2008年河南高考数学试题

2023年12月17日发(作者：2020南京三检数学试卷)

升学网 2008年普通高等学校招生全国统一数学(理科)考试及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅰ）

第Ⅰ卷

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

；号考

；场考

：名姓

：别班

：级年

P(AB)P(A)P(B)

S4πR2

如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(AB)P(A)P(B) 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

V43πR3

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

Pn(k)CkknknP(1P)(k01，,2，，n)

一、选择题

1．函数yx(x1)x的定义域为（ ）

A．x|x≥0 B．x|x≥1

C．x|x≥10 D．x|0≤x≤1

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ）

s s s s

O

t

O

t

O

t

O

t

A． B． C． D．

3．在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD（ ）

A．213b3c B．5c233b C．23b13c D．1b233c

4．设aR，且(ai)2i为正实数，则a（ ）

A．2 B．1 C．0 D．1

5．已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10（ ）

A．138 B．135 C．95 D．23

6．若函数yf(x1)的图像与函数ylnx1的图像关于直线yx对称，则f(x)

1 升学网 2008年普通高等学校招生全国统一数学(理科)考试及答案

（ ）

A．e2x1 B．e

2xC．e2x1 D．e2x2

7．设曲线yA．2

x12)处的切线与直线axy10垂直，则a（ ） 在点(3，x111B． C． D．2

228．为得到函数ycos2xπ的图像，只需将函数ysin2x的图像（ ）

3

B．向右平移5π个长度单位

125πC．向左平移个长度单位

6A．向左平移5π个长度单位

12D．向右平移5π个长度单位

6f(x)f(x)0的解x)上为增函数，且f(1)0，则不等式9．设奇函数f(x)在(0，集为（ ）

，0)(1，) A．(11)(1，) C．(，10．若直线

1)(0，1) B．(，，0)(01)， D．(1xy1通过点M(cos，sin)，则（ ）

ab112222A．ab≤1 B．ab≥1 C．22≤1

abD．11≥1

22abABC内的射影为11．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．1

3B．2

3 C．3

3D．2

312．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）

A．96 B．84 C．60 D．48

A D

C

B

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

xy≥0，13．13．若x，y满足约束条件xy3≥0，则z2xy的最大值为 ．

0≤x≤3，

2 升学网 2008年普通高等学校招生全国统一数学(理科)考试及答案

14．已知抛物线yax21的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

15．在△ABC中，ABBC，cosB7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该18椭圆的离心率e ．

16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ．

3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA（Ⅰ）求tanAcotB的值；

（Ⅱ）求tan(AB)的最大值．

18．（本小题满分12分）

3c．

5BC2，四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，CD2，ABAC．

（Ⅰ）证明：ADCE；

A

B

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小．C

E

D

19．（本小题满分12分）

已知函数f(x)xaxx1，aR．

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

32（Ⅱ）设函数f(x)在区间，内是减函数，求a的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3

3

2313升学网 2008年普通高等学校招生全国统一数学(理科)考试及答案

只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

21．（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1AB、OB成等差数列，且BF与FA同向． 的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

22．（本小题满分12分）

设函数f(x)xxlnx．数列an满足0a11，an1f(an)．

1)是增函数； （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，（Ⅱ）证明：anan11；

（Ⅲ）设b(a1，1)，整数k≥a1b．证明：ak1b．

a1lnb2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）

答案与解析：

1.C. 由x(x1)≥0,x≥0得x≥1,或x0；

2.A.根据汽车加速行驶s知.

121at，匀速行驶svt，减速行驶sat2结合函数图象可22123. AB2(ACAD),3ADAB2ACc+2b,ADc+b

334. D(ai)i(a2ai1)i2a(a1)i0,a1

5.C．由a2a44,a3a510得a14,d3,S1010a145d4013595

6. B.ylnx1xe2(y1),f(x1)e2(x1),f(x)e2x

7. D.y222x1221,y,y2x1x1(x1)1,a2,a2

x32

4 升学网 2008年普通高等学校招生全国统一数学(理科)考试及答案

8.A．

ycos2xπ55sin(2x)sin2(x)，只需将函数ysin2x的图像向3612左平移5ππ个单位得到函数ycos2x的图像.

123f(x)f(x)2f(x)0，()0，1)1()f0，而f1则f(xx9.D．由奇函数f(x)可知)上为当x0时，f(x)0f(1)；当x0时，f(x)0f(1)，又f(x)在(0，增函数，则奇函数f(x)在(,0)上为增函数，0x1,或1x0.

10.D．由题意知直线xy1与圆x2y21有交点，则ab11ab111a2b2≤1,112≥1.

2ab另解：设向量m=(cos,sin),n=(,)，由题意知cossin1

ab由mn≤mn可得1cossin11≤2

2abab11.C．由题意知三棱锥A1ABC为正四面体，设棱长为a，则AB13a，棱柱的高2326222，故AB1与AOaAOa(a)a（即点B1到底面ABC的距离）1323底面ABC所成角的正弦值为AO21.

AB13060另解：设AB,AC,AA为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为

AB,AC,AA1111长度均为a，平面ABC的法向量为OA1AA1ABAC,AB1ABAA1

33226OA1AB1a,OA1,AB13

33OA1AB12则AB1与底面ABC所成角的正弦值为.

3AOAB1123412.B.分三类：种两种花有A4种种法；种三种花有2A4种种法；种四种花有A4种种法.共有A42A4A484.

