2024年3月22日发(作者：河南省一模文科数学试卷)
2023
年高考数学真题完全解读
（
全国甲卷文科
）
适用省份
四川
、
广西
、
贵州
、
西藏
整
试卷总评
2023
年高考数学全国卷全面考查了数学抽象
、
逻辑推理
、
数学建模
、
直观想象
、
数学运算和数据分析
等学科核心素养
，
体现基础性
、
综合性
、
应用性和创新性的考查要求
，
突出理性思维
，
发挥出数学学科在
I
人才选拔中的重要作用
。
一
、
题型与分值分布
题型
：
（
1
）
单选题
12
道
，
每题
5
分共
60
分
；
（
2
）
填空题
4
道
，
每题
5
分共
20
分
；
（
3
）
解答题三
道，
每题
12
分共
60
分
；
（
4
）
选做题
2
道
，
每题
10
分
。
二
、
题目难度和复杂度
难度级别
具体试题
第
1
题
、
第
2
题
、
总分值
整体评价
★
☆☆☆☆
25
分
第
4
题
、
第
13
题
、
第
15
题
★
★☆☆☆
第
3
题
、
第
5
题
、
第
6
题
、
第
14
题
、
42
分
整体试卷难度偏
易
，
整体复杂度
第
17
题
、
第
22
题
、
第
23
题
不高
，
综合知识
★
★★☆☆
第
7
题
、
第
8
题
、
44
分点大多都是
2
个
第
9
题
、
第
10
题
、
第
18
题
、
第
19
题
★
★★★☆
左右
第
11
题、
第
20
题
、
29
分
第
21
题
★
★★★★
第
12
题
、
第
16
题
10
分
三
、
知识点覆盖详细情况说明
知识点
集合
题型
单选题
1
个
单选题
1
个
单选题
1
个
题目数量
总分值
整体评价
1
1
1
5
分
5
分
5
分
复数
平面向量
程序框图
数列
单选题
1
个
单选题
1
个
1
2
5
分
主干知识考查
10
分
全而
，
题目数
填空题
1
个
三角函数
单选题
1
个
解答题
1
个
量设置均衡
；
2
17
分
与课程标准保
持了一致性
。
概率与统计
单选题
1
个
解答题
1
个
2
17
分
立体几何
单选题
1
个
3
22
分
填空题
1
个
解答题
1
个
圆锥曲线
单选题
2
个
解答题
1
个
3
22
分
函数与导数
单选题
2
个
填空题
1
个
解答题
1
个
4
27
分
极坐标与参数方程
不等式
选做题
1
个
填空题
1
个
1
2
10
分
15
分
（
线性规划问
题
）
选做题
1
个
四
、
高考试卷命题探究
2023
年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中
，
通过对阅读题的分析
，
可以发现今年的高考命题在
素材使用方而
，对文字数量加以控制
，
阅读理解雄度也有所降低
：
在抽象数学问题方而
，
力图设置合理的
思维强度和抽象程度
；
在解决问题方面
，
通过设置合适的运算过程和运算量
，
力求使情境化试题达到试题
要求层次与考生认知水平的契合与贴切
。
一是创设现实生活情境
。
数学试题情境取材于学生生活中的真实问题
，
贴近学生实际
，
具有现实意义
，
具备研究价值
。
如第
4
题
，
取材于学校文艺活动
，
贴近考生
，
贴近生活
，
意在引导学生积极参加文艺活动
，
全面发展。
二是设置科学研究情境
。
科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力
，
而旦引导考生树
立理想信念
，
热爱科学
，
为我国社会主义事业的建设作出贡献
。
如第
19
题
，
研究臭:氧环境对小白鼠生长的
影响，
将小白鼠随机分配到试验组和对照组
，
利用成对数据制成列联表
，
进行独立性检验
。
五
、
高考复习建议
高考数学复习应突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握
，
注重考查学科知识的综合应
用能力
，
在日常试题训练中应合理控制难度
，
力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接
，
促进考
教衔接
，
引导学生提高在校学习效率
，
避免机械
、
无效的学习
。
针对高三新一轮的复习
，
主要有以下几点
建议
。
一是突出基础性要求
。
高考数学试卷在选择题和填空题部分均设置多个知识点
，
全面考查集合
、
复数
、
平面向量
、
排列组合
、
三角函数的图像和性质
、
几何体的体积
、
直线和圆等内容
，
实现对基础知识的全方
位覆盖
。
同时
，
在解答题部分深入考查基础
，
集中体现在考查考生对基础知识
、
基本方法的深刻理解和融
会贯通的应用
。
如第
5
题
，
全面考查等差数列的概念与性质
，
以主干知识考查理性思维素养和运算求解能
力
。
如第
13
题
，
全面考查等比数列的概念与性质
，
以主干知识考查理性思维素养和运算求解能力
。
二是彰显综合性要求
。
如第
14
题
，是函数
、
三角函数的综合题
，
深入考查函数的奇偶性、
三角函数的
奇偶性
