一元二次方程应用题经典题型汇总含答案 (三篇)

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z一元二次方程应用题经典题型汇总

一、增长率问题

例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额到达了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

解 设这两个月的平均增长率是x.，那么根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，

即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1〔舍去〕.

答 这两个月的平均增长率是10%.

说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，假设经过两次相等下降后，那么有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.

二、商品定价

例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，假设每件商品售价a元，那么可卖出〔350－10a〕件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店方案要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

解 根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

解这个方程，得a1＝25，a2＝31.

因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.

所以350－10a＝350－10×25＝100〔件〕.

答 需要进货100件，每件商品应定价25元.

说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

三、储蓄问题

例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行〞，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程〞，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.〔假设不计利息税〕

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解 设第一次存款时的年利率为x.

那么根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.

解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.

答 第一次存款的年利率约是2.04%.

说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.

四、趣味问题

例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没方法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.

那么根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.

解这个方程，得x1＝－1.8〔舍去〕，x2＝1.

所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.

答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

说明 求解此题开场时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

五、古诗问题

例5 读诗词解题：〔通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄〕.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，那么十位数字为x－3.

那么根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.

当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.

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答 周瑜去世的年龄为36岁.

六、象棋比赛

例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44〔舍去〕.

答 参加比赛的选手共有45人.

说明 类似于此题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.

七、情景对话

例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.

那么根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.

整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.

当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；

当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.

答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

说明 求解此题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.

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八、等积变形

例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园〔阴影局部〕所占的面积为原来荒地面积的三分之二.〔准确到0.1m〕

〔1〕设计方案1〔如图2〕花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

〔2〕设计方案2〔如图3〕花园中每个角的扇形都一样.

以上两种方案是否都能符合条件?假设能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；假设不能符合条件，请说明理由.

解 都能.〔1〕设小路宽为x，那么18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，

解这个方程，得x＝，即x≈6.6.

〔2〕设扇形半径为r，那么3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.

说- .. -

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明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原那么是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.

九、动态几何问题

例9 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90?/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

〔1〕如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

〔2〕点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.假设存在，求出运动的时间；假设不存在，说明理由.

解 因为∠C＝90?/SPAN>，所以AB＝＝＝10〔cm〕.

〔1〕设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以

AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.

那么根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

〔2〕设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

那么根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.

由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.

说明 此题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.

十、梯子问题

例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.

〔1〕假设梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？

〔2〕假设梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？

〔3〕如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？

解 依题意，梯子的顶端距墙角＝8〔m〕.

〔1〕假设梯子顶端下滑1m，那么顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

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那么根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，

解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14〔舍去〕，

所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.

〔2〕当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.

那么根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.

解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14〔舍去〕.

所以假设梯子底端水平向外滑动1m，那么顶端下滑约0.86m.

〔3〕设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.

那么根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，

解这个方程，得x1＝0〔舍去〕，x2＝2.

所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.

说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.

十一、航海问题

例11 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.

〔1〕小岛D和小岛F相距多少海里？

〔2〕军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？〔准确到0.1海里〕

解〔1〕F位于D的正南方向，那么DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.

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〔2〕设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.

解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+〔不合题意，舍去〕.

所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.

说明 求解此题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.

十二、图表信息

例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n〔n为整数，且2≤n≤11〕的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的局部恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后答复以下问题：

〔1〕由于正方形纸片边长n的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

纸片的边长n

使用的纸片张数

2

3

4

5

6

〔2〕设正方形ABCD被纸片盖住的面积〔重合局部只计一次〕为S1，未被盖住的面积为S2.

①当n＝2时，求S1∶S2的值；

②是否存在使得S1＝S2的n值？假设存在，请求出来；假设不存在，请说明理由.

解〔1〕依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.

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〔2〕S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.

①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.

所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.

②假设S1＝S2，那么有－n2+25n－12＝解这个方程，得n1＝4，n2＝21〔舍去〕.

×122，即n2－25n+84＝0，

所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.

说明 求解此题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第〔3〕小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.

十三、探索在在问题

例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

〔1〕要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

〔2〕两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 假设能，求出两段铁丝的长度；假设不能，请说明理由.

解〔1〕设剪成两段后其中一段为xcm，那么另一段为〔20－x〕cm.

那么根据题意，得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，

当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，

答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

〔2〕不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，那么另一段为〔20－y〕cm.那么由题意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.

