2024年4月9日发(作者：江苏最难高考数学试卷)
北师大高中数学必修二知识点汇总
一．三角函数
角度与弧度制
一个圆,弧长和半径相等时所对应的角度是1弧度.弧度和角度的换算关系:
弧度*180/(2*π)=角度
诱导公式
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
1
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 + + — —
余弦 + — — +
正切 + — + —
余切 + — + —
三角函数的图像与性质
1.正弦函数
正弦函数的性质：
解析式：y=sinx
正弦函数的图像
波形图像（由单位圆投影到坐标系得出）
定义域：R(实数)
2
值域：[-1，1] 最值： ①最大值：当x=(π/2)+2kπ时，y(max)=1 ②最小值：当x=-(π/2)+2kπ时，y(min)=-1
零值点： (kπ,0)
对称性：1)对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ对称 2)中心对称：关于点(kπ,0)对称 周期：2π
奇偶性：奇函数
单调性：在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]上是增函数，在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]上是减函数
2余弦函数
余弦函数的性质：
余弦函数图像：
波形图像
定义域：R
值域： [-1，1]
最值：
1）当x=2kπ时,y(max)=1
2）当x=2kπ+π时,y(min)=-1
零值点：(π/2+kπ,0)
对称性：
1）对称轴：关于直线x=kπ对称
2）中心对称：关于点(π/2+kπ,0)对称
周期： 2π
奇偶性：偶函数
单调性：
在[2kπ-π,2kπ]上是增函数
在[2kπ,2kπ+π]上是减函数
3正切函数
正切函数的性质：
正切函数的图像：
定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：R
最值：无最大值与最小值
零值点：(kπ,0)
对称性：
轴对称：无对称轴
中心对称：关于点(kπ,0)对称
周期：π
奇偶性：奇函数
单调性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上都是增函数
3
二．平面向量
向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不
能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量 按向量 ＝（－
1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作：a ‖b ，规定零向量
和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直
线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平
行向量无传递性！；④三点共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
坐标表示法
平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由
平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成a ，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)
叫做向量的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分
别用来表示平面内的各个方向
向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大
小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点
和终点字母表示．
向量 a的大小，也就是向量 a的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1
个单位长度的向量，叫做单位向量．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，记作a∥b∥c．0向量长度为零，是起
点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行．
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．零向量与零向量相等．任意两个
相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
向量的运算
1、向量的加法：
AB+BC=AC
设a=（x,y） b=(x\',y\')
则a+b=(x+x\',y+y\')
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：
交换律：
a+b=b+a
4
结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
2、向量的减法
AB-AC=CB
a-b=(x-x\',y-y\')
若a//b
则a=eb
则xy`-x`y=0
若a垂直b
则ab=0
则xx`+yy`=0
3、向量的乘法
设a=（x,y） b=(x\',y\')
a·b(点积）=x·x\'+y·y\'=|a|·|b|*cos夹角
平面向量的应用
步骤1.
在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点D
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
a/SinA=BC/SinD=CD=2R
类似可证其余两个等式。
5
正弦定理的变形公式
(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
证明：
∵如图，有a+b=c
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
三.三角恒等变换
同角三角函数间的基本关系式：
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
两角和差公式
6
两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1－cosα
sin^2(α/2)＝—————
2
1＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2
1－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα
万能公式
⒌万能公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α/2)
1－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan^2(α/2)
四．复数
7
复数的相等
abicdiac,bd
.（
a,b,c,dR
）
复数
zabi
的模（或绝对值）
|z|
=
|abi|
=
a
2
b
2
.
复数的四则运算法则
(1)
(abi)(cdi)(ac)(bd)i
;
(2)
(abi)(cdi)(ac)(bd)i
;
(3)
(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i
;
(4)
(abi)(cdi)
acbdbcad
2
i(cdi0)
.
222
cdcd
复数的乘法的运算律
对于任何
z
1
,z
2
,z
3
C
，有
交换律:
z
1
z
2
z
2
z
1
.
结合律:
(z
1
z
2
)z
3
z
1
(z
2
z
3
)
.
分配律:
z
1
(z
2
z
3
)z
1
z
2
z
1
z
3
.
复平面上的两点间的距离公式
d|z
1
z
2
|(x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2
（
z
1
x
1
y
1
i
，
z
2
x
2
y
2
i
）.
向量的垂直
非零复数
z
1
abi
，
z
2
cdi
对应的向量分别是
OZ
1
，
OZ
2
，则
OZ
1
OZ
2
z
1
z
2
的实部为零
z
2
222
为纯虚数
|z
1
z
2
||z
1
||z
2
|
z
1
|z
1
z
2
|
2
|z
1
|
2
|z
2
|
2
|z
1
z
2
||z
1
z
2
|
acbd0
z
1
iz
2
(λ为非零实数).
实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
axbxc0
，
2
bb
2
4ac
①若
b4ac0
,则
x
1,2
;
2a
b
2
②若
b4ac0
,则
x
1
x
2
;
2a
2
③若
b4ac0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭复数根
2
b(b
2
4ac)i
2
x(b4ac0)
.
2a
五．立体几何初步
1、常见几何体的面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
圆柱的侧面积S
侧
=2πrl,表面积S=2πr(r+l).
圆锥的侧面积S
侧
=πrl,表面积S=πr(r+l).
圆台的侧面积S
侧
=π(r\'+r)l,表面积S=π(r\'
2
+r
2
+r\'l+rl).
球的表面积S=4πR
2
.
其中r\',r分别为上、下底面半径,l为母线长,R为球的半径.
8
2、常见几何体的体积
柱体的体积V=Sh;
锥体的体积V=Sh;
台体的体积V=(S\'++S)h;
球的体积V=πR
3
.
其中S\',S分别为上、下底面面积,h为高,R为球的半径.
3、平面的基本事实
基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
4、空间点、直线、平面之间的位置关系
1.空间中直线与直线的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点;
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;
(3)直线与平面平行——没有公共点.
当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外.
3.空间中平面与平面的位置关系
(1)两个平面平行——没有公共点;
9
(2)两个平面相交——有一条公共直线.
5、空间平行关系的判定及性质
1.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面
平行.
2.直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直
线与交线平行.
3.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平
行.
4.平面与平面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
6、空间垂直关系的判定及性质
1.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面
垂直.
2.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
3.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.
4.平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么
这条直线与另一个平面垂直.
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