，
可通过函数
、三角函数奇偶性的定义求解
。
三是体现创新性要求
。
如第
12
题
，
将三角函数的图像和直线方程相结合
，
考查两者交点的个数
，
展示
函数图象在解决问题过程中的.重要作用
。
2023
年高考数学全国卷全面贯彻党的二十大报告精神
，落实高考内容改革的要求
，严格依据高中课程
标准
，
深化基础性和综合性
，
聚焦学科核心素养
，
精选试题情境
，
加强关键能力考查
，
促进学生提升科学
素养
，
引导全面发展
，
助推高中育人方式改革
。
整
考情分析
题号
1
分值
I
题型
单选题
单选题
单选题
考查内容
考查点
5
5
5
集合
有限集合中
，
求补集
，
求并集
复数的四则运算
平面向量坐标运算
，
向量的加
、
减法
、
数量积的
2
复数
平而向量
3
坐标运算
，
求向量的夹角
4
5
5
5
5
5
5
单选题
单选题
单选题
概率
等差数列
古典概率的概率公式
，
组合问题
等差数列的通项公式
，
前
n
项和公式
5
6
算法与程序框图
圆锥曲线
程序框图模拟运行
7
8
9
单选题
单选题
单选题
椭圆的焦点三角形面积公式
导数的切线问题
双曲线的离心率与渐近线的关系
，
圆心到直线的
距离及圆半径
，
求弦长
导函数
圆锥曲线
10
5
单选题
单选题
立体几何
证明工平面
PEC
找高
，
分割体积法求体积
指数函数的单调性及二次函数的性质
，
利用作差
11
5
函数
法比较自变量的大小
12
5
单选题三角函数与函数
三角函数平移的性质
，
画图
，
判断三角函数与一
次函数交点数量
13
14
15
16
17
5
5
5
5
12
填空题
填空题
填空题
填空题
解答题
等比数列
等比数列的前
n
项和公式
，
通项公式
函数与三角函数
线性规划
立体几何
三角函数
函数的奇偶性判断
，
三角函数的奇偶性
线性规划
“
截距
”
型最值问题
正方体的外接球、
球的内接正方形
(1)
余弦定理
；
(2)
面积公式以及恒等变换.
18
12
解答题
立体凡何
(1
)
线面
、
面面垂直问题
(2)
体积问题
19
12
解答题
概率与统计
(
1
)
直接根据均值定义求解
；
(
2)
(i)
列联表
：
(ii)
独立性检验的卡方计算进行检验
20
12
解答题
函数与导数
(1)
判断单调性
：
(2)
隐零点问题
21
12
解答题
圆锥曲线
(
1)
求抛物线方程
(2)
直线与抛物线相交
，
最值问题.
22
10
选做题
极坐标与参数方程
(
1
)
直线参数方程的几何意义；
(
2)
直角坐标方程与极坐标方程的转化.
23
10
选做题
不等式
(
1
)
解含参的绝对值不等式
，
分类讨论
(2)
将绝对值函数写成分段函数
，
画草图
，
根据
面积列式
，
求参.
备考指津
1
、
强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握
，
引导学生提高在校学习效率
，
避免机械
、
无效
的学习
0
2
、
学生应认识到低效的学习方式只会带来无效的压力和负担
，
讲究备考复习时效性
，
不断巩固阶段性
复习成果。
3
、
合理控制试题难度
，
科学引导中学教学
，
力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接
。
4
、
不管命题方向趋势如何
，
重视对基础概念的理解和掌握永远是最重要的
。
不论题型
、
题量
、
难度如
何
，
透彻
、
全面地理解基础概念
，
能够用最基础
、朴素的方式使用基础概念分析解决问题是一切的基础
，
是能做对所有送分的基础题的基础
，
是能着手分析难题的基础
，
也是未来学习大学的专业知识和高等知识
的基础
。
5
、
不管命题方向趋势如何
，
逻辑分析推理能力也是非常重要的
。
现在的难题几乎根本不会出现非常套
路化
、
模板化的陈年旧题
，总是在想方设法地推陈出新
。就算有
I
日题型
，
往往也都是简单的题目
，
不需要
什么特殊的方法也能做出来
。
整
真题解读
2023
年高考全国甲卷数学(文)真题
一
、
单选题
1.
设全集
U
=
{1,2,
3,
4,5},
集合
M={1,4},N
=
{2,5},
则
/Vu
(
QM
)
=
()
A.
{2,3,5}
【命题意图
】
B.
{1,3,4}
C.
{1,2,4,5}
D.
{2,3,4,5}
本题考察有限集合中
，
求补集
，
求并集
，
难度
：
容易
【
答案】
A
【
详解
】
因为全集
U
=
{1,2,3,4,5},
集合
A/={1,4},
所以
C
V
M=
(2,3,5)
,
又
N
=
{Z5},
所以
N
u
(qA/)=
{2,3,5}
【知识链接
】
1
、
集合的表示方法
：
列举法、
描述法
、
Venn
图等
；
2
、
集合的类型
：
有限集
、
无限集
；
3
、
根据元素的特征判断集合所表示的含义
；
4
、 应用数形结合进行交
、
并
、
补等运算
，
常用的数形结合形式有数轴
、
坐标系及
Venn
图.