说明 此题的第〔2〕小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.假设b2－4ac≥0，方程有两个实数根，假设b2－4ac＜0，方程没有实数根，此题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.

十四、平分几何图形的周长与面积问题

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例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E•在下底边BC上，点F在腰AB上.

〔1〕假设EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

〔2〕是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？假设存在，求出此时BE的长；假设不存在，请说明理由；

〔3〕是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两局部？假设存在，求此时BE的长；假设不存在，请说明理由.

解〔1〕由条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.

过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.

那么可得，FG＝×4，

所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x〔7≤x≤10〕.

〔2〕存在.由〔1〕得－舍去〕，

x2+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5〔不合题意，所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.

〔3〕不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2，

即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.那么有－x2+x＝，

整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，

所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两局部.

说明 求解此题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第〔3〕个问题时的实质是利用一元二次方程来- .. -

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探索问题的存在性.

十五、利用图形探索规律

例15 在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

图 8

〔1〕观察图形，请填写以下表格：

正方形边长

黑色小正方形个数

正方形边长

黑色小正方形个数

1

2

3

4

5

6

7

8

…

…

…

…

n〔奇数〕

n〔偶数〕

〔2〕在边长为n〔n≥1〕的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数．．n，使P2＝5P1？假设存在，请写出n的值；假设不存在，请说明理由.

解〔1〕观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1〔奇数〕；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n〔偶数〕.

〔2〕由〔1〕可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0〔不合题意，舍去〕.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.

说明 此题的第〔2〕小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从- .. -

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中找到数量关系，使问题获解.

综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和开展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少〞等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.

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2019年北师大版八年级上册第1章《勾股定理》培优专题训练

一．选择题

1．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，AO＝6，则OB长为（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

2．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（ ）

A．6 B．9 C．18 D．36

3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）

A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝6：8：10

C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2

4．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为2cm，高为8cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（ ）cm．

A．8 B．9 C．10 D．12

5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CD＝2，则AB长为（ ）

A．6 B． C． +2 D． +2

6．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（ ）

A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＞S3

C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝S3

7．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（ ）

222

A．0.72 B．2.0 C．1.125 D．不能确定

8．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）

A．AB＝5 B．∠C＝90° C．AC＝2 D．∠A＝30°

9．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为（ ）

A．8 B． 9.6 C．10 D．4 5

10．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）

A．12 B．15 C．20 D．30

二．填空题

11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，连结AD，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为 ．

12．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m， CD＝13m，AD＝12m，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元．

13．如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为

cm．

14．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为

cm．

15．在△ABC中，如果AB＝5cm，AC＝4cm，BC边上的高线AD＝3cm，那么BC的长为

cm．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，则△ABD的面积为 ．

17．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为 ．

18．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝ ，∠ABC＝ °．

三．解答题

19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5．

（1）求证：AD⊥BC；

（2）求CD的长．

20．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．

（1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

21．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A、B、D三点在同一直线上，EF∥AD，∠CAB＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝8．

（1）试求点F到AD的距离．

（2）试求BD的长．

22．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．

23．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？

24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？

25．[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．

[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．

参考答案

一．选择题

1．解：∵在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝10，AO＝6，

∴OB＝，

故选：C．

2．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，

∴CM＝EM＝MF＝3，EF＝6，

由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，

故选：D．

3．解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，所以不是直角三角形，正确；

B、∵（6x）2+（8x）2＝（10x）2，∴是直角三角形，错误；

C、∵∠C＝∠A﹣∠B，

∴∠C+∠B＝∠A，

∴∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；

D、∵b2＝a2﹣c2，∴是直角三角形，错误；

故选：A．

4．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、B的最短距离为线段AB的长．

在RT△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC为底面半圆弧长，AC＝2π＝6cm，

所以AB＝＝10cm．

故选：C．

5．解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝2，

则AD＝CD＝2，

在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝2，

则BD＝2，

故AB＝AD+BD＝2+2．

故选：D．

6．解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．

则S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2．

又a2+b2＝c2，

则S1+S2＝S3．

故选：D．

7．解：∵AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，

∴AB2＝1.52＝2.25，BC2+AC2＝0.92+1.22＝2.25，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴∠ACB＝90°，

