八年级数学直角三角形全等的判定同步练习1 (四篇)

1.1 探索勾股定理

1. 下列说法正确的是（ ）

A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；

B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，A90，则a2＋b2＝c2；

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，C90，则a2＋b2＝c2．

2. △ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（ ）

A．abc B.

abc C.

abc D.

a2b2c2

3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）

A．121 B．120 C．90 D．不能确定

4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）

A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33

5．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是 ．

6．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边a、c满足a2c2b2，b、那么这个三角形是 三角形，其中b边是 边，b边所对的角是 ．

7．一个三角形三边之比是10:8:6，则按角分类它是 三角形．

8． 若三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．

9．如图，已知ABC中，C90，BA15，AC12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半B

圆的面积是 ．

10． 一长方形的一边长为3cm，面积为12cm，那么它的一条对角线长是 ．

2C

A

11．如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．

12.一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？

13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

3m

4m

20m

14．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？

小汽车

B

小汽车

C

A

观测点

16.如下图所示，△ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，∠A=60°，求BC的长.

17.如图，在四边形ABCD

中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AB=3，AD=4，BC=12，求CD的长。

DEBABCADC18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，AB＝10㎝，AC＝6㎝，求△BDE的周长。

1.2 能得到直角三角形吗

1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则可知最长边上的高是（ ）

A. 48cm B. 4.8cm C. 0.48cm D. 5cm.

2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）

A. b2=c2－a2

B. a∶b∶c=3∶4∶5

C. ∠C=∠A－∠B D. ∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15.

3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）

A. 5，6，7 B. 1，4，9 C. 5，12，13 D. 5，11，12.

2224.若一个三角形的三边长的平方分别为：3，4，x则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ）

A. 42

B. 52

C. 7 D. 52或7.

5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么（ ）

A. △ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1；

B. △ABC是直角三角形，且斜边长为2m；

C. △ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定；

D. △ABC不是直角三角形.

6.以下数据为边长的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A. 3，4，5 B. 8，10，6

C. 13，12，5 D. 3，6，7 .

7．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )

A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍

8.在下列说法中是错误的（ ）

A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.

B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.

C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.

D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.

3545

9. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）

A．2，4，8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12.

10．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 ， ， .

11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .

12.在△ABC中，∠C=90°,D为BC上的一点，且BD=AD=10，AC=6,求△ABC的面积.

13．在边长为c的正方形中有四个斜边为c的全等直角三角形，已知它们的直角边长为a、b．你能利用这个图形验证勾股定理吗？

14．铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25 km，C、D两村庄（视为两个点）DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路上建一个土特产收购站E使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

图-2

B

N

A

M

E

C

15.如图，南北向MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

3.解析：已知三角形的三边长判定三角形的形状时，一般做法是：

验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方.

答案：C.

4.解析：没有明确已知的是什么边，所以用到分类讨论思想.

答案：D(注意有两种情况①32+42=52，②32+7=42).

6.解析：已知三角形的三边长判定三角形的形状时，一般做法是：

验证较小两边的平方和与最长边的平方之间的关系. 答案：D.

9. 解析：首先进行组合看能否组成三角形，再判断是不是直角三角形.

答案: C..

11．解析：有比值可以判断是直角三角形，借助辅助未知数列方程较容易求三边的值,

即5x+12x+13x=60，知道x=2.

答案：120.

12.解析：∵∠C=90°AC=6，AD=10.

∴CD=8.

∴BC=BD+CD=10+8=18.

11∴S△ABC=AC·BC=×6×18=54.

22 13． 解析：如图，面积法，找到特殊图形利用面积法解决问题．

答案：此正方形可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形所组成．

而小正方形的边长为(a－b)．∴4个Rt△的面积是1ab·4．

2小正方形的面积是(a－b)2， 大正方形的面积是c2，

∴1ab·4＋(a－b)2＝c2 ， 2ab＋a2＋b2－2ab＝c2 ， 即a2＋b2＝c2.

214． 解析：此题关键是DE＝CE，而DE是Rt△ADE斜边，CE是Rt△EBC斜边．

答案：如图1-2-7，若设AE＝x，则BE＝25－x．

∵DA⊥AB于A，BC⊥AB于B，

∴DE2=AD2+AE2，EC2=BE2+CE2.

