2024年4月10日发(作者：小学数学试卷分析ppt)

1.5 归纳法原理与反归纳法

数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如

果一个命题与自然数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n－1正确，就能推出命题对

n也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也

正确,然后命题对n=3也正确，如此类推,命题对所有自然数都正确．对于中学生来说,这样形

象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的,有了皮阿罗公

理后，我们就能给出归纳法的严格证明．

定理1。19 如果某个命题

Ｔ

，它的叙述含有自然数，如果命题

Ｔ

对n=1是正确的，而

且假定如果命题

Ｔ

对n的正确性就能推出命题

Ｔ

对n+1也正确，则命题

Ｔ

对一切自然数都

成立．(第一数学归纳法）

证明 设

Ｍ

是使所讨论的例题

Ｔ

正确的自然数集合，则

(1）

1M

．

设

nM

,则命题

Ｔ

对n正确，这时命题对

n1n

也正确，即

(2)

n

M

所以由归纳公理

Ｄ

，

Ｍ

含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立．

下面我们给出一个应用数学归纳法的命题．

例１ 求证

1

2

2

2

n

2

证明 (1）当n=1时，有

n(n1)(2n1)

6

1

2

1(11)(211)

1

6

所以n=1，公式正确．

(2)假设当k=n时，公式正确，即

1

2

2

2

n

2

那么当k=n＋１时,有

n(n1)(2n1)

6

1

2

2

2

n

2

(n1)

2

(1

2

2

2

n

2

)(n1)

2

n(n1)(2n1)

(n1)

2

6

n(n1)(2n1)6(n1)

2

6

(n1)[n(2n1)6(n1)]

6

(n1)(2n

2

7n6)

6

(n1)(n2)(2n3)

6

(n1)((n1)1)(2(n1)1)

6

所以公式对n+1也正确．

在利用数学归纳法证明某些命题时，证明的过程往往归纳到n-1或n-2，而不仅仅是n-1,

这时上述归纳法将失败，因而就有了第二数学归纳法．在叙述第二归纳法以前，我们先证明

几个与自然数有关的命题．

命题１ 若

ab

，则

acbc

．

证明 因为

ab

所以

abk

acbkc(bc)k

所以

acbc

命题２ １是自然数中最小的一个．

证明 若

a1

，则

a

有前元b，所以

b

a,ab1(a1.)

命题3 若

ba

,则

ba1

．

（即数

a

与

a

＋１是邻接的两个数,中间没有其他自然数，不存在b，使得

a1ba

．）

证明 若

ba

,则

bak

．

因为

k1

,所以

aka1

,即

ba1

．

由上述有关自然数大小的命题，我们得出下面定理，有时也称为最小数原理．

定理1.20 自然数的任何非空集合

Ａ

含有一个最小数，即存在一个数

aA

，使得对集

合

Ａ

中任意数b，均有

ba

．

证明 设M是这样的集合：

对于M中任意元素

mM

,对A中任意元素

a

,均有

am

则M是非空集合．

因为

1M

,由归纳公理（4）知，一定存在一个元素

mM

．

但

m

M

,即

m1M

，

否则由

mMm

M

得

Ｍ

＝Ｎ，这显然不可能．

现在我们证明

mA

．因为若

mA

,

则Ａ中任意元素

am

am1

所以

m1M

,与

m1M

矛盾，所以m即为

Ａ

中最小元素．

上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公理，用它也可以证明数学归纳法，下

面我们给出所谓第二数学归纳法．(第二数学归纳法）

定理1.21 对于一个与自然数有关的命题

Ｔ

，若

（1)当n=１时命题

Ｔ

正确；

（2)假设命题T对

nk

正确，就能推出命题T对

nk

正确．

则命题T对一切自然数正确．

证明 如果命题

Ｔ

不是对所有自然数都成立，那么使命题不成立的自然数集合

Ｍ

就是非

空集合，由定理1.20,

Ｍ

中含有一个最小数k，且

k1

（∵k=1命题正确）,所以对一切

nk

，

命题T成立，又由（2）推出命题T对k正确．结论矛盾．

下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法而不能应用第一归纳法解题的例子．

例２ 已知数列

a

1

,a

0

,a

1

a

2

a

n

，有


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