∵CD是AB边上的高，

∴S△ABC＝1.5CD＝1.2×0.9，

CD＝0.72，

故选：A．

，

8．解：A、由勾股定理得：AB＝＝5，故此选项正确；

B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝52＝25，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴∠C＝90°，

故此选项正确；

C、AC＝＝2，故此选项正确；

D、∵BC＝，AB＝5，

∴∠A≠30°，

故此选项不正确；

本题选择错误的结论，

故选：D．

9．解：作AD⊥BC于D，如图所示：

则∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴BD＝BC＝6，

由勾股定理得：AD＝当BM⊥AC时，BM最小，

此时，∠BMC＝90°，

∵△ABC的面积＝AC•BM＝BC•AD，

即×10×BM＝×12×8，

解得：BM＝9.6，

故选：B．

10．解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，

因为S1+S2+S3＝60，

所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，

即3S2＝60，

解得S2＝20．

故选：C．

二．填空题（共8小题）

11．解：∵DE是AB的中垂线，

＝8， ∴DA＝DB，

设AD＝x，则DB＝x，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，

在Rt△ACD中，∵AC2+CD2＝AD2，

∴62+（8﹣x）2＝x2，

解得x＝，

∴CD＝8﹣x＝，

故答案为：．

12．解：在Rt△ABC中，

∵AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，

∴AC＝5．

在△DAC中，CD2＝132，AD2＝122，

而122+52＝132，

即AC2+AD2＝CD2，

∴∠DAC＝90°，

S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC＝•BC•AB+DC•AC，

＝×4×3+×12×5＝36．

所以需费用：36×300＝10800（元）．

故答案为：10800．

13．解：如图，将正方体展开，

则线段AB即为最短的路线，

设这个正方体的棱长为xcm，

∴AB＝＝x＝20，

∴x＝4，

∴这个正方体的棱长为4cm，

故答案为：4．

14．解：如图，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm，

由勾股定理知，AC＝＝＝4．

设AC边上的高的长度为hcm，则AB•BC＝AC•h，

∴h＝＝＝2（cm）．

故答案是：2．

15．解：（1）如图1，当点D落在BC上时，

∵AB＝5，AD＝3，AC＝4，

∴BD＝＝＝4，

CD＝＝＝，

则BC＝BD+CD＝4+；

（2）如图2，当点D落在BC延长线上时，

∵AB＝5，AD＝3， AC＝4，

∴BD＝＝＝4，

CD＝＝＝，

则BC＝BD﹣CD＝4﹣；

综上，BC的长的为（4+）或（4﹣）cm．

16．解：作DE⊥AB于E，

∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，

∴AB＝＝13，

由基本作图可知，AD是∠CAB的平分线，

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AE＝AC＝12，DE＝DC，

∴BE＝AB﹣AE＝1，BD＝5﹣CD＝5﹣DE，

在Rt△DEB中，DE2+BE2＝BD2，即DE2+12＝（5﹣DE）2，

解得，DE＝，

， ∴△ABD的面积＝×AB×DE＝故答案为：．

17．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E， S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，

∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C

∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9

∴S正方形A+4＝9﹣3，

∴S正方形A＝2

故答案为2．

18．解：连接AC．

根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，

AC2＝BC2＝12+22＝5，

∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°．

故答案为：10，45．

三．解答题（共7小题）

19．解：（1）在△ABD中，

∵AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，

∴AD2+BD2＝AB2，

∴△ABD是直角三角形，其中∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC；

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，

即122+CD2＝152，解得：CD＝9或CD＝﹣9（舍）．

20．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，

梯子距离地面的高度AE＝＝24米．

答：此时梯子顶端离地面24米；

（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，

∴BD+BE＝DE＝＝＝15，

∴DE＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．

答：梯子底端将向左滑动了8米．

21．解：（1）如图，过点F作FM⊥AD于点M，

在△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°，DE＝8，

则∠DFE＝30°，

故EF＝2DE＝16，

DF＝＝＝8，

∵AB∥EF，

∴∠FDM＝∠DFE＝30°，

在Rt△FMD中，MF＝DF＝8即点F与AD之间的距离为：4

（2）在Rt△FMD中，DM＝∵∠C＝45°，∠CAB＝90°，

∴∠CBA＝45°，

又∵∠FMB＝90°，

△FMB是等腰直角三角形，

∴MB＝FM＝4，

∴BD＝MD﹣FM＝12﹣4．

×＝4；

，

＝＝12，

22．解：根据题意得；AC＝30海里，AB＝40海里，BC＝50海里；

∵302+402＝502，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴180°﹣90°﹣35°＝55°，