∵DE＝CE，∴DE2＝CE2.

∴AD2+AE2=BE2+CE2，即152+x2=（25-x）2+102.

∴x=10.

答：E站应建在距A站10千米处.

图-2

15. 解析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：

（1）△ABC是什么类型的三角形？

（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？

（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.

答案：设MN交AC于E，则∠BEC=900.

又AB+BC=5+12=169=13=AC，

∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.

又∵MN⊥CE，

∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE，

则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，

∴CE=144144144. ÷≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）.

22M

A

E

C

B

N

9时50分+51分=10时41分.

答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.

课题：2.1勾股定理（2）

1. 下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)答：SA=________，y=________，SB=________。

A

28964y15368B第1题

172. 直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 .

3.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 .

4. 在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=_______ .

A5. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，

先将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，

则CD＝ .

ED第5题

CB

6.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后.得到的三角形 ( )

A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形

7.在Rt△ABC中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）

A、5、4、3； B、13、12、5； C、10、8、6； D、26、24、10

8. 一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( )

A. 12cm B.

60cm C.120cm D.13cm

131359.如图，在△ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,

求：（1）AC的长； （2）△ABC的面积； （3）CD的长。

.

CBDA1.1直角三角形三边的关系（第二课时）

1．判断.

①、△ABC的两边AB=3，AC=4，则BC=5．（ ）

②、Rt△ABC中，a=6，b=8，则c=10．（ ）

2．在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，CB=8，则AB上的高为_______．

3．已知x、y为正数，且x24y2302，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为

A、5 B、25 C、7 D、15

4．若等腰△ABC的腰长AB=2，顶角∠BAC=120°，以BC为边的正方形面积为（ ）．

27 A．3 B．12 C．4D.163

5已知等腰直角三角形斜边上中线为5cm，则以直角边为边的正方形面积为（ ）．

A．10cm2 B．15cm2 C．50cm2 D．25cm2

6．兰苑中学甲同学不小心把篮球弄到高3m的房顶上，乙同学找来了一把长2.5m的梯子，梯子必须靠在墙上，而且梯子的底部离墙角1.5m才能放稳当（如图），试问乙同学能帮甲同学够到篮球吗？为什么？

B200mC520mA

◆典例分析

如图，小刚欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度。

分析：构造直角三角形ABC,利用勾股定理解决实际问题。解决问题首先要确定直角，即∠B.

解：根据勾股定理：

∵∠ABC=90°∴AB=AC2BC252022002480

答：河流的宽度为480米。

1．在Rt△ABC中，a=3，b=4，则c=______．

2．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，•另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_______海里．

3．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．

（1）若AC=61，CD=11，则AD=______．

（2）若CB=113，CD=15，则BD=________．

4．等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，则三角形的面积为（ ）．

A．56 B．48 C．40 D．32

5．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（ ）．

A．2.5cm B．5cm C．25cm D．5cm

2

6．用尺规在数轴上找出坐标为5的点．

7．如图（a～c）所示，求下列直角三角形中未知边的长．

1． 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 ．

C

S1

A

S2

B B C

A

D

2． 如图，等腰△ABC中，ABAC，AD是底边上的高，若AB5cm，BC6cm，则AD cm．

1、填空题：

（1）如果三角形中 等于 ，那么这个三角形是直角三角形， 所对的角是直角。

（2）在△ABC中，已知AB=40，BC=41，AC=9，则∠BAC= 度。

2、选择题：

（1）边长分别是下列各组数的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）

A、5，10，13． B、5，7，8。 C、7，24，25。 D、8，25，27。

（2）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）

A、b2=a2-c2 B、∠C=∠A-∠B

C、∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D、a∶b∶c=12∶13∶5

3、根据三角形的三边a，b，c的长，判断三角形是不是直角三角形：

（1）a=11，b=60，c=61； （2）a=

25，b=1，c=；

34

4、在△ABC中，三条边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n＞0）。那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由。

5、如图，已知一个四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4， 13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积。

A

B

2.探索勾股定理（二）

D

C

1.填空题

(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.

(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.

(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.

图1

2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.

3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.

