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2023年4月18日发(作者：involved)Ｎｏ．６
陕西科技大学学报
Ｄｅｃ．２Ｏ１１
・
１０８・
ＪＯＵＲＮＡＬ０ＦＳＨＡＡＮＸＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ０ＦＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ
Ｖ０１．２９
文章编号：１０００—５８１１（２０１１）０６—０１０８—０４
经济预测的神经网络泛化问题研究
冯再勇，王茂芝
（１．南京铁道职业技术学院基础教学部，江苏苏州２１５１３７；２．成都理工大学数学地质四川省重点实验室，
四川成都６１００５９）
摘要：从数学和系统科学角度研究了经济预测中的神经网络泛化问题，主要结论包括：（１）
利用实分析理论，证明了从有限到无限的不完全归纳以及经济系统的不连续性是造成泛化性
能不良和预测效果不佳的根本原因．（２）从系统科学角度分析了系统噪音、随机性等对神经网
络泛化能力的负面影响，证明了单纯的前馈神经网络不能对混沌经济系统作出可靠的预测．
关键词：经济预测；前馈神经网络；泛化问题；混沌经济系统；初值敏感性
中图法分类号：Ｆ２２４文献标识码：Ａ
０引言
利用神经网络建立经济现象的数学模型，据此对经济、金融等问题作出分析、评价和预测，这一方法在
经济学理论研究和实证研究中已被广泛采用，也取得了很多有价值的成果．然而在实际利用神经网络进行
经济建模、预测时，网络的泛化问题比较突出［１］，造成对某些经关于马的古诗句济现象的预测和评价不够成功．“泛化问题”
即网络泛化性能不够理想的问题，是困扰神经网络应用的容易的反义词二年级最主要问题之一，已成为众多学者十分关注的理
论问题．本文从数学与系统科学的角度对利用神经网络进行经济预测时产生泛化问题的本质原因进行了
分析，为改善神经网络的泛化性能，更有效的建立经济数学模型提供了有意义的参考．
１“泛化问题”的数学分析
Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ定理告诉我们］：“对任意连续函数，：Ｅ一Ｒ，Ｙ一（Ｘ），Ｅ是ｍ维单位立方体：
［Ｏ，１］，可以精确地由一个三层前馈神经网络实现．此神经网络第一层有ｍ个神经元，中间层有（２ｍ＋
１）个神经元，输出层有ｎ个处理单元”．值得注意的是，由于Ｙ＝（Ｘ）是定义在Ｅ，，ｌ—Ｅ０，１］或其子集上
的连续函数，因此自变量Ｘ（ｚ，ｚ，…，ｚ）的取值有无限多个，相应的可以有无限个ｙ（，Ｙ。，…，Ｙ）
与之对应．
建立神经网络模型进行经济预测的本质在于通过神经网络本身的非线性对各种经济系统中隐含的非
线性函数、特征进行逼近、提取，最终达到对经济系统进行预测、评价等目的．显然，要保证神经网络预测的
信度和效度，最好建立精确实现（至少在一定程度上实现）映射Ｙ一（Ｘ）的三层神经网络．这里，最佳方
法就是给出所有Ｘ（，ｚ，…，Ｘ）及其象ｙ（，Ｙ，…，Ｙ）的模式对，以此建立精确实现映射Ｙ一（Ｘ）
的三层神经网络．
然而，我们在实际建立神经网络模型时，尽管经济系统内部的非线性特征、函数是确定的，但它却是隐
含的、未知的．我们至多能通过统计资料、调查实验手段等得到系统内非线性特征的部分信息——有限个
＊
收稿日期：２０１１－０７—０６
作者简介：冯再勇（１９８２－－），男，江苏省南京市人，讲师，硕士，研究方向：智能计算
