，∴A＝.

3在△ABC中，根据正弦定理＝，得sin

B＝sin

Asin

Bπ3π∴B＝或.

44π∵a＞b，∴B＝.

45∴C＝π－(A＋B)＝π.

12∴sin

C＝sin(B＋A)＝sin

Bcos

A＋cos

Bsin

A＝∴BC边上的高为bsin

C＝2×6＋23＋1＝.

42abbsin

A2＝.

a221236＋2×＋×＝.

22224答题指导：

1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．

2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件．

21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos

A＝bsin

B，则sin

Acos

A＋cosB＝( )．

11A．－ B． C．－1 D．1

222．在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且acos

B＝bcos

A，则△ABC的形状为__________．

3．(福建高考)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝3，则AC＝__________.

π4．(陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝23，则b＝6______.

2 / 6

方法提炼

1．测量距离问题，需注意以下几点：

(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型；

(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解；

(3)应用题要注意作答． 5．(山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin

B(tan

A＋tan

C)＝tan

Atan

C.

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.

6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．

3 / 6 参考答案

基础梳理自测

知识梳理

＝＝

b＋c－2bc·cos

A

c＋a－2ca·cos

B

a＋b－2ab·cos

C ①2Rsin

A

sin

Asin

Bsin

Cabcb2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c22Rsin

B 2Rsin

C ② ③sin

A∶sin

B∶sin

C

2R2R2R2bc2ca2ab2．上方 下方

基础自测

BCAC32AC1．B 解析：由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝23.

sin

Asin

Bsin 60°sin 45°a＋c2B2．B 解析：∵cos＝，

22ca＋c2B∴2cos－1＝－1，

2c1.根据正弦定理得sinB＝sin

Asin

C，所以

32sin

Asin

C＝1－cosB＝.

4方法二：

12由已知b＝ac，及cos

B＝，

22a＋c2－ac3根据余弦定理得cos

B＝，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sin

Asin

C＝.

2ac4sin

A＋sin

B【例1－2】 解：(1)因为tan

C＝，

cos

A＋cos

Bsin

Csin

A＋sin

B即＝，

cos

Ccos

A＋cos

B所以sin

Ccos

A＋sin

Ccos

B＝cos

Csin

A＋cos

Csin

B，

即sin

Ccos

A－cos

Csin

A＝cos

Csin

B－sin

Ccos

B，

得sin(C－A)＝sin(B－C)．

所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，

π即2C＝A＋B，得C＝，

32π所以B＋A＝.

31又因为sin(B－A)＝cos

C＝，

2π5π则B－A＝或B－A＝(舍去)，

66π5π得A＝，B＝.

41216＋2acac(2)S△ABC＝acsin

B＝ac＝3＋3，又＝，即＝，

28sin

Asin

C2322得a＝22，c＝23.

【例2－1】 A 解析：∵sin

B＝cos

A·sin

C，

b2＋c2－a2222∴b＝·c.∴b＋a＝c.

2bc∴△ABC为直角三角形，选A.

2【例2－2】 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

222即a＝b＋c＋bc.①

222由余弦定理得a＝b＋c－2bccos

A，

1故cos

A＝－，A＝120°.

2222(2)由①得，sinA＝sinB＋sinC＋sin

Bsin

C.

又sin

B＋sin

C＝1，

1故sin

B＝sin

C＝.

2因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.

所以△ABC是等腰钝角三角形．

【例3】 解：(1)由余弦定理及已知条件，

22得a＋b－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，

1所以absin

C＝3，得ab＝4.

22abc222222ac22a＋c－b2a222∴＝，∴c＝a＋b.

2acc3．C 解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O′，

∴cos

B＝，

OO′＝tan 30°，

BOOO′＝tan 15°，∴BO＝3OO′，

AOAO＝(2＋3)OO′.

∵AO－BO＝AB＝10，

∴OO′·[(2＋3)－3]＝10，∴OO′＝5，

5∴船的速度为＝10海里/时．

124．D 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，

当只知α，β，γ时，无法计算AB.

1225．23 解析：由cos

C＝，得sin

C＝，

331122∴S△ABC＝absin

C＝×32×b×＝43.∴b＝23.