4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

1）勾股定理说的是 。

（2）直角三角形的两边长分别是3cm、4cm，则第三边长是 。

（3）直角三角形的周长是24cm，斜边上的中线长为5cm，则此三角形的面积是 。

（4）如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于 。

A

P′

B P

C

2、选择题：已知有不重合的两点A和B，以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出（ ）

A、2个 B、4个 C、6个 D、8个

3、在△ABC中，∠C=Rt∠，BC=a，AC=b，AB=c。

（1）a=9，b=12，求c； （2）a=9，c=41，求b；

（3）a=11，b=13，求以c为边的正方形的面积。

4、如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为53，求AD的长。

D

C

A B

5、在直角三角形中，如果两直角边之和为17，两直角边之平方差为119，求斜边的长。

6、如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，

A

请你说明AB2=AC2+BC·BD

B C

D

2.7 直角三角形全等的判定 同步练习

例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE

求证：OB=OC.

例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE

∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）

∴DE=EC又∵BD=BC

∴E、B在CD的垂直平分线上

即BE⊥CD.

1．选择：

（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（ ）个

①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等

③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等

A．0 B．1 C．2 D．3

（2）在下列定理中假命题是（ ）

A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（ ）

A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3

（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线.则∠1与∠2的关系是（ ）

A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定

（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．解答：

（1）已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC 求证：AB=DE.

（2）已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.

（3）已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F

求证：CE=DF.

1.3 蚂蚁怎样走最近

1．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）

A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定

2．任意三角形的三条边必须满足________．

3. 直角三角形两锐角 ，三边满足 .

4. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，

①若a=14，b=48，则c=________；②若a=8，c=17，则b=_______.

5．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

3m“路”4m

6．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则S3=____．

7．在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以20cm/s的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要 分的时间.

8．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=„„=A8A9=1，请你计算OA9的长.

‘

9．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形如图，其中正确的是（ ）

72525207242025(D)15715(A)7(B)15A. B. C . D.

15(C)

10. 如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）

A. 45m B.40m C. 50m D.56m.

西北15cmA东17cm南B 第10题 第11题

11.如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 .

12.一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放与杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为___________cm.

13．如图，等腰三角形ABC的腰为10，底边上的高为8，

（1）求底边BC的长；（2）S△ABC．

14．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，

过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

15．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？

B

12 5

C 13 D A

C

D

B

E

A

16．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

一、基础达标:

1．解析：实际问题转化为数学模型，有题意知道小红和小颖回家所走的方向成直角，她们家的距离是斜边的长度，有勾股定理可以求解.

答案：C.

2．解析：从三角形三边关系上考虑，三角形的两边之和大于第三边．三角形的两边之差小于第三边．

答案：三角形的任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

3. 解析：直角三角形两锐角互余．如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c，

那么a2b2c2．

答案：直角三角形两锐角互余，如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c，

那么a2b2c2．

2224. 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°由勾股定理得abc.

所以，若a=14，b=48，则c=50，若a=8，c=17，则b=15.

答案：①50，②15．

8．解析：看清图形中各条线段的关系，借助勾股定理求出线段的值. 答案：3.

10. 解析：有实际问题知道东北方向和东南方向的夹角是直角，可以利用勾股定理求出AB的值，AB=40m.

答案：B.

11.解析：观察图形知道：求正方形的面积需要知道边长，利用勾股定理可以求出边长为8cm，则正方形的面积是64cm2.

答案：64cm2.

12.解析：杯子中吸管的长可以利用直角三角形求出，知道两直角边分别是15cm、

20cm，求出杯子中的吸管长为25cm，吸管总长度是25+5=30（cm）.

答案：30 cm.

13．解析：因为是等腰三角形，底边上的高平分底边即“三线合一”，

所以只要利用勾股定理求出BD乘2即可．

1答案：（1）在等腰三角形ABC中，∵AD⊥BC于D，∴BD=DC=BC.

2∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得

AD2＋BD2＝AB2 , BD2＝100－64＝36.

∴BD＝6 ∴BC＝BD×2＝12.

（2）S△ABC＝11×BC×AD＝×12×8＝48（平方单位）．

22答：底边BC的长12， S△ABC＝48．

14．解析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图1-3-16，图中△ABC的∠C＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB

=5000米，AC= 4000 米，这样BC就可以通过勾股定理得出，一定要注意单位的换算．

答案：由勾股定理得BC2AB2AC252429，

即 BC=3千米，飞机20秒飞行3 千米．

那么它 l 小时飞行的距离为：36003540 （千米）．

20答：飞机每小时飞行 540千米．

15.解析：由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，

由面积关系可求出公路的最短距离BD=∴最低造价为120000元.