基金项目：国家８６３计划项目：地质应用系统建设与典型应用示范研究（２００８ＡＡ１２１１０３）

第６期冯再勇等：经济预测的神经网络泛化问题研究・１０９・
Ｘ（ｘ，Ｘ。，…，）和Ｙ（ｙ，ｙ。，…，ｙ）的对应关系，这有限个＜Ｘ，ｙ＞模式对便构成了网络建模的基
础．
这有限个模式对＜Ｘ，ｙ＞能不能保证网络模型预测的效度和信度呢？先看在这有限个模式对处，
能进行精确插值的不同神经网络有多少个．结合Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ定理，我们可以得到下面的结论：
结论１在有限个点Ｘ１（ｚ…ｚ……，ｚ１），Ｘ２（２１，ｚ２２，…，２），…，Ｘ＾（ｚ …，），（其中：
Ｘｔ（ｆ１’Ｘ …，ｚ）∈Ｅ一Ｅ０，１］，ｉ＝１，２，…，是）处具有相同映射ｙ１（ｌ１＇１２，…，ｌ），ｙ２（２１，Ｙ２２，…，
Ｙ。），…，（Ｙ …，Ｙ）的三层前馈网络有无穷多个，并且有ｆ个．（ｆ即实数集Ｒ的“基数”）
证明：由Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ定理存在性显然，只需证明满足条件的网络有无穷多个．
．
设想在给定点ｘ，ｘ２，…，Ｘ的前后两点ｘＪ，Ｘ间内插一个点ｘ，（ …，ｚ卸），Ｘ ∈Ｅ０，１］，
一
１一
（．『一１，２，…，走一１，ｓ一１，２，…，），例如可指定，一（ｚ＋ｚ．），则显然有ｚ ∈［－０，１］，同时可以任选
厶
∈Ｒ，（＝１，２，…，）组成经典老歌《送别》（Ｙｉ１，Ｙｉ２，…，Ｙ扣），（一ｌ，２，…，志一１），与（ …，却）匹配为模式
对，于是我们得到（２ｋ一１）个模式对：（Ｘ，Ｙ），（Ｘ，Ｙ），…，（Ｘ卜１，ｙ卜），（Ｘ，Ｙ）．
由于（ …，Ｙ如）中各个分量Ｙ的取值并不影响模式对（ｘ１，一首比较长的爱国诗Ｙｔ），（Ｘ２，Ｙ２），…，（Ｘ，Ｙｋ）之间
ＨⅡ
的映射，因此每个Ｙ都可以取Ｒ中的任意值． ’
对于固定的Ｊ∈｛ｌ，２，…，愚～１）及任意的ｔ∈｛１，２，…，ｎ），有：｛Ｙ）一Ｒ．
根据实分析中集合间“对等，，Ｅｓ３的概念，对于固定的．ｆ有： ’
～蛳
一
…———— ——
｛Ｙｊ（１，ｙｊ２，…，２ｉ．）Ｉ ∈Ｒ，ｔ＝１，２，…，）一儿｛ ∈Ｒ｝一Ｒ～Ｒ，（ ∈｛１，２，…，忌一１））
ｆ车１
进一步对于所有的－『有：
一
｛ｙ（ｙｌ，…，ｙＪ，…，）Ｉ ∈Ｒ，一１，２，…，愚～１）一１ ∈Ｒ，ｔ一１，２，…，）
：
ＩｌＩｌ｛Ｙ ∈Ｒ｝～Ｒ井‘卜”～Ｒ
Ｊ＝１ｆ一１
其中“Ｉｌ”是集合的笛卡尔乘积．
设所有Ｙ（Ｙ．．’ｙ ”，ｙ卜）构成集合：｛Ｉａ∈Ｊ），其中Ｊ是指标集，则｛１ａ∈ ）～Ｒ．
于是，ｆ｛Ｉａ∈Ｊ｝Ｉ＝ｆＲｌ：ｆ，即至少可以给出ｃ组不同的Ｙ一（ｙ “，，…，ｙ卜）．
利用其中任一ｙ：（ｙ一，ｙ “，一）都可以得到相应的模式对：（Ｘ，Ｙ），（Ｘ。，Ｙ），…，（Ｘ卜，
Ｙ卜１），（Ｘ＾，Ｙ＾）．
这样，就能够得到ｃ组在点：Ｘ１（Ｘ１２，…，ｚ１），Ｘ２（ｚ２１，ｚ２２，…，２），…，Ｘ（Ｘ …，ｚ）处
具有相同映射ｙＩ（Ｙ …，Ｙ），Ｙ２（Ｉ，Ｙ２，…，Ｙ２），…，（，Ｙ …，Ｙｈ）的不同模式对．由
Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ定理，对于每一组给定的模式对都对应一个三层的前馈神经网络可以精确逼近，从而至少存
在ｆ个三层网络，在点Ｘ１（ｚｌ２’…，ｚｌ），Ｘ２（２１，ｚ２２，…，Ｘ２），…，Ｘ＾（ｚ …，ｚ）处有相同的映