223考点探究突破

1【例1－1】 解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos

B＝.

2(2)方法一：

12由已知b＝ac，及cos

B＝，

2

4 / 6 a＋b－ab＝4，联立方程组ab＝4，22

a＝2，解得b＝2.

(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin

Acos

A，即sin

Bcos

A＝2sin

Acos

A.

ππ4323当cos

A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝.

2633所以△ABC的面积

114323323S＝absin

C＝×××＝；

223323当cos

A≠0时，得sin

B＝2sin

A，

由正弦定理得b＝2a，

a＋b－ab＝4，联立方程组b＝2a.22

23a＝3，解得43b＝3.

DF＝MF＋DM＝302＋1702＝10298，

DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，

EF＝(BE－FC)2＋BC2＝902＋1202＝150.

在△DEF中，由余弦定理，

DE2＋EF2－DF2cos∠DEF＝

2DE×EF222130＋150－10×29816＝＝.

2×130×15065演练巩固提升

22112343323所以△ABC的面积S＝absin

C＝×××＝.

22332323综上知，△ABC的面积为.

3【例4－1】 解：依题意画出图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短，即BE⊥CD时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝AB，AB为定值，BE最小时，仰角最大．

BE

在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.

由正弦定理，得

，

sin∠DBCsin∠BCD40sin 30°∴BD＝＝202.

sin 135°在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，

6－2BE＝BDsin 15°＝202×＝10(3－1)．

4在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，

10∴AB＝BEtan 30°＝(3－3)(米)．

310∴所求的塔高为(3－3)米．

3【例4－2】 解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.

1．D 解析：根据正弦定理＝＝2R得，a＝2Rsin

A，b＝2Rsin

B，

sin

Asin

B2∴acos

A＝bsin

B可化为sin

Acos

A＝sinB.

222∴sin

Acos

A＋cosB＝sinB＋cosB＝1.

2．等边三角形 解析：∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

22∴(a＋b)－c＝3ab.

222∴a＋b－c＝ab.

a2＋b2－c21∴cos

C＝＝.

2ab2π∴C＝.

3∵acos

B＝bcos

A，

∴sin

Acos

B＝sin

Bcos

A.

∴sin(A－B)＝0.

∴A＝B.

故△ABC为等边三角形．

3.2 解析：如图：

abCD＝BD由正弦定理得＝，

sin

Bsin

A即3AC3＝，即＝，

sin 45°sin 60°23223＝4，

2AC

BCAC故AC＝2.

4．2 解析：∵b＝a＋c－2accos

B＝4＋12－2×2×23×222∴b＝2.

5．(1)证明：在△ABC中，由于sin

B(tan

A＋tan

C)＝tan

Atan

C，

5 / 6 所以sin

Bsin

A＋sin

C＝sin

A·sin

C，

cos

Acos

Ccos

Acos

C1所以当＝2时，v取得最小值1013，

t因此sin

B(sin

Acos

C＋cos

Asin

C)＝sin

Asin

C，

所以sin

Bsin(A＋C)＝sin

Asin

C，

又A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋C)＝sin

B，

2因此sinB＝sin

Asin

C.

2由正弦定理得b＝ac，

即a，b，c成等比数列．

(2)解：因为a＝1，c＝2，

a2＋c2－b212＋22－(2)23所以b＝2，由余弦定理得cos

B＝＝＝，

2ac2×1×24因为0＜B＜π，

72所以sin

B＝1－cosB＝，

41177故△ABC的面积S＝acsin

B＝×1×2×＝.

22446．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s海里，则s＝

2900t＋400－2·30t·20·cos(90°－30°)

2＝900t－600t＋400

12＝900t－＋300.

31103故当t＝时，smin＝103，v＝＝303.

313即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C处相遇．

即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．

在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝103，AC＝20sin 30°＝10.

又AC＝30t，OC＝vt，

101103此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝303.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航30313行距离最小．

222(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇，由题意，可得(vt)＝20＋(30t)－2·20·30t·cos(90°－30°)．

400600132＋900＝400－＋675.

2－ttt411由于0＜t≤，即≥2，

2t化简，得v＝26 / 6