A.
-1
【
命题意图
】
B.
1
C.
1-i
D.
1
+
i
本题考察复数的四则运算
，
难度
：
容易
【
答案
】
C
【
详解】
5
(
1
+
C
5(1)
(2
+
i)(2-i)
【
知识链接
】
5
复数的四则运算
设
zi
=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d^
R),
我们规定:
zi
+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
Z2-z=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(cl-b)i.
z-Z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
a+bi
(a+bi)(c-d)
-
ac+M
fec-ad
Z1
Z2
c+di
(c+di)(c-di)
c2+d2+c2+d23W°
)・
3.
己知向量
。
=
(
3,1)
》
=
(2,2),
则
cos(a
+
b,a-bj
=()
A.
B.
匝
17
17
C.
业
5
D.
座
5
【命题意图
】
本题考察平面向量坐标运算
，
向量的加
、
减法
、
数量积的坐标运算，
求向量的夹角
，
难度
：
较易
【
答案
】
B
【
详解
】
因为
〃
=(3,1),
。
=
(2,2),
所以。
+万
=
(
5,3
)
q-b
=
(l,T
)
,
贝
•]
|«
+
Z>|
=
>/5
2
+3
2
=
5/34,^
-/>|
=
Vl
+
l
=
»
(o
+
b)
・
(o-b)
=
5xl+3x(-l)
=
2,
所以
00
’
〈
\"器叫=鸭虾=寿市=碧.
【
知识链接
】
/
阮卵-可
-434x42
17
1
、 平面向量的坐标运算
设。
=(而,凹)，
片=(沔,力)
，
则
々
+
»
=
(*]+
心,凹+力)
，
。
一云=(工
1
一沔席一巧)
人•方=(族,人乂)
，
|4=
山
「
+)<
.
2
、
平面向量的数量积
(1)
定义:已知两个非零向量
u
与片
，它们的夹角为
。
，
则数
>p|-|b|-cos6>
叫作
U
与片的
数量积
(或内积),
记作
、
.讯
即
履=
8
用
・
cos
。
.
规
川
定零向量与任一向量的数量积为
0
.即
6
搭
=0
(2)
向量的夹角
O
b
i
定义:已知两个非零向
①
量
：和
5
，
如右图
，
作
6X=U
，
赤
=U
，
W\'lZAOB=^(0
o
<^<180°)
叫作
U
与片
的夹角
，
记作
cos0
=
cosv&?
>=
ab
当
②
0=0
。
时，
方与片
同向
；
当
0=180
。
时
，
飞与片
反向
；
当
0=90
。
时
，
；
与片
垂直
3
、
平
面向量数景积的性质及其坐标表示
设向量
〃
=3,
凹)
，片=(工
2
。
‘
2
)
，
。
为
向量
〃与
5
的夹角
，
则
()a-b=
a
-
b
•cos^
=
x
1
x
2
+
；
八
r
a-b
⑵
cos
〃
=
cos<
a,b
>=
—
I
=—
(=
l+H
+
^i
2
Wv
+
ya
2
4.
某校文艺部有
4
名学生
，
其中高一
、
高二年级各
2
名.从这
4
名学生中随机选
2
名组织校文艺汇演
，
则
这
2
名学生来自不同年级的概率为
(
)
A
1
6
【
命题意图
】
b
上
3
本题考察古典概率的概率公式
，
组合问题
，
难度
：
容易
【
答案
】
D
【
详解
】
依题意，从这
4
名学生中随机选
2
名组织校文艺汇演
，
总的基本事件有
C
：
=6
件
，
其中这
2
名学
生来自不同年级的基本事件有
C
；
C
；
=4,
所以这
2
名学生来自不同年级的概率
为£=
【
知识链接
】
4
2
6
3
1
、
古典概型
具有以下特征的试验叫作古典概型试验
，
其
数学模型称为古典概率模型
，
简称古典概型.
(1)
有限性:样本空间的样本点只有有限个
；
(2)
等可能性:每个样本点发生的可能性
相等.
2
、
古典概型的概率公式
一般地
，
设试验
E
是古典概型
，
样本空间
Q
包含
n
个
样本点
，
事件
A
包含其中的
R
个样本点
，
则定义事件
A
的概率
P(A)=-=^-.
n
n(/2)
其中,〃
(A)
和〃
(
。
)
分别表示事件
A
和样本空间
Q
包含的样本点个数.