答案：修这条公路的最低造价为120000元.

16．解析：先由勾股定理求得AB=10cm，。可以知道△AED≌△ACD，

所以AE=AC，DE=DC，∠AEC=∠AED=90°，

设DC=xcm，则DE=xcm，BD=(8-x)cm，BE=4cm，(8-x)2=x2+42，

解得x=3(cm).

答案：能求出CD的长，CD的长是3 cm.

60km，

13

第18章《勾股定理》基础测试题（-）

班级： ____________ 姓名： ____________ 得分:

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）

1、下列各组数为勾股数的是（

A、

8, 15, 16

）

6, 12, 13

B、 3, 4, 7 C、

15, 17, 8

D、

2、 要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5///,顶端离地面12///,则梯子的长度为（ ）

A、12/?7

B、3ni C、14m D、15m

3、 直角三角形的两条直角边长分别为&加和&加，则连接这两条直角边中点线段的长为（

）

A、3cm B、4cm C、5cm D、12cm

4、 一艘小船早晨8： 00出发，以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时

的速度向南航行，上午10： 00两小船相距（ ）海里.

A、15

5、

A、4

B、12 C、13

D、20

一直角三角B、8

C、10

6、在△ABC

中,

Z4CB二90。，AC=2, BC=5, AM=AC, BN二BC、

则MN的长为（

4、2

B、2.6

形的斜边长比一直角边长大2,另一直角边长为6,则斜边长为（

二. 填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

）

A

笫6C

第11题

B 7.

若

°=6,尸10,则

已知在

Rt/ABC 中，ZC=90°. ____ (1)若。=3,

b=4,则 ；

(2)b= ____________ .

8、 已知甲乙在同一地点出发，甲往东走了

4千米，乙往南走了

3千米，这时甲、乙两人相距 千米.

9、 如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条

“路=他们仅仅少走了 __________ 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.

10.

某养殖厂有一个长2米.宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木 板的长应取 米.

11、 如图，隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任

取一点C,若测得CA=50m, CB=40m,那么A、B两点间的距离是 __________________

m •

12、 如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13c税和5c/77,那么这个直角三角形的面积是

2

cm .

三、解答题（共4小题，满分52分）

塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜?

13、如图，要修建一个育苗棚，棚高肛1.8加，棚宽a=2.4 m，棚的长为12加，现要在棚顶上覆盖

a

14、如图，铁路上A、B两点相距25如?，C、D为两村庄,

DA丄AB于A, CB丄AB于B,己知DA=5kmf CB二0血,现在要在铁路AB上建一个土特产

品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在

多少千米处？

15、在△ABC

中，ZC=90°,

AC=2A cm. BC=2.S cm.

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长;

（2〉求斜边被分成的两部分4D和BD的长.

16、在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”，你知道它的意思吗？

它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边 的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52. （1〉请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？

（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7,

BC=4,请你研究 参考答案与评分标准

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）

1、

A、

6, 12, 13

C、

15, 17, 8

下列各组数为勾股数的是（ ）

B、 3, 4, 7

D、 8, 15, 16

考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

分析：勾股数是符合特点的，还要是正整数，据此判断即可.

解答：解：A、常用勾股数有5, 12, 13,故不是；

B、 常用勾股数有3, 4, 5,故不是；

C、 因为82+152=172,故是勾股数；

D、 常用勾股数有8, 15, 17,故不是；

故选C.

点评：应熟记常用勾股数：3, 4, 5； 8, 15, 17； 5, 12, 13...,解答此类问题就可以正确快 速的解答了.

2、 要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m,顶端离地面12m,则梯子的长度为（ ）

A、12m

B、13/n

D、15m

C、14m

考点：勾股定理的应用。

分析：如（解答）图，A3为梯子长，AC为底端离建筑物的长5皿3C为顶端离地面的长12加 根据勾股定理即可求得.