∴乙船的航行方向为南偏东55°．

23．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，

∴BC＝CA．

设AC为x，则OC＝9﹣x，

由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，

又∵OA＝9，OB＝3，

∴32+（9﹣x）2＝x2，

解方程得出x＝5．

∴机器人行走的路程BC是5cm．

24．解：设运动x秒时，它们相距15cm，则CP＝xcm，CQ＝（21﹣x）cm，依题意有

x2+（21﹣x）2＝152，

解得x1＝9，x2＝12．

故运动9秒或12秒时，它们相距15cm．

25．定理表述：

直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

证明：∵S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE，

＝×2+，

＝×2+，

， 又∵S四边形ABCD＝∴＝∴（a+b）2＝2ab+c2，

∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，

∴a2+b2＝c2．

计算长度的单位和长度的换算

长度是物体的大小和距离的度量，是物理学中的一个重要概念。在日常生活和科学研究中，我们经常需要测量和计算物体的长度，并且需要进行不同单位之间的换算。本文将介绍常见的长度单位，并提供相应的换算方法。

米（Meter，简写m）是国际单位制中长度的基本单位，也是最常用的长度单位之一。1米等于100厘米（cm），1千米（km）等于1000米。

除了米之外，还有许多其他长度单位在不同的领域和国家被广泛使用。以下是一些常见的长度单位及其换算关系：

1. 厘米（Centimeter，简写cm）：1米等于100厘米，1厘米等于0.01米。

2. 毫米（Millimeter，简写mm）：1米等于1000毫米，1毫米等于0.001米。

3. 微米（Micrometer，简写μm）：1米等于1,000,000微米，1微米等于0.000001米。微米通常用于测量细微的物体，如细菌或细胞。

4. 纳米（Nanometer，简写nm）：1米等于1,000,000,000纳米，1纳米等于0.000000001米。纳米被广泛用于描述纳米技术和纳米材料。 5. 英寸（Inch，简写in）：1英寸等于2.54厘米，1厘米约等于0.3937英寸。英寸常用于美国和其他英语国家，尤其在测量屏幕尺寸和身高时较为常见。

6. 英尺（Foot，简写ft）：1英尺等于30.48厘米，1米约等于3.281英尺。英尺常用于测量房屋面积和地图比例尺。

7. 码（Yard，简写yd）：1码等于0.9144米，1米约等于1.094码。码常用于英美国家的体育场地、跑道长度等。

8. 英里（Mile，简写mi）：1英里等于1,609.34米，1米约等于0.6214英里。英里常用于测量道路距离和里程。

9. 海里（Nautical mile，简写nmi）：1海里等于1,852米，1米约等于0.54海里。海里常用于测量航海和航空中的距离。

在进行长度的换算时，可以使用以下换算公式：

1. 米到厘米的换算：厘米 = 米 × 100

2. 厘米到米的换算：米 = 厘米 ÷ 100

3. 米到毫米的换算：毫米 = 米 × 1000

4. 毫米到米的换算：米 = 毫米 ÷ 1000

5. 英寸到厘米的换算：厘米 = 英寸 × 2.54

6. 厘米到英寸的换算：英寸 = 厘米 ÷ 2.54

7. 英尺到米的换算：米 = 英尺 × 0.3048 8. 米到英尺的换算：英尺 = 米 ÷ 0.3048

9. 码到米的换算：米 = 码 × 0.9144

10. 米到码的换算：码 = 米 ÷ 0.9144

11. 公里到英里的换算：英里 = 公里 × 0.6214

12. 英里到公里的换算：公里 = 英里 ÷ 0.6214

以上仅是一些常见长度单位的换算方法，实际上还有更多单位和更复杂的换算关系。在实际应用中，可以根据具体的需求和情况选择合适的单位进行测量和计算。

总结起来，长度的单位有许多种，包括米、厘米、毫米、英寸、英尺、码、英里、海里等。在进行长度的换算时，可以使用相应的换算公式进行计算。正确理解和使用长度单位和换算方法，对于日常生活和科学研究都是非常重要的。

希望本文能够帮助你更好地了解计算长度的单位和长度的换算，使你在实际应用中能够准确、便捷地进行计量。