3
、
概率的性质
性质
1
：
对任意的事件
A,
都有
0 性质 2: 必然事件的概率为 1, 不可能事件的概率为 0, 即 P(Q)=1,P(0)=O. 性质 3: 如果事件 A 与事件 B 互斥 ， 那么 P(AUB)= P(A)+P(B). 性质 4: 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件 ， 那么 P(B)=1・P(A),P(A)= 1-P(8) . 性质 5: 如果那 么 P(A) 由该性质可得 ， 对于任意事件 A, 因为 0QAQQ 所以 0 性质 6: 设 A, 8 是一个随机试验中的两个事件 ， 有 P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AnB). 4 、 排列与组合 名称 定义 排列攵并按照 一定的\"质序 排 成一列 ， 叫作从〃个元素中取出 ， 〃个元素的 - 个排 素 列 作为 一组, 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一 个组合 口 ① 从 〃个不 同元素中取出个元素的所 有不同排列的 个数, 叫作从 〃个不同元素中取出 川 个元素 的排列 数,用符号 A? 1 表示. ② 从 〃个不 同元素 中取出 ，， 侦 9) 个 元素的所有不同组合 的个数 ， 叫 作从〃个不同元素中取出 m 个元素 的组合 数,用符号 ( T 表示. 5 .记 S ” 为等差数列 ｛ % ｝ 的前〃项和.若纶+% = 10, “ 血= 45, 则 S,= () A. 25 【 命题意图 】 B. 22 C. 20 D. 15 本题 考察等差数列 的通项 公式 ， 前 n 项和 公式 ， 难度 ： 较易 【 答案 】 C 【 详解 】方法一 ： 设等差数列｛ % ｝的公差 为 d, 首项 为％, 依题意可得 ， % +% =4 +4 + 6 +5d = 10 , 即 q +34 = 5, 又 =( 《 +3Q)(q +74) = 45, 解得: 4 = 1, %=2, 所以 +亍 xd = 5x2 + 10 = 20. 【 知识链接 】 5x4 等差数列的基 本问题 1 . 定义:如果一个数 列从第 2 项起,每一项 与它的前一项 的差等于同一个常数 ， 那么这个数 列就叫 作等差数列 ， 这 个常数叫作等差数列的公差 ， 公 差通常用字母 d 表示,定义的表达式 为 5S=d. 2 . 通项公式:如果等差数列 ｛ ⑶ ｝ 的首项为⑶,公差为 d, 那 么通项公式为 a t ,=a^n-)d=a m +(n-m)d. 推 导方法(累加法 ) 0 ” = (a n -a„.i)+(a n .i -a ” . 2) +...+(a2-a)+a. 3 . 等 差中项 :如果 aA,b 成等差数列 ， 那么 A 叫作 0 与人的等 差中项 ， 且 A=%. 4 . 前 n 项和公式为 】 ) d=(ai ； n)n 推导方法: 倒序相 加法. 5 . 用函数观点认识等差数列 :(1) 〃 ” =血 +(们\"(类似于一次函数 );(2)5„=4 2 +(^4)«( 类似于常数项为零 的二次 函 数). 6. 执行下边的程序框图 ， 则输出的 8= () / 输入 / l 3K-1£-2«A-1 / — /Mi%/ ~L CTO A. 21 【 命题意图 】 本 题考察程序框图模拟运行， 难度 ： 较易 B. 34 C. 55 D. 89 【 答案 】 B 【 详解 】 当 R = 1 时 ， 判断框条件满足 ， 第一次执行循环体 ， A = l+2 = 3, B = 3+2=5, Jt = l+1 = 2 ： 当 k = 2 时 ， 判断框条件满足 ， 第二次执行循环体， A = 3+5 = 8, 5 = 8+5 = 13, A = 2+l = 3 ： 当 A = 3 时 ， 判断框条件满足 ， 第三次执行循环体 ， 4 = 8 + 13 = 21, 8 = 21 + 13 = 34, & = 3+1=4 ； 当 k = 4 时 ， 判断框条件不满足 ， 跳出循环体 ， 输出 8 = 34. 【 知识链接 】 1 、 程序框图基本概念 ： 程序 构图的概念 ： 程序框图又称流程图 ， 是 一种用 规定的图形 、 指向线及文字说明来准确 、 直观地表示算 法的图形 。 2 、 构成 程序框的图形符号及其作用 程序框 、 名称 起止框 可少的 。 功能 表示一个算法的起始和结束 ， 是任何流程图不 / / — 表示一个算法输入和输出的信息 ， 可用在算法 输入 、 输出框 中任何需要输入 、 输出的位置 。 赋值 、 计算 ， 算法中处理数据需要的算式 、 公 处理框 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框 内 。 <> 判断某一条件是否成立 ， 成立时在出口处标明 判断框 “ 是\"或 \"Y ” ； 不成立时标明 “ 否 ” 或 “ N ” 。 3 、 算法的三种基本逻辑结构 ： 顺序结构 、 条 件结构 、 循环结构 2 7. 