解答：解：如图：

VAC=5m,

BC=2m, ZC=90°

AB

二寸 5 2 + ] 2 13 m

故选B・ 点评：此题考查了勾股定理的应用.解题时要注意数形结合思想的应用.

3、直角三角形的两条直角边长分别为6c加和8。加，则连接这两条直角边中点线段的长为（ ）A、3cm

B、4cm

C、5cm D、2ctn

考点：三角形中位线定理；勾股定理。

分析：由题意可知：BC=6, AC二8.根据勾股定理得：B410.

D、E是两直角边的中点，即为 三角形中位线，根据中位线性质即可解答.

解答：解：如图所示，在RT5ABC中，BC=6, AC=8,

根据勾股定理得：AB二QBC? +AC $二p6 ? + 8 2=16

又D、E是两直角边的中点，

所以

DE=^AB=5

2

故选C.

点评：此题不但考查了勾股定理，还考查了三角形中位线定理，所以学生要把学过的知识融合 起来.要培养整体思维的能力.

4、一艘小船早晨8： 00出发，以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时 的速度向南航行，上午10： 00两小船相距( )海里.

A、15 B、12

C、13

D、20

考点：勾股定理的应用；方向角。

分析：正东方向与正南方向正好构成直角，因而两船所经过的路线，与10： ()0时，两船之间 的连线正好构成直角三角形.根据勾股定理即可求解.

解答：解：

在直角中，OB=2X8=16海里.

04二12海里

根据勾股定理：肚=彳0梓+

0!52=J16^KL2^=2°海里.故选D.

点评：本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

5、一直角三角形的斜边长比一直角边长大2,另一直角边长为6,则斜边长为（ ）

C、10

A、

4

D、12

B、

8

考点：勾股定理。

分析：利用勾股定理即可解答.

解答：解：设斜边长为兀，则一直角边长为x-2,根据勾股定理列出方程：62+ （x-2）

2=/,

解得.r=10,故选C.

6、在

ZV1BC

中,

点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力.

A、2

B、2.6

ZACB=90°, AC=12,

C、3

D、4

考点：勾股定理。

分析：根据勾股定理求出AC的长即可解答.

解答：解：在Rt/ABC中，根据勾股定理，AB=^122+52=nt

则MN的长为（ 又

TAO 12,

BC=5, AM=AC, BN=BC,

:.AM=n, BN=5,

Z.

MN=AM+BN - AB= 12+5 - 13=4.

故选D

点评：本题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MN二AM+BN是关键.

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 7、己知在

Rt/ABC 中，ZC=90°. (1)若

°=3, Z?=4»

则

c= 5 ； (2)若

a=6, c=10,则

b=

考点：勾股定理。

分析：（1）根据勾股定理，得c=J/ + b2；

（2）根据勾股定理，得b=^Q2 _

&2.

解答：解：（1）根据勾股定理，得c=佇打么5；

（2）根据勾股定理，得^=7102 - 6

2=8-

点评：此题是一道基础题，能够熟练运用勾股定理进行计算.

8、已知甲乙在同一地点出发，甲往东走了

4千米，乙往南走了

3千米，这时甲、乙两人相距A

千米.

考点：勾股定理的应用。

分析：根据题意，由于甲往东走了

4千米，乙往南走了

3千米，所以0A=4千米，0B=3千米, 然后利用勾股定理即可求出甲、

解答：解：如图，

在

MOAB 中，ZAOB=90°,

乙两人相距多少千米.

•・・04二4千米，0〃二3千米，

AB=^I A0

2 + B0

2=5

千米•

所以甲、乙两人相距5千米.

故填空答案：5千米.

点评：本题考查正确运用勾股定理，善于观察题口的信息是解题以及学好数学的关键.

东 9、如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条

“路1他们仅仅少走了

4步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.

考点：勾股定理的应用。

专题：应用题。

分析：本题关键是求出路长，即三角形的斜边长.求两直角边的和与斜边的差.

解答：解：根据勾股定理可得斜边长是航莓尹m.则少走的距离是3+4-5二2加，即4步. 点评：本题就是一个简单的勾股定理的应用问题.

10、 某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木 板的长应取2.5米.

考点：勾股定理的应用。

专题：应用题。

分析：木板的长为矩形的对角线，已知矩形的长和宽可运用勾股定理进行求解.