射：ｙ１（ｌ】，Ｙｌ２，…，Ｙｌ），Ｙ２（Ｙ２２’…，Ｙ２），…，（弘ｌ， …，Ｙ蛔）．证毕！
由结论１可知，利用部分信息建立神经网络模型提取经济系统中的非线性特征时，在有限点处和系统
内隐含非线性函数有相同值的神经网络有ｃ个，并且这些网络的差异可以很大（可以通过的差异化取值
实现），这样就很难保证建立的网络在其他点处也和系统内隐含函数有相同的值，也不能保证所得到的网
络精确（甚至是一定程度上）反映系统的内部特征，从而导致网络“泛化问题”的产生．从数学的角度来
说，将有限到推广到无限的不完全归纳法是前馈网络模型产生“泛化问题”的本质之一．
另外，Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ定理成立的前提是连续函数，要求所研究的系统是连续系统．而经济现象中的大
量复杂系统都不能确定其连续性，此时Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ定理就不一定成立，这也是神经网络模型产生泛化问
题的本质原因之一．

・
１１Ｏ・陕西科技大学学报第２９卷
２“泛化问题”的系统分析
此外，从系统科学角度来看，利用神经网络作经济预测时，其泛化问题还受到以下因素的影响：
（１）系统外界噪音的干扰：影响经济系统运行的因素复杂多变，涉及数据都是观测数据，在对样本模
式对（Ｘ，Ｙ），（Ｘｚ，Ｙｚ），…，（Ｘ，Ｙｋ）进行统计观测时，必然会受到各种外界噪音的干扰，产生误差．实
际建模的样本模式对是：（Ｘ１＋Ｘｌ，Ｙ１＋ｙ１），（Ｘ２＋ｚ２，Ｙ２＋ｙ２），…，（Ｘ＾＋ｚ＾，Ｙｌ＋Ｙ），其中（，Ｙ）少年歌行小说
是噪音等带来的偏差．样本模式对的准确性受到影响，自然会反映到构建的网络模型上，由此产生泛化问
题．
（２）系统演化过程中外在随机性的干扰：经济系统在演化过程中有时受到很多外在、偶然随机因素的
干扰，从而使系统的发展在山坡羊骊山怀古古诗一定程度上偏离正常的轨道．此时，系统内部的非线性映射发生了扰动，扰动前
数据得到的神经网络显然不能准确地反应扰动后的系统规律，造成“泛化性能”不理想．一个显著的例子
就是近几年我国发生的地质、气象灾害明显增多且难以预知，这对于区域的经济发展、金融证券、电力供
应、交通运输等各个方面都产生了显著的影响．
（３）经济系统中内在随机性的影响：系统的非线性程度越高，其内在随机性就越明显，系统对初值的
敏感性也越强ｎ］，经济复杂系统尤其如此，这种系统内在的随机性会对神经网络模型的泛化性能和天净沙秋思ppt优秀课件预测效
果产生十分严重的负面影响．假设系统Ｙ＝（Ｘ）在没有噪音的理想情况下相应的模式对是：（Ｘ，Ｙ），
（Ｘ。，Ｙｚ），…，（Ｘ，Ｙｋ），结合第（１）点，实际统计到的模式对是其近似模式对：（Ｘ＋，Ｙ＋Ｙ），（Ｘ＋
．
２７。，Ｙｚ＋Ｙ），…，（Ｘ＋Ｘ，Ｙｋ＋Ｙ），其中（，Ｙ）是噪音带来的误差，我们只能将后者作为样本模式对．
在线性系统中，当输入误差△Ｘ—Ｉｌ（，。，…，．２７）ＩＩ很小时，相应的输出误差△Ｙ：Ｉｌ（３，，Ｙ。，…，
Ｙ）Ｉｌ也很小，将Ｙ（ｙ＋Ｙ，Ｙ２＋Ｙｚ，…，ｙ＋Ｙ）作为ｙ（ｙ，Ｙ：，…，Ｙ）的近似是合理的．
而经济系统大多是非线性的，尤其是近年兴起的混沌经济学研究表明［５］，经济学中存在大量混沌系
统，它们对初值极为敏感，系统初始状态的“差之毫厘”就会导致系统演化结果的“谬以千里，’［引．此时，尽
管△Ｘ＝『ｌ（ｚ，。，…，．２７）ｌｊ很小，而由此产生的△Ｙ＝ｌｌ（，Ｙ，…，Ｙ）Ｉｌ却很大，仍然将（ｙ＋Ｙ。，Ｙ。＋