设鸟匕为椭圆 C ： y ly 2 -l 的两个焦点 ， 点 P 在 C 上,若丽丽 .0, 则|捋 ＜ ） A. 1 【 命题意图 】 B. 2 C. 4 D. 5 本题 考察椭圆的焦点三角形面积公式 ， 求出 △ 「 /= ； 入的面积 ， 雄度 ：一般 【 答案 】 B 【 详解 】方法一 ： 因 为 PRPF2=0, 所以 夺甲 \"90 , 从而 w =^tan45 = 1 =ix|P^|-|P^| , 所以 \" 用.|您| = 2. 方法二 ： 因 为 PRPK= （ ） , 所以 ZF^=90 , 由椭圆方程可知 ， /=5-l=4nc = 2 ， 所以| 斯 「 +\"川 2= 帽叫 2=42=16, 又伊川+|耶| = 2 。 = 2 的 ， 平方得 ： 网 |2+| 尸时+ 2 冏||芯| = 16+2 网||冗| = 20, 所以网 |・| P 用 =2. 【知识链接 】 1 、 椭圆的标准方程和几何性质 标准 方程 沼 5 禹代平沧 * 沁 EM 图形 范围 -a 对称性 -归寸;-妇& 对称轴:坐标分 对称中心:原点 顶 点 坐 标 性 轴 Ai （ -a,0 ） ^2 （ «,0 ） , 8| （ 0, 劣 ） 血 （ 0, 。 ） 长轴 A1A2 的长 为 2 ” ； Ai （ 0,-a ） ^2 （ 0,a ） , 角 （ 00 ） ,\"0 ） 短轴夙 位 的长为 2 。 质 焦距 离心率 |F i F 2 |=2 c C e=-e （ o,i ） a a 2 =b 2 ^ a,b,c 的关系 2 、 与椭圆的焦点三角形相关的结论 （ 含焦半径 公式 ） 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用 椭圆的定义 、 正弦定 理和余弦定理. 2 2 在以椭圆 土 + 匕 =1 （ 。 对 ＞0 ） 上一点 P （ xo ， w ） 3o# ） ） 和焦点 F i （ - c ,0 ） ,F2 （ c ,0 ） 为顶点的 △ PAP2 中 ， 若 ZF i PF2= 则 a 2 b 2 。 , (DIPF1I =a+ex^PF 2 =小纨)((焦半径公式, e 为椭圆的离心率 ),|PEI + 『 凡| =2* 4r 2 =|PF I | 2 +|PF 2 | 2 -2|PF 1 |.|PF 2 | cos 0 (2) ⑶会 ” 仍 WlP\'IIPP2| ・ sin 缶 c[yo| 寸 tan?, 当 | 典 | 邓 ， 即 P 为短轴端点时 喝也 取得最大值 ， 最大值为阮 ； (4) 焦点三角形的周长为 2(o+c). 3 、 中线的向量 公式 ： 若 P 为线段 AB 的中点 ,O 为 平面内任一点 ， 则部=%瓦?+丽). 2 8. 曲线 y = — 在点 fl, ： ) 处的切线方程为 () x+1 k 2) e A. y = — x 4 【 命题意图 】 本题考察导数的切线问题 ， 难度 ： 一般 B. y = — x 2 - ee _ e 3e C. y = — x + — D. y = — x + — 4 4 2 4 【 答案 】 C 【 详解 】 设曲线 y = — 在点 [1, ， 处的切线方程为广;=找厂 1), x+l k 2 a ， e\"(x + l)-e* xe x , e e e 因为) ， =土 ， 所以 y =- =厂卞 ， 所以 k= y ^ = i 所以\'一 ： =^ \'一 1 ) x+l (x+l) (x + l) 4 2 4 所以曲线 ),= m 在点处的切线方程为 ) ， =%+% x+l k 2) 【 知识链接 】 4 4 求解过曲线外某点处的切线问题的步骤 第一步: 设出切点坐标 P\'(xg)). 第二步:写出 过点 P3 人 n)) 的切线方程)项为)乎(羽) 。叫). 第三步:将点 P 的坐标 (m.w) 代入切线方程求出 m 第 四步将• ” 的值代入方程 M x DWUM xf ), 可得过点 PCmM 的切线方程. 9. 己知双曲线 4-4 = 1 ( «>0,/»0) 的离心率为⑥ 其中一条渐近线与圆 ( X- 2)2 +()-3)2 = 1 交于 A, B 两 a h 点 ， 则 |AB|= () A. 避 5 【 命题意图 】 B. 还 5 C. 瓯 5 D. 匝 5 本 题考察双曲线的离心率与渐近线的关系， 圆心到直线的距离及圆半径 ， 求 弦长 ， 难度 ：一般 【 答案 】 D 【 分析 】 根据离心 率得出 双曲线渐近线方程 ，再由圆心 到直线的距离及圆半径可求弦长. 【 详解 】 也 e = t ， 则 £・心£・ 1£ ・ 5, 解得 2 = 2, 所以双曲线的一条渐近线不妨取 y-2x, 则圆 a a\' a a 心 (2,3) 到渐近线的距离 d = |2 f 2 \' 31 = 单 , VF+i 5 所以弦长 |A8|=2j/_d2 誓. 【 知识链接 】 1 、圆的定义和圆的方程 定义 标准方程 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 (r>0) jr+y^+Dx+Ey+F^ 即 ( X + 2) 2 +(y + 罚蒙岑当少+玲\"> 0) 圆心 :(&>), 半径: r 圆心 ： (- ?,- 9 ， 般 程 半 ^: ； VD 2 + E 2 -4F 2 、 直线被圆截得的弦长 弦心距 d 弦长 I 的一半 y 及圆的半径〃构成一直角三角形.且有 产=/+ G) 2. 