解答：解：设矩形的长为a,宽为b,对角线长为c,

根据勾股定理可得：圧=/+沪，

故*需盯7=422 + 1. 5 2=25米，即木板的长应取2.5米.

点评：本题主要是将木板摆放的位置进行确定，然后可用数学的方法进行求解.

11、 如图，隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任 取一点C,若测得CA=50m, CB=40m,那么A、B两点间的距离是30

A C

B

考点：勾股定理的应用。

分析：在本题中，正好是直角三角形，根据勾股定理即可解答.

解答：解：由图可知，三角形ABC是直角三角形

T

CA=50m, CB=40m •••AB=&* -

CBM50 - 40

2=30,77-

点评：本题很简单，只要熟知勾股定理即可.

212、如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13切2和5cm,那么这个直角三角形的面积是

30_C

考点：勾股定理。

分析：直角三角形的面积的计算方法是两直角边乘积的一半，因而由勾股定理先求出另外一条

直角边，再求面积.

解答：解：T另一条直角边长=12c加

三角形的面积是二丄x 12x5=30cm~.

点评：本题考查了勾股定理，面积的计算公式是解题的关键.

三、解答题（共4小题，满分52分）

13、如图，要修建一个育苗棚，棚高A=1.8

m，棚宽a=2A m,棚的长为12加，现要在棚顶上覆盖

塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

考点：勾股定理的应用。

分析：在侧面的直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜边长.棚顶是以侧面的斜边 为宽，棚的长为长的矩形，依据矩形的面积公式即可求解.

解答：解：V /z=1.8

r）iy d=2.4

加，

AB=.p且2 + h2=3

（加），

^AB=3m,

・•・矩形塑料薄膜的面积是：3x12=36

（加b . C a

s

点评：本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

14、如图，铁路上A.B两点相距25加，C、D为两村庄，DA丄4B于A, CB丄AB于B,已知DA=15km, CB=1()如7,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等，则

E站应建在距A站多少千米处？

考点：勾股定理的应用。

专题：应用题。

分析：关键描述语：产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等，在RtHDAE和R込CBE

中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可.

解答：解：设AE=xkm,

V Cs D两村到E站的距离相等，:.DE=CE,即

由勾股定理,得

152+x2=102+ (25 -x)

2,兀=10.

故：E点应建在距A站1()千米处.

点评：本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可.

15、在ZvlBC

中，ZC=90°, AC=2.1

cm, BC=2.S cm.

(1)

求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长；

(2)

求斜边被分成的两部分AD和的长.

考点：勾股定理。

分析：(1)根据勾股定理求得该直角三角形的斜边，根据直角三角形的面积，求得斜边上的斜边的乘积三斜边；

(2)在(1〉的基础上根据勾股定理进行求解.

解答：解：(1)•「△ABC

中，ZC=90。，AC=2

・・・ AB2=AC2+BC2=2.12+2.82= 12.25,

高等于 \'.AB-3.5cm.

T SAABC=-AC-BC=^AB-CD,

2 2

；・AC・BC=AB・CD,

•••CD二AC\"BC=2・ 1X2. X.68

(cm).

AB 3.5

(2)在Rt/XACD中，由勾股定理得：

曲+方二AC2,

:.A^AC - 0)2=2.12 - 1.682

=(2.1 + 1.68) (2.1 - 1.68)

=3.78x0.42

=2x1.89x2x0.21

=22x9x0.21x0.21

AZ)=2x3x0.21=1.26 (

cm).

1 2・*.BD=AB - AD=3.5 - 1.26=2.24

Cent\').

点评：此题考查了勾股定理的熟练运用，注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积 三斜边.

1

2

请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？

请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7, BC=4,请你研究 这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72?

考点：勾股定理的证明。

分析：(1)边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直 角三角形的三边为边向外做正方形，求出三个正方形的面积，即可证明；

(2)关键是计算S正方形正方形KLCJ ■ 4S&AABC再加以验证即可.

解答：解：(1)边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这 个直角三角形的三边为边向外作正方形，如图：AC=4,

BC=3, 16、在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”，你知道它的意思吗？

它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边

的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.

S 正方形

ABED=S 正方形

FCGH -

^Rt/XABC

9 1

二(3+4)「4x2x3x4=72 - 24=25

2

即

Ai^=25,又

AC=4,

BC=3,

AC2+^C2=42+32=25

•••ABLAF+BC2.