Ｙ２，…，＋Ｙ）作为ｙ（Ｙ１，Ｙ，…，）的近似便不再合适．
实际上对于混沌经济系统，可以证明下面的结论２成立．
结论２对于混沌经济系统，单纯的前馈神经网络无法保证预测结果的可靠性．
证明：设经济混沌系统Ｙ一（Ｘ）是线性空间ＸｃＲ到线性空间ｙｃＲ的映射，从而Ｙ＝（Ｘ）是
从Ｘ到ｙ的泛函．定义线性空间Ｘ上的距离ｄ（Ｘ，Ｘｚ长相思兮长相忆小说）一ｌｌＸ一Ｘ。『ｌ，线性空间ｙ上的距离ｄｚ（ｙ，Ｙｚ）
＝
Ｉｌｙ～ｙ。Ｉｆ（距离的具体形式不影响证明）。，于是，（Ｘ，ｄ），（ｙ，ｄ）都构成距离空间．
考虑一个样本的简单情况，设在没有误差的理想情况下，系统输入是Ｘ（ｘ，ｚｚ，…，Ｘ），相应的系统
输出是Ｙ：（Ｘ）一Ｙ（，ｙ。，…，Ｙ），而由上面的（１）可知，由于外界噪音的存在，误差不可避免，用来建模
的输入模式是：Ｘ（１＋１，２＋２，…，＋），模型的输出模式是：ｙ（１＋Ｙ１，Ｙ２＋Ｙ２，…，Ｙ＋
Ｙ）．
同时还应该看到，由于经济混沌系统的高度非线性，与模型输入Ｘ相应的系统准确输出应该是：Ｙ＝
ｃｐ（Ｘ）一ｙ（。＋Ｙ，Ｙ。＋Ｙ。，…，Ｙ＋Ｙ）．不仅如此，网络的建模过程中，还用模型输出ｙ作为了ｙ的替代
或近似．下面我们证明ｙ不能作为ｙ的替代或近似．
为便于分析，假设模型的输入、输出误差可以控制到任意精度，即对于任意小的正数ｅ，都可以保证：
ｄ１（Ｘ，Ｘ）一ｌＩＸ—Ｘ，ｌＩ＜ｅ，ｄ２（ｙ，Ｙ）＝Ｉ｝Ｙ—ｙ，Ｉｌ＜￡（１）
另一方面，由混沌系统对初值的极端敏感性可知，即使ｄ。（ｘ，Ｘ）＝ｌ｝ｘ—ｘ，ＩＩ＜ｅ，由此产生的系统
输出偏差却很大．即仍然存在一个很大的正数Ｍ，有：
ｄ（ｙ，ｙ）一ｌｌｙ—ｙｌ１＝ｌｌ（Ｘ）一（Ｘ）ｌ｝＞Ｍ＋￡（２）
由距离的三角不等式ｄ２（ｙ，ｙ）≤ｄ（ｙ，Ｙ）＋ｄ。（ｙ，ｙ），结合前面（１）、（２）两式有：

第６期冯再勇等：经济预测的神经网络泛化问题研究・１１１天若有情天亦老歌词・
Ｍ＋ｅ≤ｄ２（ｙ，ｙ）≤ｄ２（ｙ，Ｙ）＋ｄ２（ｙ，ｙ）＜ｄ２（ｙ，Ｙ）＋ｅ
从而，ｄ。（，ｙ）一ＩＩ —ｙ，Ｊｊ＞Ｍ．
可见，经济在混沌系统中，ｙ与之间偏差（距离）很大，模式对（ｘ，ｙ）本身并不能正确反映混沌系
统内的非线性特征，由此得到的网络模型也不能保证预测结果的可靠性．证毕１
３结束语
本文以实分析和混沌理论为工具，对经济系统预测中前馈神经网络泛化问题的本质进行了研究，所得
到的结论对神经网络在其他领域的预测及泛化问题同样具有重要的推广意义．
此外，上述研究过程启示我们，将其他非线性工具和神经网络进行深度融合有助于增强神经网络模型
本身的非线性能力，改善其泛化性能，提高模型对经济系统预测的科学性和可靠性．例如将混沌理论、小波
分析、灰色系统等和神经网络结合起来，构建混沌网络、小波网络、灰色神经网络等可以提高网络的泛化性
能，改进预测的效果Ｅ９，１ｏ３．从应用的角度出发，持续和深入地进行这方面的研究有着重要的现实意义．
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ＥＳＳＥＮＴＩＡＬＡＮＡＬＹＳＩＳＯＮＴＨＥＧＥＮＥＲＡＬＩＺＡＴＩＯＮ
ＰＲｏＢＬＥＭｏＦＦＥＥＤＦｏＲＷＡＲＤＮＥＵＲＡＬＮＥＴＷＯＲＫ
ＵＳＥＤＩＮＥＣｏＮｏＭＩＣＦｏＲＣＡＳＴＩＮＧ
ＦＥＮＧＺａｉ—ｙｏｎｇ，ＷＡＮＧＭａｏ－ｚｈｉ
（１．ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎａｌＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＲａｉｌｗａｙＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｕｚｈｏｕ２１５０００，Ｃｈｉｎａ；２．ＫｅｙＬａｂｏｆ
ＧｅｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｏｆＳｉｃｈｕａｎＰｒｏｖｉｎｃｅ，ＣｈｅｎｇｄｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ６１００５９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ；Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇｔｈｅｖｉｅｗｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｗｉｔｈｓｙｓｔｅｍｓ，ｔｈｅｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅｔｈｅｇｅｎｅｒ—
ａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆＦｅｅｄｆｏｒｗａｒｄＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋ（ＦＮＮ）：（１）Ｂｙｒｅａｌ—ａｎａｌｙｓｉｓ，ｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔ：ｉｎ—
ｃｏｍｐｌｅｔｅ—ｉｎｄｕｃｔｉｏｎｏｆｃｏｎｃｌｕｄｉｎｇｉｎｆｉｎｉｔｙｆｒｏｍｆｉｎｉｔｙａｎｄｔｈｅｐｏｓｓｉ古诗画眉鸟的翻译及赏析ｂｉｌｉｔｙｏｆｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｒｅ
ｔｗｏｅｓｓｅｎｔｉａｌｃａｕｓｅｓｃａｕｓｅｄｔｈｅｆａｉｌｕｒｅｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆＦＮＮ．（２）Ｆｒｏｍｔｈｅｓｙｓｔｅｍｓｐｏｉｎｔ
ｏｆｖｉｅｗ，ｉｔｉＳｃｌｅａｒｌｙｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｈｏｗｔｈｅｓｙｓｔｅｍｎｏｉｓｅｓ，ｒａｎｄｏｍｎｅｓｓ，ｉｎｎｅｒｒａｎｄｏｍｎｅｓｓａｆ—
ｆａｃｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆＦＮＮ．Ｗｅａｌｓｏｐｒｏｖｅｄｔｈａｔａｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｃａｎｎｏｔｂｅａｃｃｕｒａｔｅｌｙａｐ—
ｐｒｏａｃｈｅｄｂｙｂｕｉｌｄｉｎｇａｎｙＡＮＮｍｏｄｅ１．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｃｏｎｏｍｉｃｆｏｒｃａｓｔｉｎｇ；ＦＮＮ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍ；ｅｃｏｎｏｍｉｃｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍ；ｉｎ—
ｉｔｉａ１ｖａｌｕｅｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