3 、 双 曲线的标准方程和几何性质 x 2 y 2 标准方程 _________ 函=了>财> 。 ) 一 y 2 x 2 图形 A x^R,y<-a 或呢 a 范围 x>a 或必时仁 R 对称性 顶点 渐近线 对称轴 ： 坐标轴 ， 对称中心 ： 原点 A 1 ( 2,0)42( 。 , 0) 人 1(0,2 ) 人 2 ( 0, 。 ) 性 质 离心率 >\' = V e = f = Jl + (2) (l,+oo) ， 其中 c= y/a 2 + b 2 线段 A 血叫作双曲线的实轴 ， 它的 长 也血|= 2a ; 线段 81 位 叫作双曲线的虚轴,它的长 |8 仍| = 2b .a 叫作双曲线的实半轴长力叫作双曲线的虚半轴长 (r= cr+b 1 (c>a>0,c>h>0) 轴 a,b,c 的关系 10 .在三棱锥 P-ABC 中 ， 拱 BC 是边长为 2 的等边三角形， PA = PB = 2,PC = 8, 则该棱锥的体积为 ( A. I 【 命题意图】 B. 退 C. 2 D. 3 本题考察证明平面 PEC 找高 ， 分割体积法求体积 ， 难度 ： 一般 【 答案】 A 【 详解】 取 AB 中点 E, 连接 PE,CE, 如图 ， . ^ABC 是边长为 2 的等边三角形 ， PA = PB = 2, :.,CElAB t 又 PE,CEu 平面 PEC , PE r CE=E, ..AB J. 平面 PEC, 又 PE = CE = 2>¥ = 虫 ， PC = $ ， 故 PC 2 = PE 2 +CE 2 ， 即 PE ME, 所以 ^ = *或 + *_眠=§牵 。 \" 8 = 007^ 占>< 2 = 1 /T 【 知识链接 】 一 、 直线与平面垂直 1 . 定义:如果直线/与平面 « 内 的任意 f 直线都垂直 ， 那么直线/与平面 « 垂直. 2 . 判定定理与性质定理 文字语言 一条直线与一个平面内 的两条相交直 线 都垂直 ， 则该直线与此平面垂直 图形语言 1 符号语言 /■勺 虹* a,b u a, 、 aAb = 0, ■=>/±a Ila, lib J 垂直 于同一 个平面的两条直线平 厂 行 二 、 柱体 、 锥体 、 台体 、 球的表面积和体积 2 a -L a,]_ blah >a//b 几何体 柱体（ 棱柱和圆柱） 锥体（ 棱锥和圆锥 ） S 表面积 S 倾 i*i=S v+2S & 体积 V=S&h 剧 + S « v=y 底方 台体 （ 棱台和圆台） S 花觎 =S 恻 +S 上 +S 下 S= 4 部 、 b = v= 按 i+s e + Js 上 s 下用 V= 洒 3 ， 则 （ ） 球 11. 已知函数 /(x) = e- (x - lf A. b>c>a B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b 【 命题意图 】 本题考察指数函数的单调性及二次函数的性质 ， 利用作差法比较自变量的大小 ， 难度 ： 较难 【 答案】 A 【 详解 】令 g(x) = -(x-) 2 , 则 g(x) 开口向下 ， 对称轴为 x = l, W(V6 + >/3) 2 -4 2 =9 + 6^2 -16 = 6^-7>0, 籍％ 。 ， 即乎_ 5 遐 由二 次函数 性质知 g (乎) 季) ， 因为 季- 1-\'1 -季) = 亟抨-? ， 而 (8+ 而 2 一 42=8 + 475-16 = 4 右- 8 = 4(>/5-2)<0, 故 a ， 即人 >C>1. 【知识链接 】 1 、 比较大小的常用方法 (1) 作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论. (2) 作商法:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小关系;④得出结论. (3) 构造函数 ， 利 用函数的单调性比较大小. 2 、 指数函数的图象与性质 函数 且砰 1) 0<«<1 图象 图象 在 x 轴 上方 ， 过定点 ( 0,1) 当 x 逐渐增大时,图象逐渐上升 当 x 逐渐增 大时, 图象逐渐下降 特征 定义域 R 值域 质 单调性 (0,+oo) 单调递增 | 单调递减 函数值变 化规律 当 x<0 时 ,0vyvl 匚 当 x>0 时 ,>>1 x=0 时 ， >\'=1 I | x<0 时 , j >1 : 当 x>0 时 ,0v ) ， v 1 12. 函数 y = f(x) 的图象由 y = cos ( 2x+£) 的图象向左平移亲个单位长度得到 ， 则y = f(x) 的图象与直线 J = A. I 的交点个数为 （ ） B. 2 C. 3 D. 4 【 命题意图】 本题考察三角函数平移的性质求得 / （ x ） = -sin2x, 再作出 / （ x ） 与 y = y~ 的部分大致图像 ， 考虑特殊点 处 f （ x ） 与 > = 的大小关系 ， 从而精确图像 ， 难度 ： 困难 【 答案】 C 【 详解 】 因为 y = cos[2x + 勺 向左 平移％ 单位所得函数 为 y = cos 2^ +旦+ £ =河区+ 2 = -血 2 》 , 所以 / （ x ） = -sin2x, 而显然过 f°\"lj 与 （ 1 ， 。 ） 两点 ， 作出 / （ 》 ） 与 ） \'= ｝ 一! 的部分大致图像如下 ， 考虑 2x = — 专 ,2x = 芝 ,2\" 马 ， 即 2 2 2 3 tc 3 tc 7 tt , - ■. 1 1 / r, i * a ： =- — ,x= — , a ： = — 处 r （ x ） 与 的大小 当 时 H （ 专 ） =-血 （ -哥 ） 当 ,= 学时,专 ） =_血哥 =1, 1 3?r-4 — = -------- < 2 8 1 In 1 77C-4 . V = — X -------- = -------- > 1 ; 2 4 2 8 当 ， = 号时 ， 4¥ ） = Tin? = L 所以由图可知 ， 以对 与 y = 的交点个数为 3. 【 知识链接 】 函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin （ iDx+ （ p ）（ A>0, （ D>0 ） 的图象的步骤如下: 二 、 填空题 13 . 记 S “为等比数列 ｛ % ｝ 的前〃项和.若 8S 6 = 7S 3 , 则 ｛ % ｝ 的公比为 . 【 命题意图 】 本 题考察等比数 列的前 n 项和的计算 ， 先分析 , 再由等比数 列的前 〃项和公式和平方差公式化简即可 求 出公比 0, 难度 ： 较易 【 答案】 【 详解 】若 4 = 1 ， 则由 85 6 = 7S 3 得 8 ・ 6%=7 ・ 3 句 ， 则 《 = 0, 不合 题意. 所以 q ” . 当时 ， 因为 8S 6=7S 3 , 所以 8. W) =7. \"JT), ]_g -q 即 8-(1-/) = 7-(1-^), 即 8.(l+g3)(i_q3) = 7.(]_q3), 即 8.(l+g3) = 7, 解得 一! 【知识链接 】 1 、 等比数列的有关概念 一个数 列从第 2 项起 ， 每一 项与它 的前一项的比等于同一常数 (不 为零) ， 那么这个数 列就叫 作等比数列.这个常 数 叫作等 比数列的公比 ， 通常用字母 q(q^O) 表示 ， 定义的表达式为 ^=q(q^O). a n 2 、 等比数列的有关公式 (1) .通项公式 an -a(t\' A . •, (间,* 1, (2) .前 n 项 和公式 : Sn= ｛ ai ( ]_qh ) = a 「 anq ( l-q 1-q 14. 若 /(x) = (x-D2+ox + sin[x+ ； ) 为偶函数 ， 则 。 = . 【 命题意图 】 本 题考察函数的 奇偶性 判断 ，三角函 数的奇偶性 ， 难度 ： 容易 【 答案】 2 【 详解 】 y =子+( 。 一 2 ) x + l + cos 尤为 偶函数 ， 定义域 为 R , 根据 偶+偶 = 偶 ， 因为余弦函数 J = cosx 为偶 ， 所以二次函数 y = x 2 + （ a-2 ） x + l^ 偶 所以 〃一 2 = 0* = 2 【 知识链接 】 1 、 函数的 奇偶性 奇偶性 定义 图 象特点 仰函豹如果对于函数人力的定义域内任 意一个 x, 都有 犬 -x） g ） ， 那么函数 / （ x ） 就叫作 偶函数 咨函柄 如果对于函数 /U ） 的定义域内任 意一个 x, 都有 犬小 ） =冷 ） ， 那么函数 /U ） 就叫作奇函数 关于 y 轴 对称 关 于原点 对称 2 、 函数奇偶性的几个重要结论 （ 1 呢 ） 为奇函数 M/U ） 的图象关于原点对称亦 ） 为偶函数 M/U ） 的图象关于 ） • 轴对称. ⑵如 果函数/⑴是偶函数 ， 那么 必 ） 须闭 ） . （ 3 ） 既是奇函 数又是偶函数的函数只有一种类型 ， 即 7U ） =CU W / ） , 其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集. （ 4 ） 奇函数在两 个对称的单调区间上具有相同的单调性偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调性 （ 5 ） 偶函 数在关于原点对称的区间上有相同的最大 （ 小 ） 值 ， 取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于 原点对 称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自 变量也 互为相反数. （ 6 ） 设 处 ） ， 8 。 ） 的定义域分别是那么在它们的公共定义域上:奇 + 奇=奇 ， 奇 、 奇=偶 ， 偶+偶=偶,偶 、 偶=偶 ， 奇 x 偶=奇 ⑺复合函数的奇偶性可概括为 “ 同奇则 奇 T 禺 则偶 ” . 提醒:① （ 6 ） 中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. ②判断分段函数的奇 偶性应分别对每段函数证明 Rx ） 与瓜 ） 的关系 ， 只有当各段上的 -V 都满足相同关系时 ， 才 能判断其奇偶性. 3x-2y<3, 15. 