(2)如图(图见题干中图)

2 1

。

2

S 正方形

ABEIFS

正方形

KLCJ 一

4SRZMBC= (4+7) - 4x—x4x7=121 - 56二65二4*+7 •

2

点评：此题主要是根据正方形的面积公式证明勾股定理，需掌握.

2022人教版六年级上册数学期中测试卷

一.选择题(共6题，共12分)

1.把一个圆的平均分成2份，每一份是整个圆的（ ）。

A. B. C.

2.第一车间有职工80人，比第二车间多（ ）。

，第一、二两个车间共有A.160人 B.150人 C.60人 D.70人

3.下图中的说法对吗？（ ）

A.对 B.不对 C.不知道 4.一桶油，连油带桶重16千克，倒出油的来有油重（ ）。

后，连桶重7千克，桶内原A.9千克 B.15千克 C. 千克 D.25千克

5.丽丽家在学校的南偏西35°方向上，距离学校约400米；那么学校在丽丽家的（ ）方向上，距离约400米。

A.南偏西35° B.西偏南35° C.北偏东35°

6.一个饲养场，养鸭1200只，养的鸡比鸭多正确的列式是（ ）。

A.1200× B.1200+1200× C.1200﹣，养的鸡比鸭多多少只？1200× D.1200÷

二.判断题(共6题，共12分)

1.一种商品，先提价2.1米的和2米的，再降价，售价不变。（ ）

同样长。（ ）

3.如下图，一艘渔船要从甲码头开往乙码头，如果渔船每小时航行20海里，那么这艘渔船从甲码头到乙码头需要10小时。（ ）

4.已知a、均大于0，如果5.一个大于0的数除以的商比这个数乘的，则a>b。（ ）

积大。（ ）

6.两个数的积一定大于这两个数的商。（ ）

三.填空题(共8题，共19分)

1.把千克糖平均分给4个小朋友，每人分到这些糖的（ ），每个小朋友分到（ ）千克。

2.0.8的倒数是（ ），最小的合数的倒数是（ ）。

3.修路队要修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的。第一天比第二天少修90米.要修的这条路全长（ ）米。

4.小明在小丽的东偏北25°距离500米方向，那么小丽在小明的（ ）偏（ ）（ ）°，距离（ ）米方向。

5.在括号里填上“>”、“<”或“=”。

6.一批货物重120吨，第一次运走全部的，这批货物还剩（ ）吨。，第二次运走余下的

7.一个数的倒数是它本身，这个数是（ ），0.875与（ ）互为倒数。

8.填一填。

吨=________千克 时=________分

小时=________分 千米=________米

四.计算题(共2题，共16分)

1.计算。（能简算的要简算）

2.看图列式计算。

（1）公鸡有多少只？

（2）实际有多少吨？ 五.作图题(共2题，共11分)

1.画一画，填一填。

2.书店东面150米处有一家商场，一家超市在书店西面400米的地方，请你在下面的图中标出商场和超市的位置，并算一算：商场和超市之间的距离有多远？

六.解答题(共6题，共30分)

1.一台彩色电视机原价3680元，连续两次降价。现价多少元?

2.小明两天看完一本240页的故事书.第一天看了全书总页数的，第二天应看多少页？

3.如下图。小华每天喝2杯这样的牛奶，他在整个九月份通过喝牛奶可以摄取钙质多少克？

4.只列式不计算。

（1）希望小学六（1）班的同学分两组参加植树活动，第一组25人，平均每人植树10棵，第二组20人，一共植树290棵，全班平均每人植树多少棵？

（2）炎热夏天到来之际，杨经理准备捐资建一座游泳池，这个游泳池的长是50m，宽是长的，高是2m。这个游泳池的占地面积是多少平方米？

5.12岁男生的标准身高是153厘米，12岁女生的标准身高是155厘米，明明和美美今年都是12岁。明明的身高超出标准。小勇和小梅的身高各是多少厘米?