另解：按ABCD顺序种花，可分A、C同色与不同色有43(1322)84

5

234xy0

xy30

y

x3 升学网 2008年普通高等学校招生全国统一数学(理科)考试及答案

13.答案：9．如图，作出可行域，

作出直线l0:x2y0，将l0平移至过点A处

时，函数z2xy有最大值9.

14. 答案：2.由抛物线yax21的焦点坐标为

(0,1111)为坐标原点得，a，则yx21

4a441412

23725cosB则AC2AB2BC22ABBCcosB15.答案：.设ABBC1，

81895582c3AC，2a1,2c1,e.

C

3332a81M

16.答案：.设AB2，作CO面ABDE，

6N

E

OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角

A

o

H

CH3,OHCHcosCHO1，结合等边三角形ABC

与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为B

D

与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则ANEMCH3

16题图（1）

11111AN(ACAB),EMACAE,ANEM(ABAC)(ACAE)

22222ANEM1故EM，AN所成角的余弦值

z

ANEM6

另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

则点A(1,1,0),B(1,1,0),E(1,1,0),C(0,0,2),

C

M

N

H

A

E

o

y

112112M(,,),N(,,),

222222B

D

16题图（2）

x

3121321),EM(,,),ANEM,ANEM3, 则AN(,,2222222ANEM1故EM，AN所成角的余弦值.

ANEM617.解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosBbcosA可得sinAcosBsinBcosA3c

53333sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB

55556

升学网 2008年普通高等学校招生全国统一数学(理科)考试及答案

即sinAcosB4cosAsinB，则tanAcotB4；

（Ⅱ）由tanAcotB4得tanA4tanB0

tanAtanB3tanB33≤

21tanAtanB14tanBcotB4tanB41当且仅当4tanBcotB,tanB,tanA2时，等号成立，

213故当tanA2,tanB时，tan(AB)的最大值为.

24A

18．解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，

ABAC，AFBC，

又面ABC面BCDE，AF面BCDE，

G

AFCE．

B

F

2，

tanCEDtanFDCO

2C

D

tan(AB)E

OEDODE90，DOE90，即CEDF，

CE面ADF，CEAD．

（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．

CGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，

则CGE即为所求二面角的平面角．

18题图

CG630ACCD2322，DG，EGDEDG，

33AD3CG2GE2CE210，

CE6，则cosCGE2CGGE101010CADECGEπarccosπarccos，即二面角的大小1010．

19. 解：（1）f(x)xaxx1求导：f(x)3x2ax1

当a2322≤3时，≤0，f(x)≥0，f(x)在R上递增

aa23当a3，f(x)0求得两根为x

32aa23aa23aa23，即f(x)在，递增，递减，

333aa23，递增

3

7 升学网 2008年普通高等学校招生全国统一数学(理科)考试及答案

a（2）aa232≤33a231≥33次数

概率

，且a23解得：a≥7

4 20．解：（Ⅰ）对于甲：

1

0.2

2

0.2

2

0.4

3

0.2

3

0.4

4

0.2

5

0.2

4

0.2

对于乙：

次数

概率

0.20.40.20.80.210.210.64．

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为E20.430.440.22.8．

21. 解：（Ⅰ）设OAmd，ABm，OBmd

由勾股定理可得：(md)2m2(md)2

得：d1bAB4m，tanAOF，tanAOBtan2AOF

4aOA3ba4，解得b1,则离心率e5． 由倍角公式2a232b1a2ax2y2（Ⅱ）过F直线方程为y(xc),与双曲线方程221联立

bab将a2b，c5b代入，化简有15285xx210

24bb2a2a41x1x21(x1x2)24x1x2

bb325b228b2,解得b3

4将数值代入，有45515x2y21． 故所求得双曲线方程为：36922. 设函数f(x)xxlnx．数列an满足0a11，an1f(an)．

1)是增函数； （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，

8 升学网 2008年普通高等学校招生全国统一数学(理科)考试及答案

（Ⅱ）证明：anan11；

（Ⅲ）设b(a1，1)，整数k≥a1b．证明：ak1b．

a1lnb1)时，f(x)lnx0 22.解析：（Ⅰ）证明：f(x)xxlnx,f(x)lnx,当x(0，故函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当n1时，0a11，a1lna10

a2f(a1)a1a1lna1a1

1)是增函数，且函数f(x)在x1处连续，则f(x)在区间(0，1]是增由函数f(x)在区间(0，函数，a2f(a1)a1a1lna11，即a1a21成立；

（ⅱ）假设当xk(kN*)时，akak11成立，即0a1≤akak11

那么当nk1时，由f(x)在区间(0，1]是增函数，0a1≤akak11得

f(ak)f(ak1)f(1).而an1f(an)，则ak1f(ak),ak2f(ak1)，

ak1ak21，也就是说当nk1时，anan11也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，anan11恒成立.

（Ⅲ）证明：由f(x)xxlnx．an1f(an)可得

ababalnaa1bailnai

k1kkki1k1， 若存在某i≤k满足ai≤b，则由⑵知：ak1baib≥0

babalna2， 若对任意i≤k都有aib，则a

k1kkkabkalnb

a1bailnaia1bailnba1b(ai)lnb11i1i1i1kkkabkalnbab(ab)0，即ak1b成立.

1111

9