若 x, y 满足约束条 # -2x + 3y<3, 贝 ijz = 3x + 2j 的最大值为 x+y>, 【 命题意图 】 本题考察线性规划 “ 截距 \" 型问题 ， 由约束条件作出可行域 ， 求目标函数最值 ， 难度 ： 容易 【 答案 】 15 【 详解】 作出可行域 ， 如图 ， 由图可知 ， 当目标函数 ） \'=一奈+亍 过点 A 时 ， z 有最大值, -2x+3y = 3 , （ x = 3 - 一 由\" c • 、 可得 < 〃 ， 即 A （ 3,3 ） , 3x-2y = 3 ［ ） \' = 3 所以 =3x3 + 2x3 = 15. 【 知识链接 】 1 、 线性规划问题 ⑴二元一次不等式 所表示的平面 区域的 判断 ： 法一 ： 取点定域法 ： 由于直线 Ax+8y + C = 0 的 同一侧 的所有 点的坐 标代入 Ar+By + C 后所得的实数的符号相同.所以 ， 在实 际判 断时 ， 往往只需 在直线 某一侧任取一 特殊点 （ 入 。 ,月 ） （ 如原点 ） ， 由 Ax 0 + By 0 + C 的正 负即可判断出 Ax + By + C>0 （ 或 vO ） 表示直线 哪一侧的平面 区域. 即 ： 直线定边界 ， 分清虚实 ； 选点定区域 ， 常选 原点. 法二 ： 根据 Ar+By + C>0 （ 或 <0 ） , 观察 B 的符号与不等式开口的符号 ， 若同号 ， Ax+By + C>0 （ 或 <0 ） 表示直线 上方的 区域 ； 若异号 ， 则 表示直线上方的区域 .即 ： 同号上方 ， 异号下方. ⑵二元 一次不等式组所表示 的平面 区域 ： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共 部分. ⑶ 利用 线性规划求目标函数 z = Ax+By （ AB 为常数 ） 的 最值 ： 法一 ： 角点法 ： 如果目标函数 z = Ax+By （ 工 、 V 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标 ） 的最值存在 ， 则这 些最值都在该 公共区域的边界角点处取得 ，将这些角点的坐标代入目标函数 ， 得到一组对应 z 值 ， 最大的那个数为目标 函数 z 的最大值 ， 最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二 ： 画 — — 移 — — 定 — — 求 ： 第 一步 ， 在平面直角坐标系中 画出可 行域； 第二步 ， 作直线 / o :Ax+By = O , 平移直线 ％ （ 据可行域， 将 直线 ， 平行 移动 ） 确定最优解 ： 第 三步 ， 求出 最优解 （ x,y ） ； 第四步 ， 将 最优解 （ 名力 代入目标函数 z = Ax+By 即可求出最大值或最小值 . 第 二步中最优解 的确定方法 ： A z 7 利用 Z 的几何意义 ： y = --x+-.-^ 直 线的纵截距. B B B ① 若 8> （ ） , 则使目标函数 z = Ax+By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最大值 ， 使直线的纵截距 最小的角点处 ， z 取得最小值 ； ② 若 8v （ ） , 则使目标函数 z = Ax+By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最小值 ， 使直线的纵截距 最小的角点处 ， z 取得最大值. ⑷常见 的目标函数的类型 ： ① ， ， 截距 ， ， 型 ： z = Ar+8y; ② “ 斜率 ， ， 型 ： z = 乏或 z = %±; x x-a ③ “ 距离 ” 型 ： z = x2 + y 2 或 z = J*y2 ； Z = ( X 一 [)2 + (y 一 8)2 或 z = y](x-a) 2 + (y-b) 2 . 在求该 “ 三型 \" 的目标函数的最值时 ， 可结合线性规划与代数式的几何意义求解 ， 从而使问题简单化. 16. 在正方体 ABCD-A.B^D. 中， 恤 = 4,0 为 AC ； 的中点 ， 若该正方体的棱与球 0 的球面有公共点 ， 则球 0 的半径的取值范围是 . 【 命题意图 】 本题考察当球是正方体的外接球时半径最大 ， 当边长为 4 的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小, 难度 ： 困难 【 答案 】 讳邳 1 【 详解 】 设球的半径为 R. 当球是正方体的外接球时 ，恰好经过正方体的每个顶点 ， 所求的球的半径最大 ， 若半径变得更大 ， 球会包 含正方体 ， 导致球面和棱没有交点 ， 正方体的外接球直径 2 叱为体 对角线长 AG =5/42+42+42 =4 为, 即 2 月 =4>/1 穴\'= 2 由 ， 故 分别取侧棱 人 4, 昭, 的中 点 M,H,G,N, 显然四边形是边 R 为 4 的正方形 ， 且 。为正方形 MNGH 的对角线交点 、 , 连接 MG, 则 MG = 4& 当球的一个大圆恰好是四边形 MVGH 的外接圆 ， 球的半径达到最小 ， 即 氏的最 小值为 2JI. 综上 ， Re[2-j2,2y/3]. 【 知识链接 】 正方体的内切球 、外接球 、棱 切球 ： 正方体的内切球
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