6.豆豆上学：

（1）看图描述豆豆从家到学校的路线；

，美美的身高比标准矮（2）如果豆豆每分钟走60米，豆豆从家到学校需要多少分钟？

（3）学校8:00开始上课。一天早上，豆豆7:30从家出发走到商场时，发现没带数学课本。于是他赶回家取了课本后继续上学。如果豆豆每分钟走60米，他会迟到吗？

参考答案

一.选择题

1.C

2.B

3.B

4.B

5.C

6.A

二.判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

6.× 三.填空题

1.；

2.；

3.1200

4.西；南；25；500

5.＞；＜；=

6.64

7.1；

8.750；42；36；600

四.计算题

1.（1）；（2）2.（1）120÷（1+＝120÷

＝100（只）

答：公鸡有100只。

（2）800×（1﹣＝800×

；（）

3）4）3

；（

） ＝600（吨）

答：实际是600吨。

五.作图题

1.如下：

2.如下：

六.解答题

1.3680×(1-)(1-)=2070（元）

答：现价2070元。 2.240﹣240×

＝240﹣140

＝100（页）

答：第二天应看100页。

3.（克）答：他在整个九月份通过喝牛奶可以摄取钙质18克。

4.（1）（25×10+290）÷（20+25） （2）50×5.153×(1+)=162（厘米）

155×(1-)=150（厘米）

×50

答：明明的身高是162厘米，美美的身高是150厘米。

6.（1）豆豆每天从家到学校，先向正东方向走300米到商场，再向东南方向走150米到公园，接着从公园向北偏东30°方向走200米到医院，再向正东方向走310米到广场，最后从广场向东偏北20°方向走180米到学校。

(2)(300+150+200+310+180)60=19（分钟）。

(3)（分钟）。29分钟＜30分钟，答：豆豆不会迟到。

一元二次方程应用题经典题型汇总

同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.

一、增长率问题

例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，

即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.

答 这两个月的平均增长率是10%.

说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.

二、商品定价

例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

解 根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.

所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.

答 需要进货100件，每件商品应定价25元.

说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

三、储蓄问题

例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率（假设不计利息税）

解 设第一次存款时的年利率为x.

则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.

解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.

答 第一次存款的年利率约是2.04%.

说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.

四、趣味问题

例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.

则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.

，x2＝1.

解这个方程，得x1＝－1.8（舍去）所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.

答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

五、古诗问题

例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.

则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.

当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.

答 周瑜去世的年龄为36岁.

说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.

六、象棋比赛

例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.

答 参加比赛的选手共有45人.

说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.

七、情景对话

例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.

则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.

整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.

当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；

当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.

答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.

八、等积变形

例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.

解 都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，

解这个方程，得x＝，即x≈6.6.

（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.

说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等. 九、动态几何问题

例9 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90?/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解 因为∠C＝90?/SPAN>，所以AB＝2＝＝10（cm）.

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm，所以

AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.

则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.

由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.

说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.

十、梯子问题

例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.

（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？

（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？ （3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？

解 依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.

（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，

，

解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去）所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.

（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.

222则根据勾股定理，列方程(8－x)+(6+1)＝100.整理，得x－16x+13＝0.

解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.

所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.

（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.

则根据勾股定理，列方程

(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，

，x2＝2.

解这个方程，得x1＝0（舍去）所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.

说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.

十一、航海问题

例11 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）

解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.

（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.

解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+（不合题意，舍去）.

所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.

说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.

十二、图表信息

例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

纸片的边长n

2 3 4 5 6

使用的纸片张数

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.

①当n＝2时，求S1∶S2的值；

②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.

解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.

（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.

①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.

所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.

②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，

解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.

所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.

说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.

十三、探索在在问题 例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?

若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.

则根据题意，得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，

当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，

答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.

说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.

十四、平分几何图形的周长与面积问题

例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E•在下底边BC上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.

过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.

则可得，FG＝×4，

所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.

（2）存在.由（1）得－舍去），

x2+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.

（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2，

即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝，

整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，

所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性. 十五、利用图形探索规律

例15 在如图8中，每个正方形有边长为1

的小正方形组成：

图

8

（1）观察图形，请填写下列表格：

正方形边长

黑色小正方形个数

正方形边长

黑色小正方形个数

1

2

3

4

5

6

7

8

„

„

„

„

n（奇数）

n（偶数）

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数．．n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.

解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、„、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、„、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.

所以P2＝n2－2n.根据题意，（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.

说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.

综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.